第一篇：证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..

2

是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在

3

lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在

lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在

4

如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数l，使limsin(1/x)=l，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，

使|sin-l|<1/3，

和|sin-l|<1/3，

同时成立。

即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同时成立。

这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。

第二篇：如何证明极限不存在

如何证明极限不存在

反证法

若存在实数l，使limsin(1/x)=l，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，

使|sin-l|<1/3，

和|sin-l|<1/3，

同时成立。

即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同时成立。

这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。

反证法：

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在

假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1

两种情况极限值不同，故原极限不存在

2答案：首先需要二项式定理：

(a+b)^n=∑c(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用数学归纳法证此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑c(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限：

(1+1/n)^n(式一)

用二项式展开得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。

第三篇：证明二重极限不存在

证明二重极限不存在

如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案

2

若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(2014)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特殊曲线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。

3

当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次极限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。

第四篇：极限不存在的证明

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f在u0(x0;?")内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

x?x0

u(x0;?)且以x0为极限的数列?xn?极限limf(xn)都存在且相等。

"

n??

例如：证明极限limsin

x?0

1x

不存在

12n??

证：设xn??

1n?

?,xn?

?

2

(n?1,2,?)，则显然有

xn?0,xn?0(n??)，si由归结原则即得结论。

??

?0?0,si?1?1(n??)??xnxn

二、左右极限法

原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)?arctan(因为limarctan(

x?0

?

1x

)

当x

?0

时的极限不存在。

1x)?

1x

)??

?

2

x=0，limarctan(

x?0

?

?

2

，limarctan(

x?0

?

1x

)?lim?arctan(

x?0

1x

)，

所以当x?0时，arctan(

1x

)的极限不存在。

三、证明x??时的极限不存在

原理：判断当x?

?

时的极限，只要考察x???与x???时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)?ex在x?

x???

?

时的极限不存在

x???

x???

xxxx

因为lime?0，lime???；
因此，lime?lime

x???

所以当x?

四、柯西准则

?

时，ex的极限不存在。

0"

原理：设f在u(x0;?)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给?

x?x0

?0

，存

在正数?(???)，使得对任何x?,x???u0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。

例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何??0，设正数n?

x??1

n?,x???1

n??1?，令?

2即证。

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,??)的区间中有定义，对任何a?r，如果存在

?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,则f(x)在x???

x???时没有极限。

例如：证明limcosx不存在

设函数f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何??0，取?0?0 反证法（利用极限定义） 数学归纳法

第五篇：极限证明

极限证明

1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x， limf(k)(x)?0． x???

2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；
当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；
f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???

5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。

6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n

7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。

an?1

t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，

为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。

10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。

12.证明：若???

af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.

11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.

15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f"?xn??0.

16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f"?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

??

?r?0?.

i

?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

d

r

17.设f?x?于[a,??)可导，且f"?x??c?0?c为常数?,证明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，

在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.

x?x0

20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理?

??a

23.设?

f(x)= 0. 证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续，???

24.设a1>0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：

1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。

27.设an?a,用定义证明:limn???an?a

28.设x1?0，xn?1?

31?xn

,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。

n??3?xn

??

29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2

，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求证：limxn?2。

31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求证：

（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；

（b）设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn??/3。

n??

32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，则对a，b之间的任意数?，

可找到数列xn?a，使得limf(zn)??

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a

，试证明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?k

b?a

34.设f‘(0)?k,试证明lim

a?0?b?0?

35.设f(x)连续，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

论?"(x)在x?0处的连续性。

f(x)

，求?"(x)，并讨?a（常数）

x

36． 给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

lim?()s。

n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2

37.定义函数f?x???x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.

39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0

f?2x??f?x??a,求证：f"?0?存在且等于a.

x

1n

40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.

n??ni?1

41.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f"?x??0,f""有界，则limt??f"?t??0

42.用???分析定义证明limt??1

x?31

? x2?92

43.证明下列各题

?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；

n?1

?

?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;

n??

n?1

?

?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.

?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?

a?1。

45.设an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),证 limn

n??

?

46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1(内容来源好 范文网www.hAOword.coM)，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4

，证明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知数列{an}收敛于a，且

a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求证?0,???内存在一个单

x??x

调数列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f""?x?在???,??处处存在。

??ax?bx?c,x?0