2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ） (四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M＝{x|x2＜4，N＝{x|x2－2x－3＜0，则集合M∩N＝ （A）{x|x＜－2　　　　 （B）{x|x＞3}　　　　　 （C）{x|－1＜x＜2　　　 （D）{x|2＜x＜3 （2）＝ （A）　　　　　　 　　（B）1　　　　　　　 （C）　　　　　　　　 （D） （3）设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝ （A）–ω　　　　 　　　（B）ω2　　　　　 （C）　　　　　 　　（D） （4）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为 （A）(x＋1)2＋y2＝1　　　 （B）x2＋y2＝1　　　 （C）x2＋(y＋1)2＝1　　　 （D）x2＋(y－1)2＝1 （5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(,0)，则φ可以是 （A）－　　　　　（B）　　　　　　（C）－　　　　 　（D） （6）函数y＝－ex的图象 （A）与y＝ex的图象关于y轴对称　　　　（B）与y＝ex的图象关于坐标原点对称 （C）与y＝e－x的图象关于y轴对称　　　（D）与y＝e－x的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为 （A）　　　　　　　　（B）　　　 　　　（C）　　　 　　（D） （8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有 （A）1条　　　　　　 　（B）2条　　　　　　　（C）3条　　　　　　（D）4条 （9）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则＝，其中＝ （A）　　　　　　　（B）－　　　　　　　（C）2　　　　　　（D）－2 （10）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数 （A）(，)　　　（B）(，2)　　 （C）(，)　　 　（D）(2，3) （11）函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为 （A）　　　　　　　　（B）　　　　　　　　（C）　　　　　　（D）2 （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （A）56个　　　　　（B）57个　　　　　（C）58个　　　　　　（D）60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P （14）设x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是　　 　(写出所有真命题的编号)． 三、 解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分) 已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝． (Ⅰ)求证：tanA＝2tanB；

(Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高． （18）(本小题满分12分) 已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求 (Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；

(Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分) 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）．证明：
(Ⅰ)数列{}是等比数列；

(Ⅱ)Sn＋1＝4an． （20）(本小题满分12分) ． 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M． (Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小． （21）(本小题满分12分) 给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点． (Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；

(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分) 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx． (1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2． 2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ） (四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 答案：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）x2＋y2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)= ∴，∴. (II)解：∵<A+B<π, , ∴, 即,将代入上式并整理得 解得,因为B为锐角，所以,∴ =2+ 设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+ 故AB边上的高为2+ 18．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率 (II)解：A组中至少有两支弱队的概率 19．（I）证：
由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)， 知a2=S1=3a1,, ,∴ 又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列 （II）解：由（I）知，，于是Sn+1=4(n+1)·=4an(n) 又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an. 20．解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=， ∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形， 又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B， ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=， 又BB1=1，∴A1B=2， ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1 又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM， 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM (II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F， 则FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD. 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1， 所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=， ∴∠B1GF是所求二面角的平面角 又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=. ∴cos∠B1GF= 即所求二面角的大小为π-arccos 解法二：如图以C为原点建立坐标系 (I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,,), M(,1,0),(,,),(,-1,-1), (0,,-), ∴CD⊥A1B,CD⊥DM. 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线， 所以CD⊥平面BDM (II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,,)，∴，∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角， cos 所以所求二面角的大小为π-arccos 21．解：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1， =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3. cos<>= 所以与夹角的大小为-arccos. 解：(II)由题设知得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即 由 (2)得y22=λ2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1……………………………………(3) 联立(1)(3)解得x2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0), 得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1) 当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为或- 由=，可知在[4，9]上是递减的， ∴，-- 直线l在y轴上截距的变化范围是 22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, (x)>0,当x>0时,(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0 (II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a. 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0<a<b,得,因此,. 所以a>-. 又 a<a 综上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2. (II)证法二：g(x)=xlnx,,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(), 则当0<x<a时因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(). 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.