质数探祕 前言

　 在小学阶段，探讨最大公因子和最小公倍数的单元时，对于质数觉得很难判断，而且很容易找错，所以想知道以前的人是用什么方法找出来的，而且希望藉此可以让质数这个单元变得有趣一点，让学生学到质数的有趣及奥妙。

　首先，会先介绍质数的起源，看质数是由谁发现，以前的数学家对它有什么评价，希望藉此让学生知道质数的重要性。再来藉由介绍埃拉托散尼，让学生知道埃拉托散尼晚期因为无法忍受不能读书的痛苦，竟绝食而死 ，希望藉此多鼓励学生要把握能够读书的时候，再来介绍埃拉托散尼发明寻找质数的方法---埃拉托散尼筛，介绍完毕也让小朋友学学他的作法去找找质数，并找找看有什么有趣的性质。

　接着将介绍哥德巴赫的猜想--每一个偶数是两个质数之和（要依学生程度而决定是否是用此学习单），在介绍中国数学家陈景润于1966年证明的陈氏定理--任何非常大的偶数都是一个质数与一个整数之和，而那个整数是两个质数的乘积，可表示为 1 + 2 的形式，然后让孩子写出几个符合哥德巴赫猜想的式子，也可以利用此方式带孩子玩宾果游戏。接着介绍质数有趣的现象，第一个：介绍孪生质数和三生质数（要依学生程度而决定是否是用此学习单），也可让学生找找孪生质数和三生质数；第二个：乌兰现象--质数似乎有一个规则的排列，（要依学生程度而决定是否是用此学习单），也让学生动手找找看是否有此规律；第三个：美丽的质数--介绍一些有趣的质数现象，也让学生在生活周遭看有没有发现到什么状况也符合质数的规律。

　教学探源 单元逻辑：

　在此单元之前，需要熟练基本的乘法，多位数乘以一位数且多位数除以一位数等，希望藉由此单元认识质数，可以顺利判别质数，进而在以后的正整数的质因数分解会比较容易理解，甚至运用至约分做最简分数的计算。

　 历史：

　中国古代数学家把质数叫做“数根”，意思是数的根本，希望学生知道质数才是最基本的数，因为任何整数要不就是质数，要不然就是几个质数的积。而且也从欧几里得着的《几何原本》中有关质数命题，希望透过此命题能让学生知道有无限多个质数。

　再由记载于尼科马霍斯《算术入门》中，埃拉托散尼将一定范围的数字写在羊皮上，然后将 2、3、5、1l等的倍数挖掉，就好像一个上面有许多小孔的筛子，因此被称为“埃拉托散尼筛法”，这是世界上最古老的一种求质数的方法，它的原理很简单，运用起来也很方便。哥德巴赫的猜想，藉由猜想的过程也可以训练学生反向思考，去分解。藉由欧几里得提出：存在无穷多个质数 p，而且 p + 2 也是质数，数学家把相差为2的两个质数叫做“孪生质数”，让学生多了解质数的有趣性，质数并不是一点乐趣都没有，藉此让学生去思考最多会有几生质数呢？也由乌兰教授的发现让学生用别种不同的方式去观察质数的规律。

　 学生认知 N-1-03 能理解乘法的意义，解决生活中简单整数倍的问题。

　à在数学筛子此学习单中，需要利用整数倍的方式去把质数筛出来，所以在此学生要有整数倍的概念，且可以使顺利的使用。

　 N-1-06 能理解九九乘法。

　à在数学筛子、歌德巴赫的猜想和乌兰现象的学习单中，要利用九九乘法进行计算检验之，在此学生会具备此能力。

　 N-2-02 能熟练整数加、减、乘、除的直式计算。

　à在歌德巴赫的猜想和乌兰现象的学习单中会利用加和乘去制造歌德巴赫的式子，且在进行游戏时，也需要利用此能力进行游戏并检验。

　 N-3-01 能认识质数、合数，并做质因数分解。

　à这几张学习单都是在介绍质数，希望学生能透过此活动对质数有更进一步的理解和认识，也希望学生能够对数学产生兴趣等。

　 学习单之设计 第一张学习单“质数的起源”：这是适用于任何程度的学生，此学习单是藉由看质数是由谁发现，以前的数学家对它有什么评价，希望藉此让学生知道质数的重要性，并对它有更进一步的认识，此学习单预计一节课就可以完成了，且此学习单可作为引起动机。

　 第二张学习单“数学筛子”：这是适用于任何程度的学生，此学习单是藉由介绍埃拉托散尼发明寻找质数的方法---埃拉托散尼筛，让小朋友学学此的作法去找找质数，并找找看有什么有趣的性质，此学习单预计两节课就可以完成了，且建议此学习单可作为教完找质数的方法后再用可以让孩子去比较和现在找质数的方法有何不同，也可当作回家作业。

　 第三张学习单“歌德巴赫的猜想”：这是适用于有一定程度的学生，老师要看全班的程度下去实施，或者可用于较资优的学生身上，此学习单是藉由介绍哥德巴赫的猜想--每一个偶数是两个质数之和，再介绍中国数学家陈景润的陈氏定理--任何非常大的偶数都是一个质数与一个整数之和，而那个整数是两个质数的乘积，可表示为 1 + 2 的形式， 在此工作单若老师觉得太难可以只介绍歌德巴赫的猜想，先不要介绍陈景润的陈氏定理以免制造学生的混淆，但若学生程度可以可以适度的加入，此学习单预计二至三节课就可以完成了，且建议此学习单可作为教完质数整个单元后的方法后再用，也可当作回家作业。

　 第四张学习单“孪生质数”：这是适用于有一定程度的学生，老师要看全班的程度下去实施，或者可用于较资优的学生身上，此学习单是藉由介绍孪生质数和三生质数，若学生对于孪生质数找不太出来，老师就要适时的将三生质数抽离，若学生程度不错，可让学生找三生质数的话，可以先告知学生找1～150的三生质数，此学习单预计一节课就可以完成了，且建议此学习单可作回家作业或教完质数后再来利用。

　 第五张学习单“乌兰现象”：这是适用于有一定程度的学生，老师要看全班的程度下去实施，或者可用于较资优的学生身上，此学习单是藉由介绍质数似乎有一个规则的排列，要学生仔细观察在同一条在线有时候不一定是质数，此学习单预计一节课就可以完成了，且建议此工作单可作回家作业或教完质数后再来利用。

　 第六张学习单“美丽的质数”：这是适用于任何程度的学生，此学习单是藉由介绍一些有趣的质数现象，也让学生在生活周遭看有没有发现到什么状况也符合质数的规律，并且可以让学生说说看并发表为什么，让大家一起分享质数的趣味性，此学习单预计一节课就可以完成了，且建议此学习单可作回家作业或是教完质数后再利用。

　质数的起源 什么是质数 质数，就是一个整数除了本身和1以外，没有任何其他因子。例如2，3，5，7是质数，而 4，6，8，9则不是，称为合数。

　 以前的人们总把整数当作是最基本的数，其他的都是由整数衍生出来的。但是专门研究整数的人却不这样认为，他们认为质数才是最基本的数，因为任何整数要不就是质数，要不然就是几个质数的积。中国古代数学家把质数叫做“数根”，意思是数的根本。

　 高斯曾经在算术探究 这本书里提过这样一句话：“区分质数和合数，并且将合数分解成质因数，是算术中最重要，又最有意义的问题。”从这句话，高斯很清楚的指出质数的重要。

　 所以人们相信在远古时期，就经已发现质数。不过最先用文字纪录质数性质的人，就是古希腊时代的伟大数学家欧几里得。

　 欧几里得的生平 欧几里得，约生于公元前330年，约死于公元前275年。他的著作《几何原本》，被公认为数学史上的一本伟大的著作。《几何原本》全书共分十三卷，一共包含465个命题，当中的第九卷的命题20和质数有关，它是这样写的：“预先任意给定几个质数，则有比它们更多的质数。” 小朋友你认为他说的这句话是什么意思呢? 那你觉得是对的还是错的呢? 说说看你的想法

　数学筛子 如何找质数 埃拉托散尼出生于地中海南岸，卒于亚历山大。早年在雅典学习，大约四十岁时，接受埃及的托勒密三世的邀请，来到亚历山大当他儿子的家庭教师，曾担任亚历山大附设于博物馆的馆长。晚年因患眼疾，以致双目失明，他无法忍受不能读书的痛苦，竟绝食而死。 

　他当时是一位杰出的数学家、天文学家、地理学家、历史学家、哲学家、诗人和运动员。他是阿基米德的挚友，曾受到阿基米德的高度评价。

　 埃拉托散尼有一项脍炙人口的发明是寻找质数的方法，即是埃拉托散尼筛，记载于尼科马霍斯《算术入门》第十三章中，他将一定范围的数字写在羊皮上，然后将 2、3、5、1l等的倍数挖掉，就好像一个上面有许多小孔的筛子，因此被称为“埃拉托散尼筛法”。

　 1.

　我们把1~50的数，按照顺序列成一张50以内的表。（如下表） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

　 2.

　首先把1划掉，因为1既不是质数，也不是合数。

　3.

　接下来一个数是2，它是最小的质数，应予保留。但2的倍数一定不是质数，应该全部划掉；也就是从2起，每隔1个数就划掉1个数。

　4.

　在剩下的数中，3是第一个未被划掉的数，它是个质数，应予保留。但3的倍数一定不是质数，应该全部划掉；也就是从3起，每隔2个数就划掉1个数。

　5.

　在剩下的数中，4已被划掉了，其余的数，5成为第一个未被划掉的数，它是质数，也应予以保留。但5的倍数一定不是质数，应该全部划掉；也就是从5起，每隔4个数就划掉1个数。

　6.

　仿照步骤1～5，继续划下去，数表上最后剩下的就是1~50之间的质数了。(剩下的紫色部分是质数)

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

　 这种方法是世界上最古老的一种求质数的方法，它的原理很简单，运用起来也很方便。现在，凭着经过改进后的埃拉托散尼筛法，数学家们已把10亿以内的质数全都筛出来了。

　现在就让小朋友尝试这种筛法的运作：

　下面这个表是由50~100组成，也就是100以下的数，把这些数写成10行来处理：

　51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

　 小朋友你觉得这个方法如何，跟你现在找质数用的方法有什么差别吗?觉得这个方法好吗?

　质数的有趣性质：

　 小朋友你有发现了什么吗?有什么规律吗?想一想看

　 对于这堂课，你觉得有什么收获呢?觉得有趣吗?把你觉得的想法快点写下来吧!!

　 哥德巴赫的猜想 哥德巴赫生平        

　1690年生于普鲁士柯尼斯堡。早年就读柯尼斯堡大学，初学法律学，后学医学和数学。哥德巴 赫以提出“哥德巴赫猜想”而盛名，猜想至今仍未有完满的解答。

　 猜想 5＋13＝18，3＋17＝20，5+17＝22，…看着这些等式，哥德巴赫忽然发现：等式左边都是两个质数的和，右边都是偶数。他猜想：任意两个质数的和是偶数，这当然是对的，但可惜这只是一个平凡的命题。

　 —般的人也许就到此为止了，但哥德巴赫他特别善于联想，他换个角度看问题。运用逆向思考，把等式逆过来写：

　6＝3+3，8=3+5，10＝3＋7，12=5+7，14＝3+11，16＝3+13，18＝5+13，…

　他又发现，这些偶数，每一个数都能“分拆”成两个质数之和。在一般情况下也对吗？他又动手继续试验：

　24＝5＋19，26＝3＋23，28＝5＋23，30＝7＋23，32＝3＋29，…一直到100，都是对的，而且有的数还不止一种分拆形式，如：26＝3+23=7＋19＝13+13， 34＝3+31=5+29＝11+23＝17+17，100=3＋97=11＋89＝17+83=29+71=41+59=47+53.

　这么多都可以说明偶数可以（至少可用一种方法）分拆成两个质数之和。在一般情况下对吗？经过一番努力，但没有成功；于是他提笔给欧拉写了一封信，叙述了他的猜想：

　（1）每一个偶数是两个质数之和； （2）每一个奇数或是是一个质数，或是是三个质数之和。

　（注意，由于哥德巴赫把“1”也当成质数，所以他认为2＝1＋1，4＝1＋3也符合要求，欧拉在回覆信中纠正了他的说法。）

　欧拉回覆信说，“任何大于（或等于）6的偶数都是两个质数之和，虽然我还不能证实它，但我确信无疑，它是完全正确的定理。”欧拉是伟大的数学家，这个连他也证实不了，可见难度大，引起了各国数学家的注意。

　1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个很大的偶数都可以表示为9个质数的相乘积加上9个质数的相乘积。我们写成9+9来表示它，于是数学家们从（9十9）开始，逐步减少每个数所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止。

　 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理“任何非常大的偶数都是一个质数与一个整数之和，而那个整数是两个质数的乘积”，可表示为1+ 2的形式，如：8=2+2X3，18=3+3X5。

　哥德巴赫猜想的证明进度相关 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。

　 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。

　1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。

　1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”…。

　1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。

　1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。

　1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。

　1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。

　1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”。

　1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。

　1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

　 你也可以是伟大的哥德巴赫

　 n 50以内有15个质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47.请选出10个填入图内，使○＋○的和等于同一个50以内的偶数，把这个偶数填入中间的○内。

　n 你能试着写出几个符合哥德巴赫猜想的式子吗？

　 n “哥德巴赫猜想”任何偶数都可表示成两个质数的和。这是使用相加的分解，例如：120＝﹍﹍﹍﹍﹍﹍，可以找到几组？再找找340有几组吗？

　 你能试着写出陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理“任何大的偶数都是一个质数与一个整数之和，而整数是两个质数的乘积”，可表示为 1 + 2 的形式，如：8=2+2X3，18=3+3X5。

　n

　(看看自己能想到多少个)

　n 综合的活动 宾果赛(初级) 6×6空白方阵游戏图，如下图所示：

　游戏规则：

　n 1.请学生将质数填入空白，写入空白阵内，玩家可以写下任意填写质数，每个数字只能填写一次。

　n 2.由老师当“裁判”，喊任一两个质数相加和，学生要从数字内去想一想是由哪两个质数相加，看自己的表内是否有那两个数，有的话就可以画掉，若没有就不能画掉。

　n 3.直到有同学先连成六个成一直线（直行、横列或对角线均可）的直线三条，则该同学即可获胜。

　 宾果赛(进阶级) 6×6空白方阵游戏图，如上图所示：

　游戏规则：

　n 1.请学生将偶数以1+2的形式或是两个质数相加的形式填入空白，写入空白阵内，玩家可以写下任意填写，每个相加起来的数字和只能填写一次。

　EX：26＝5+3X7

　30＝13+17 n 2.由老师先当“裁判”，喊任一个质数相加的形式（EX：3+5或是13+2X3），学生要从老师讲的形式去想一想和是什么，自己的表格内是否有这个数的表示形式(不论是1+2形式或是两个质数相加的形式都可以)，若自己的表有的话就可以画掉，若没有就不能画掉。第一次由老师喊，接下来老师指定一位学生，让此学生喊过后让他指定别的同学接续下去。

　n 3.直到有同学先连成六个成一直线（直行、横列或对角线均可）的直线三条，则该同学即可获胜。

　 孪生质数

　孪生质数猜想最初由欧几里得提出：存在无穷多个质数 p，而且 p + 2 也是质数。例如3和5，数学家把相差为2的两个质数叫做“孪生质数”，或叫“双生质数”。孪生质数并不少见，5和7，11和13，17和19，都是孪生质数，再大一点的有101和103，10016957和10016959，还有1000000007和1000000009。

　 人们已经知道的，小于100000的数中有1224对孪生质数；小于1000000的数中有8164对孪生质数；目前所知道的最大孪生质数对是1000000009649和1000000009651。

　 那孪生质数有多少对呢？早就有人猜想孪生质数有无穷多对，但是至今没有人能证实。孪生质数又使数学家想起三生质数。如果三个质数A、B、C，B比A多2，而C又比B多4，那么质数A、B、C就叫做三生质数。比如，5、7和11，11、13、17，101、103和107，以及10014491、10014493和10014497等等，都是三生质数。

　 试着找几个孪生质数(有兴趣的人也可以找找三生质数)吗? 看看自己能找到几个

　 那妳觉得有五生或六生质数的存在吗？为什么？

　 乌兰现象 2 一九六三年，美国数学家乌兰在参加一次会议时，因为对演讲者的论文不感兴趣。无聊的他在讲义上涂鸦画画，也许是数学家敏锐的观察力吧！乌兰教授在他乱涂的数螺旋表上，发现质数似乎有一个规则的排列，乌兰教授便重新仔细的画，他发现质数似乎很喜欢挤在一条在线，这些线又呈现出很奇特的图形，而且不断重复，令人兴奋的是，无论数字的范围多大，这种现象依然存在。后人便把这种质数现象称为乌兰现象，乌兰现象对于质数的研究相当的有用。

　请你学学美国数学家乌兰，仿照他的模式画出101~200的数，并找出质数看看是不是也有类似的情形出现呢?

　你觉得质数的排列是有顺序的吗?写下你的感想吧!!

　美丽的质数 五年

　 班

　 号姓名:___________ 第一个发现质数的并不是数学家，而是住在北美的一种蝉。它的生命周期非常的奇怪，它在地下埋藏着整整17年。17年后它们全部突然出现在地表，在森林里面它们进食，唱歌，交配，再产卵，然后再死去，然后再17年才会回到地面。在地下17年是一个质数，这是巧合吗？

　数学家有了一种理论，认为森林里面肯定还有一种猎食者也是周期性的出现。这种猎食者和蝉是完全同样的时间出现。它们会把所有的蝉都吃掉，然后再回到地下。

　蝉就要躲藏它们，选择质数的年份，很有可能可以躲避他们的猎食者。比方说猎食者是每六年出现一次，那蝉就选择每七年出现一次，这就比它们选择每八年，每九年出现一次的死亡率低很多。森林里面蝉和猎食者有一种竞争，蝉更加聪明选择了17的质数。看来质数是蝉在进化生存过程当中的法宝。

　 你们觉得蝉这样做是聪明的作法吗？还是有其他更好的方法？

　 在生活周遭还有发现到什么状况也符合质数的规律的吗？