第一篇：如何证明面面垂直

如何证明面面垂直

设p是三角形abc所在平面外的一点，p到a,b,c三点的距离相等,角bac为直角，求证：平面pcb垂直平面abc

过p作pq⊥面abc于q，则q为p在面abc的投影，因为p到a，b，c的距离相等，所以有qa=qb=qc，即q为三角形abc的中心，因为角bac为直，所以q在线段bc上，所以在面pcb上有线段pq⊥平面abc，故平面pcb⊥平面abc

2

证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成

一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面

然后转化成

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线

也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

第二篇：怎样证明面面垂直

怎样证明面面垂直

如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。(面面垂直判定定理)

为方便，下面#后的代表向量。

#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.

对角线的点积：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd

两组对边平方和分别为：

ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc

ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba

则ab2+cd2=ad2+bc2等价于#bd·#bc=#bd·#ba等价于#ac·#bd=0

所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等

证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成

一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面

然后转化成

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线

也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4(更多请关注：wWw.HaOwoRd.com).面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

第三篇：第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

一、二面角

二面角??l??，若?的一个法向量为m，?的一个法向量为n，则cos?,??，二面角的大小为?m,n?或???m,n?

例1．如图，正三棱柱abc?a1b1c1中，e为bb1的中点，aa1?a1b1，求平面a1ec与平面a1b1c1所成锐角的大小。

例2．（05年全国）如图，在四棱锥v-abcd

vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd． （1）证明ab⊥平面vad；

（2）求面vad与面vbd所成的二面角的大小．

练习：如图，棱长为1的正方体 abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中点，

求二面角b?b

1e?d的余弦值。

12

二．证面面垂直

若平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，且?，则???。

例3．在四棱锥p-abcd中，侧面pcd是正三角形，且与底面abcd垂直，已知底面是面积为23的菱形，

?adc?600，m是pb的中点。

（1）求证：pa?cd

（2）求二面角p?ab?d的度数；

（3）求证：平面pab?平面cdm。

练习：（04年辽宁）已知四棱锥p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，点e为ab的中点，点f为 pd的中点。

（1）证明平面ped⊥平面pab；

（2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.

作业：

1．（04年广东）如图，在长方体abcd?a1b1c1d1中，

已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分别是线段ab,bc上的点，且eb?fb?1。

（ⅰ）求二面角c-de-c1的正切值；

（ⅱ）求直线ec1与fd1所成角的余弦值。

13

2．（05年全国）已知四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，ab∥dc，?dab?90?,pa?底面abcd，且pa=ad=dc=

ab=1，m是pb的中点。

2

（1）证明：面pad⊥面pcd；

（2）求ac与pb所成的角；

（3）求面amc与面bmc所成二面角的大小。

3．已知四棱锥p-abcd的底面是边长为2的正方形，侧棱pa?底面abcd，pa＝2，m、n分别是ad、bc的中点，mq?pd于q

（1）求证：平面pmn?平面pad；

（2）求pm与平面pcd所成角的正弦值；

（3）求二面角p?mn?q的余弦值。

4．（06年全国）如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝bc， d、e分别为bb1、ac1的中点．

（1）证明：ed为异面直线bb1与ac1的公垂线；

（2）设aa1＝ac＝2ab，求二面角a1－ad－c1的大小．

14

c

b1 d

e

c

a

b

5． （04年浙江）如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互

相垂直，ab=，af=1，m是线段ef的中点。

（1）求证：am//平面bde；

（2）求二面角a?df?b的大小；

（3）试在线段ac上确定一点p，使得pf与bc所成的角是60?。

6．（05年湖南）如图1，已知abcd是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴oo1折成直二面角，如图2.

（1）证明：ac⊥bo1；

（2）求二面角o-ac-o1的大小。

7．（06年山东）如图，已知四棱锥p-abcd的底面abcd为 等腰梯形，ab∥dc,ac⊥bd,ac与bd相交于点o，且顶点 p在底面上的射影恰为点o，又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求异面直线pd与bc所成角的余弦值；

(2)求二面角p-ab-c的大小；

(3)设点m在棱pc上，且pc⊥平面bmd.

15

pm

??,问?为何值时， mc

第四篇：面面垂直证明例题

数学面面垂直例题

例4答案：

例8答案：取ac的中点为o，连接op、ob。

ao=oc,pa=pc,故po垂直

ac

第五篇：本节课学生学习的起点是如何利用判定定理证明线面、面面垂直。障...

本节课学生学习的起点是如何利用判定定理证明线面、面面垂直。障碍点是线线、线面、面面垂直的相互转化，并能灵活应用相互转化。因此本节课的重点是如何灵活应用线线、线面、面面垂直的相互转化完成垂直关系的证明

课题：垂直关系

教学分析

垂直关系是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是平行关系的转化手段，可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，也是高考热点内容。

垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用。在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论垂直的性质定理及其应用时，要注意是立体几何最难的定理，往往是一个复杂问题的开端，先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题。

三维目标

1.探究垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力。

2.掌握垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.探究垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力。

4.垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力。

5.通过垂直的性质定理的学习，培养学生的转化思想。

重点难点

教学重点:(1)垂直关系的判定定理及其应用 (2)垂直的性质定理

教学难点:(1)应用判定定理解决问题(2）性质定理的应用

课时安排：1课时.

教学手段：多媒体.

教学过程：

一、知识回顾

1、线面垂直的判定方法

(1)定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。

(2)判定定理——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。

?

?l?b?a???l???b??a?b?a?l?a

2线面垂直的性质

(1)如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

(2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。

3、面面垂直的判定方法

（1)定义-----如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。

（2)判定定理-----如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直α⊥β，α∩β＝l???m⊥β. 用符号表示为mα，m⊥l?

4面面垂直的性质

如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

二、课堂演练

1．在三棱锥v－abc中，va＝vc，ab＝bc，则下列结论一定成立的是()

a．va⊥bcb．ab⊥vc

c．vb⊥acd．va⊥vb

2．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()

a．充分不必要条件b．必要不充分条件

c．充要条件d．既不充分也不必要条件

3．关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题：

①若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.

②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n∥β且α⊥β，则m∥n；

其中真命题的序号是()

a．①②

c．①④b．③④ d．②③第4题图

4．△abc，∠abc＝90°，pa⊥平面 abc，则图中直角三角形的个数是________．

三、典例精析

例1如图，ab是圆o的直径，c是异于a，b的圆周上的任意一点，pa垂直于圆o所在的平面。求证：（1）bc⊥面pac（2)若ah⊥pc,则ah⊥面pbc

?c b 例2如图，已知pa┴ 矩形abcd所在平面，m、n分别是ab、pc的中点 求证：
（1）mn┴cd(2） 若?pda?

p 45，求证：mn面pcd

四、小结：三种垂直关系的转化

m d c

五、作业：课时作业

六、教学反思：本节课重点是利用判定定理证明线面、面面垂直，及三种垂直关系的转化