2021高考数学一轮复习：参数范围讲与练

　 09 圆与圆位置关系中的参数范围问题

　【典例讲解】

　【例1】若圆和相交，则的取值范围是（ ）

　A．

　B．

　C．或

　D．或

　【分析】

　看问题：求实数m的取值范围。

　想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想。

　看条件：圆和相交。

　定措施：由题意知，由此建立关于实数m的不等式，利用不等式思想求实数m的取

　值范围。

　【答案】D

　【解析】圆，圆心为，半径为2，圆，圆心为，半径为3，因为两圆相交，所以，解得或。

　【例2】（2020·福建厦门一中）已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【分析】

　看问题：求实数a的取值范围。

　想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想。

　看条件：圆：和两点，，圆上存在点，满足。

　定措施：由题意知点M在以为直径的圆上，则该圆与圆C有公共点，根据建立关于实数a的不等式，利用不等式思想求实数a的取值范围。

　【答案】C

　【解析】，，，所以在以为直径的圆上，其圆心为坐标原点，半径为,又点在圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点，圆：，圆心，半径为，所以，解得.

　【例3】若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是(

　　)

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】C

　【解析】根据题意知，圆（x-a)2+(y-a)2=4与圆相交，两圆圆心角距为.

　所以，解得.所以或.

　【例4】（2020·黑龙江南岗·哈师大附中）设集合，，且，则实数的取值范围是 _______________.

　【答案】

　【解析】圆的半径大于圆的半径，当两圆相外切时有：，解得；当两圆相内切时有：，解得：；

　当，即圆的圆心在原点右侧时，实数的取值范围为：；

　当，即圆的圆心在原点左侧时，实数的取值范围为：；

　故实数的取值范围为：.

　【跟踪练习】

　1．已知点，若圆上存在点（不同于点），使得，则实数的取值范围是（ ）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A

　【解析】在以为直径的圆上，因为圆上存在点（不同于点），使得，圆与圆相交，

　，解得，故选A.

　2．若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围( )

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】C

　【解析】圆C方程为，圆心，半径为r，圆E方程为，圆心，半径，圆C：与圆E：有公共点，，即，解得。

　3．（2020·广西高一期末）已知点，，若圆C：上存在点P，使得，则实数m的最大值是（ ）

　A．4

　B．5

　C．6

　D．7

　【答案】C

　【解析】根据题意，圆C：，即，其圆心为，半径.

　的中点为原点O，点的轨迹为以为直径的圆，若圆C上存在点，使得，则两圆有公共点，又，即有且，解得，

　即或，即实数的最大值是，故选：

　4．已知点，若圆上存在点(不同于)，使得，则实数的取值范围是( )

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A

　【解析】根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以MN为直径的圆和圆 （x﹣3）2+y2=r2有交点，

　显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3，

　故|r﹣2|＜3＜|r+2|，求得1＜r＜5，

　5．（2020·江西期末）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．

　【答案】

　【解析】设点的坐标为，，且坐标原点为的中点，所以，，则点的轨迹方程为，由题意可知，圆与圆有公共点，且圆心，

　则，即，，解得.因此，实数的取值范围是.

　6．（2020·鸡泽县第一中学）若圆：与圆：没有公共点，则实数的取值范围是______.

　【答案】或

　【解析】由圆：可知圆心，半径，由圆：可得圆心，半径，因为两圆无公共点，所以两圆相离或内含，所以，或（无解），所以，解得或。

　7．（2020·辽宁凌源·高二期末）已知是圆上一动点，弦是圆的一条动直径，则的取值范围是________.

　【答案】

　【解析】，

　而是圆上一动点，圆心的坐标为，所以求的取值范围可以转化成圆心到的圆心的距离5加减1，所以，所以的取值范围是.

　8．（2020·江苏秦淮·期末）设圆，定点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的取值范围是________．

　【答案】

　【解析】根据题意设以为圆心，为半径的圆为圆，所以圆，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：，因为圆O上存在两点到A的距离为，所以圆与圆相交，

　所以，解得：.所以r的取值范围是：.

　9．（2020·江苏省口岸中学）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则的取值范围是__________.

　【答案】

　【解析】圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则，在中，，所以点P在圆上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1，圆心坐标，

　∴.

　10．（2020·南京市秦淮中学）在平面直角坐标系中，为圆上一点，且，其中，，则点横坐标的取值范围是______．

　【答案】

　【解析】设，，，整理可得，点是在圆内且在圆上的点，如图，

　联立两圆方程，解得，由图可知点横坐标的取值范围是.

　11．在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．

　【答案】

　【解析】由题意得圆的圆心为，半径为1．设点的坐标为，

　∵，∴，整理得，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．由题意得圆和点M的轨迹有公共点，∴，解得．

　∴实数的取值范围是．

　12．（2020·江苏南京）平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆C上存在点M，使，则a的取值范围是__________.

　【答案】

　【解析】设点，因为，且，所以，化简得，即，所以在以为圆心，为半径的圆上.所以即在圆上，又在圆上，即圆和圆有公共点，所以，即，

　即，解得.所以的取值范围是.

　13．（2020·江苏如皋·高一期末）若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是________

　【答案】

　【解析】根据题意，设圆，其圆心为，半径；圆，圆心，半径为，若圆上恰有两点到点的距离为1，则圆与圆相交，

　必有，即，解可得，即的取值范围为。