专题4：受力平衡 参考答案 一、平衡问题的分析 1.如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B与竖直杆间的摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角θ，则物体A、B的质量之比mA∶mB等于(　　)　　　 A．cosθ∶1 B．1∶cosθ C．tanθ∶1 D．1∶sinθ 解析：B物受力如图所示，B处于平衡态， 由图可知 ＝cos θ，所以，B正确． 答案：B 2.如图所示，ACB是一光滑的、足够长的、固定在竖直平面内的“∧”形框架，其中CA、CB边与竖直方向的夹角均为θ.P、Q两个轻质小环分别套在CA、CB上，两根细绳的一端分别系在P、Q环上，另一端和一绳套系在一起，结点为O.将质量为m的钩码挂在绳套上，OP、OQ两根细绳拉直后的长度分别用l1、l2表示，若l1∶l2＝2∶3，则两绳受到的拉力之比F1∶F2等于(　　) A．1∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．4∶9 解析：系统最终将处于平衡状态，两个轻质小环P、Q分别受到两个力作用，一是框架对它们的支持力，垂直AC、BC边向外，二是细绳拉力，这两个力是平衡力．根据等腰三角形知识可知两细绳与水平方向的夹角相等，对结点O受力分析，其水平方向的合力为零，可得出两细绳受到的拉力相等，即F1∶F2等于1∶1，本题选A.注意题目中提到的“轻质小环”可以不计重力，绳子的长短并不能代表力的大小，要与力的平行四边形定则中的边长区别开来，力的平行四边形定则中边长的长与短代表着力的大小． 答案：A 3. 一光滑圆环固定在竖直平面内,圆环上套着两个小球A和B(中央有孔),A、B间由细绳连接着,它们处于如图所示位置时恰好都保持静止状态.此情况下,B球与环中心O处于同一水平面上,A、B间的细绳呈伸直状态,与水平线成30○夹角.已知B球的质量为3kg,求细绳对B球的拉力和A球的质量取10 m/s. 【解析】 对B球,受力分析如图,B球处于平衡状态有T 解得10 N=60 N 对A球,受力分析如图,物体A处于平衡状态,有在水平方向:T′,T′=T 在竖直方向: 由上两式解得 kg. 【答案】 60 N 6 kg 4.如图所示，物体A、B用细绳连接后跨过定滑轮．A静止在倾角为30°的斜面上，B被悬挂着．已知质量mA＝2mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由30°增大到50°，但物体仍保持静止，那么下列说法中正确的是(　　) A．绳子的张力将增大 B．物体A对斜面的压力将减小 C．物体A受到的静摩擦力将先增大后减小 D．滑轮受到的绳的作用力不变 解析：由于B物体的质量保持不变，且B物体静止，所以绳的张力保持不变，A项错误；
以A物体为研究对象，在垂直于斜面的方向上有mAgcos θ＝N，沿斜面方向有2mBgsin θ－mBg＝f，当斜面的倾角为30°时，摩擦力恰好为0，当斜面的倾角增大时，支持力减小，静摩擦力增大，B项正确，C项错误；
在斜面倾角增大的过程中，绳子的张力不变，但是夹角减小，所以合力增大，因此D项错误． 答案：B 5如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45,两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为的重物.在绳子距a端的c点有一固定绳圈.若绳圈上悬挂质量为的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量比为( ) A. B.2 C. D. 【解析】 挂上钩码平衡后,绳的bc段与竖直方向成的角度.绳圈受力如图所示,cos又cos.联立以上两式解得:.故C正确. 【答案】 C 6.(2010·山西省实验中学模拟)如图所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ变化情况是(　　) A．物体A的高度升高，θ角变大 B．物体A的高度降低，θ角变小 C．物体A的高度升高，θ角不变 D．物体A的高度不变，θ角变小 解析：最终平衡时，绳的拉力F大小仍为mAg，由二力平衡可得2Fsin θ＝mBg，故θ角不变，但因悬点由Q到P，左侧部分绳子变长，故A应升高，所以C正确． 答案：C 题型2：整体法与隔离法 以题说法 (1)研究对象的选择方法：整体法与隔离法 (2)整体法与隔离法的比较   整体法 隔离法 概念 将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开的方法 选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度 研究系统内物体之间的相互作用力 注意问题 受力分析时不要再考虑系统内物体间的相互作用 一般隔离受力较少的物体 7.如图所示，质量为m的正方体和质量为M的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态．m与M相接触边与竖直方向的夹角为α，若不计一切摩擦，求：
(1)水平面对正方体M的弹力大小；

(2)墙面对正方体m的弹力大小． 解析：(1)以两个正方体整体为研究对象整体竖直方向上受到向上的支持力和向下的重力，处于静止状态，所以水平面对正方体M的弹力大小为(M＋m)g (2)对正方体m进行受力分析如图所示， 把FN2沿水平方向和竖直方向分解有 解得 . 答案：(1)(M＋m)g　(2)mgcot α 试求墙面对M的弹力的大小． 解析：取M和m为一整体，受力分析如图其中为墙对M的弹力． 由物体的平衡条件可得 . 答案：mgcot α 8.如图所示，水平横杆上套有两个质量均为m的铁环，在铁环上系有等长的细绳，共同拴着质量为M的小球．两铁环与小球均保持静止，现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止，则水平横杆对铁环的支持力N和摩擦力f将(　　) A．N增大 B．f增大 C．N减小 D．f减小 解析：本题考查受力分析及整体法和隔离体法．以两环和小球整体为研究对象，在竖直方向始终有N＝Mg＋2mg不变，选项C对A错；
设绳子与水平横杆间的夹角为θ，设绳子拉力为T，以小球为研究对象，竖直方向有，2Tsin θ＝Mg，以小环为研究对象，水平方向有，f＝Tcos θ，由以上两式联立解得f＝Mgcot θ，当两环间距离增大时，θ角变小，则f增大，选项B对D错． 答案：B 9.(2010·阜阳期中)如图所示，物体m通过定滑轮牵引另一水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，斜面质量为M，则水平地面对斜面体(　　) A．无摩擦力 B．有水平向左的摩擦力 C．支持力为(M＋m)g D．支持力小于(M＋m)g 解析：设斜面夹角为θ，对M、m整体分析受力可得平衡方程：
Tcosθ＝F静，Tsinθ＋N＝(M＋m)g，F静的方向应向右，故只有D正确． 答案：D 10.如图所示，用绳OA、OB和OC吊着重物P处于静止状态，其中绳OA水平，绳OB与水平方向成θ角．现用水平向右的力F缓慢地将重物P拉起，用FA和FB分别表示绳OA和绳OB的张力，则(　　) A．FA、FB、F均增大 B．FA增大，FB不变，F增大 C．FA不变，FB减小，F增大 D．FA增大，FB减小，F减小 解析：把OA、OB和OC三根绳和重物P看作一个整体，整体受到重力mg，A点的拉力FA，方向沿着OA绳水平向左，B点的拉力FB，方向沿着OB绳斜向右上方，水平向右的拉力F而处于平衡状态，有：FA＝F＋FBcos θ，FBsin θ＝mg，因为θ不变，所以FB不变．再以O点进行研究，O点受到OA绳的拉力，方向不变，沿着OA绳水平向左，OB绳的拉力，大小和方向都不变，OC绳的拉力，大小和方向都可以变化，O点处于平衡状态，因此这三个力构成一个封闭的矢量三角形(如图)，刚开始FC由竖直方向逆时针旋转到图中的虚线位置，因此FA和FC同时增大，又FA＝F＋FBcos θ，FB不变，所以F增大，所以B正确． 答案：B 11.如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止．若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则(　　) A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力增大 C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力减小 解析：受力分析如图所示，A的位置左移，θ角减小，N1＝Gtan θ，N1减小，B项错误；
N＝G/cos θ，N减小，D项正确；
以AB为一个整体受力分析，N1＝F，所以水平外力减小，A项错误；
地面对A的作用力等于两个物体的重力，所以该力不变，C项错误．本题难度中等． 答案：
D 12.如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量m＝ kg的小球相连．今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g＝10 m/s2，求运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ及木块M与水平杆间的动摩擦因数． 解析：以M、m整体为研究对象．由平衡条件得：
水平方向：Fcos 30°－μN ＝0 ① 竖直方向：N＋Fsin 30°－Mg－mg ＝0 ② 由①②得：μ＝ 以m为研究对象，由平衡条件得Fcos 30°－FTcos θ ＝0 ③ Fsin 30°＋FTsin θ－mg ＝0 ④ 由③④得：θ＝30° 答案：30°　 题型3：用图解法分析动态问题 “动态平衡”是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”． 13.如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质 量为m的小球A，为使细绳与竖直方向夹30°角且绷紧，小球A处于静止，对小球施加的最小的力是 (　　) A.mg　　　　　　　　B.mg C.mg　　　　　　　　D.mg 解析：将mg在沿绳方向与垂直于绳方向分解，如图所示． 所以施加的力与F1等大反向即可使小球静止，故Fmin＝mgsin30°＝mg，故选C. 答案：C 14．如图所示是用来粉刷墙壁的涂料滚的示意图．使用时，用撑竿推着涂料滚沿墙壁上下滚动，把涂料均匀地 粉刷到墙壁上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长．粉刷工人站在离墙壁某一距离处缓缓上推涂料滚，使撑竿与墙壁间的夹角越来越小．该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，墙壁对涂料滚的支持力为F2，下列说法正确的是 (　　) A．F1、F2均减小 B.F1、F2均增大 C．F1减小，F2增大 D．F1增大，F2减小 解析：在缓缓上推过程中涂料滚受力如图所示． 由平衡条件可知：
F1sinθ－F2＝0 F1cosθ－G＝0 解得F1＝ F2＝Gtanθ 由于θ减小，所以F1减小，F2减小，故正确答案为A. 答案：A 题型4：利用三角形相似求解平衡问题 15.一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力N的大小变化情况是(　　) A．N先减小，后增大 B．N始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变 解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将N与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解． 如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得 ，N＝ G，F＝ G 式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小． 答案：B 16.如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为(　　) A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1<F2 D．无法确定 解析：两球间放劲度系数为k1的弹簧静止时，小球B受力如右图所示，弹簧的弹力F与小球的重力G的合力与绳的拉力F1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA、OB均恒为L，因此F1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k2的弹簧后绳的拉力F2＝F1，B正确． 答案：B 17.表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦的定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如图2－4－11所示，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计球的大小)(　　) A．24∶1 B．25∶1 C．24∶25 D．25∶24 解析：对小球2进行受力分析，如右图所示，显然△O′OP与△PBQ相似． 设OO′＝H，OP＝R，O′P＝L2， 由相似三角形的性质有m2g/H＝N/R＝F2/L2， 则m2＝F2H/(gL2)，同理可得m1＝F1H/(gL1) 而F1＝F2，于是m1/m2＝L2/L1＝25∶24. 答案：D 题型5：正交分解法 18. 如图所示，轻质光滑滑轮两侧用细绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上， A、B均静止．已知A和B的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ，则 (　　) A．物体B受到的摩擦力可能为0 B．物体B受到的摩擦力为mAgsinθ C．物体B对地面的压力可能为0 D．物体B对地面的压力为mBg－mAgsinθ 解析：对B受力分析如右图所示，则 水平方向上：f＝T·cosθ 由于T＝mAg 所以f＝mAgcosθ，故A、B错；

竖直方向上：NB＋Tsinθ＝mBg 所以NB＝mBg－Tsinθ＝mBg－mAgsinθ，故C错D对． 答案：D 19. 如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A和B,物体A放在倾角为的斜面上.已知物体A的质量为m,物体A与斜面间的动摩擦因数为 tan取最大静摩擦力等于滑动摩擦力,滑轮的摩擦不计,要使物体A静止在斜面上,求物体B的质量的取值范围. 【解析】 对B受力分析,绳中拉力; (2分) 当取最大值时,物体具有沿斜面向下的最大静摩擦力; (2分) 对A受力分析并正交分解得: N-mgcos;-mgsin; (3分) 联立以上各式,解得:sincos (2分) 当取最小值时,物体具有沿斜面向上的最大静摩擦力; (2分) 对A受力分析并正交分解得: N-mgcos; -mgsin; (3分) 联立以上各式,解得sincos (2分) 所以的范围是: m(sincossincos. (2分) 【答案】 m(sincossincos 题型4：平衡物体中的临界与极值问题 临界问题 某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件． 20.如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 解析：本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图示，列出平衡方程求解． 用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示． 由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力． F≤Fmax＝μNB.由平衡条件有：
对球有：GA＝Ncos 45°① NA＝Nsin 45°② 对三角劈有　NB＝G＋N′sin 45°③ F＝N′cos 45°④ F≤μNB，⑤ ∵N＝N′⑥ 由①～⑥式解得：GA≤G. 答案：球的重力不得超过 G 以题说法 处理平衡物理中的临界问题和极值问题，首先仍要正确受力分析，搞清临界条件并且要利用好临界条件，列出平衡方程，对于分析极值问题，要善于选择物理方法和数学方法，做到数理的巧妙结合． 21.如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求：
(1)小环对杆的压力；

(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？ 解析：(1)整体法分析有：2N＝(M＋2m)g，即N＝ Mg＋mg 由牛顿第三定律得：小环对杆的压力N′＝ Mg＋mg. (2)研究M得2Tcos 30°＝Mg 临界状态，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则有Tsin 30°＝μN′ 解得：动摩擦因数μ至少为μ＝ 答案：(1) Mg＋mg　(2) 22.如图所示，一根弹性细绳原长为l，劲度系数为k，将其一端穿过一个光滑小孔O(其在水平地面上的投影点为O′)，系在一个质量为m的滑块A上，A放在水平地面上．小孔O离绳固定端的竖直距离为l，离水平地面高度为h(h<mg/k)，滑块A与水平地面间的最大静摩擦力为正压力的μ倍．问：
(1)当滑块与O′点距离为r时，弹性细绳对滑块A的拉力为多大？ (2)滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态？ 解析：(1)当滑块与O′点的距离为r时，弹性细绳的伸长量为Δx＝ . 由胡克定律知，弹性绳的拉力F＝kΔx＝k (2)设OA与水平面的夹角为α，分析物体受力如图所示，由平衡条件得：
N＋Fsin α＝mg Fcos α＝f. 而F＝k， fm＝μN 所以有：k·cos α＝f≤fm＝μ(mg－Fsin α)＝μ(mg－kh) 其中cos α＝r，故r≤ 答案：(1)k (2)以O′为圆心，以为半径的圆内的任何位置