2005年高考理科数学福建卷试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题 共60分） 注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数的共轭复数是 （ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列中，，则的值是 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 3．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ ） A．5 B．－5 C． D． 4．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：
①若 ②若 ③若 其中真命题的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象如图，则 （ ） A． B． C． D． 7．已知p：则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2， AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ） A． B． C． D． 9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 10．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 11．设的最小值是 （ ） A． B． C．－3 D． 12．是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置 13．展开式中的常数项是 （用数字作答） 14．非负实数满足的最大值为 15．若常数b满足|b|>1，则 . 16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图象与的图象关于____对称，则函数=______ （注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知. （I）求sinx－cosx的值；

（Ⅱ）求的值. 18．（本小题满分12分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

19．（本小题满分12分） 已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 20．（本小题满分12分） 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 21．（本小题满分12分） 已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；
若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分） 已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围. 2005年高考理科数学福建卷试题及答案 参考答案 1． B． 2． A．3． A． 4． C． 5． D． 6． C． 7． A． 8． D． 9． B． 10． D． 11． C． 12． D？． 12．解答：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0 ∵f(x)是以3为周期，f(2)＝0 ∴f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0　f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0　　 ∵f(－1)＝f(2－3)＝f(2)＝0；
f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝0。∴f(1)＝0 　f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0 ∵f(x)是以3为周期，∴f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)   也就是f(1.5)＝－f(1.5)，即2f(1.5)＝0,　f(1.5)＝0　　f(4.5)＝f(1.5＋3)＝0 由此可见，f(x)＝0在区间(0,6)内的解有7个，分别是：1、2、3、4、5、1.5、4.5　 四个选项中都没有正确答案　 说明出题者当时忽视了f(4.5)＝f(1.5)＝0也成立的情况 构造出符合四个条件（1）定义在R上；
（2）奇函数；
（3）周期为3；
（4）f(2)=0的一个函数f(x)=sinx+sinx，图像如下：
只需后面再加上一项sin2πx，图像如下：
就可以在上一个原有的根不变的的基础上增加四个根：
若再增加一项：sin4πx 在前一个原有的根不变的基础上又可以增加四个根：这样符合四个条件的函数的根就有15个！ 13． 240 14． 9 15． . 16．① ,② , ③ ,④ , 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知. （I）求sinx－cosx的值；

（Ⅱ）求的值. 本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特点等基本知识，以及推理和运算能力 解法一：（Ⅰ）由 即 又 故 （Ⅱ） ①② 解法二：（Ⅰ）联立方程 由①得将其代入②，整理得 故 （Ⅱ） 18．（本小题满分12分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
ξ 0 1 2 P 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为. （Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件， 而 ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为 19．（本小题满分12分） 已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能力 解：由函数f(x)的图像在点M（-1，）处的切线的方程为x+2y+5=0,知， ，∴ （II）， ；

由得到， 所以函数f(x) 在上单调递减，在上单调递增 20．（本小题满分12分） 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力 （I） （II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=， 在直角三角形BCE中，CE= 在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中， ∴二面角B-AC-E为 （III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为 另法：过点E作交AB于点O. OE=1. ∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， ∴点D到平面ACE的距离为 解法二：
（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图. 面BCE，BE面BCE， ， 在的中点， 设平面AEC的一个法向量为， 则 解得 令得是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为， ∴二面角B—AC—E的大小为 （III）∵AD//z轴，AD=2，∴， ∴点D到平面ACE的距离 21．（本小题满分12分） 已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；
若不存在，请说明理由. 本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力 （I）解法一：直线， ① 过原点垂直的直线方程为， ② 解①②得 ∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 ③ 解法二：直线. 设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. 故椭圆C的方程为 ③ （II）解法一：设M（），N（）. 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 点O到直线MN的距离 即 即 整理得 当直线m垂直x轴时，也满足. 故直线m的方程为 或或 经检验上述直线均满足. 所以所求直线方程为或或 解法二：设M（），N（）. 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点， ∴|MN|=|ME|+|NE| = 以下与解法一相同. 解法三：设M（），N（）. 设直线，代入③，整理得 即 ∴=，整理得 解得或 故直线m的方程为或或 经检验上述直线方程为 所以所求直线方程为或或 22．（本小题满分14分） 已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围. 本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 （I）解法1：
解法2：
（II） 所以数列{只能有n项为有穷数列 （III）解法一：因为 所以 这就是所求的取值范围 解法二：
为运算方便，引入Fibonacci数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… 令 当n＞1时，Fn+2- Fn+1 ＝ Fn，而 容易观察得到 特别地， 所以，当时，对于， 由 恒成立；
所以 所以 这就是所求的取值范围