八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

　今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。

　 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

　 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（

　 C

　 ） A．

　 B．

　C．

　 D． （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是

　解：（1），，，，选C；

　 （2）， （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是

　。

　解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

　如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，， ，，，平面， ，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， ，， ，，平面， ，，，， 平面，， 故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直， ，即， 正三棱锥外接球的表面积是

　（4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（

　D ）

　 （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是

　 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为

　解析：（4）在中，， ，的外接球直径为， ，，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则 ，，，，，，， （6），， ，

　类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，平面 解题步骤：

　第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直

　径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半 径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 ），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点

　 解题步骤：

　第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆。

　例2

　一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为(

　)C A．

　 B．

　C．

　D．以上都不对

　解：选C，,, , ,

　 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

　1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出

　2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）

　 3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤：

　第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为

　。

　（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

　解：（1）由正弦定理或找球心都可得，， （2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，， 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，

　（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（

　 ）

　A．　

　 B.　

　 C. 4　

　 D. 解：选D，圆锥在以的圆上， （4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）A A．

　 B．

　 C．

　D． 解：，， 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

　 题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为

　解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则， 底面积为，，，， ，球的体积为 （2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于

　。

　解：，，，， （3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为

　 。

　解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，， ；法二：，，，， （4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为

　。

　解析：，，，， ，

　类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

　第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理：

　例5三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为

　. 解析：，，， ，； 法二：，，， ， 类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组， ， 补充：

　第三步：根据墙角模型，， ，，求出， 例如，正四面体的外接球半径可用此法。

　例6（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

　.

　（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（

　） A．

　B．

　 C．

　 D．

　解：（1）截面为，面积是； （2）高，底面外接圆的半径为，直径为， 设底面边长为，则，，， 三棱锥的体积为

　（3）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为

　 。

　解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则， ，，， ，， （4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为

　 .

　解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，， 【55；对称几何体；放到长方体中】 （5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为

　 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，， ，，

　类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

　题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接 ，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

　例7（1）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（

　） A．

　 B．

　 C．

　D． 解：（1），，，选C （2）在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为

　 ．

　解析：（2）的中点是球心，，； 类型八、锥体的内切球问题

　1．题设：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。

　第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出

　2．题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径

　第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出

　3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式：

　 第三步：解出 习题：

　1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（

　） A.

　B.

　 C.

　D. 解：【A】， 【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】 2． 三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于

　 .

　解析：，，，，外接球体积 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】 3．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于

　 . 解析：外接圆的半径为 ，三棱锥的直径为，外接球半径， 或，，外接球体积， 4．三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为

　. 解析：的外接圆是大圆，，， 5． 三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为

　. 解析：，，， ， 6． 三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为

　. 解：是公共的斜边，的中点是球心，球半径为