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　2021届河北省“五个一名校联盟”高三上学期第一次诊断考试

　数学试卷

　★祝考试顺利★

　(含答案)

　第Ⅰ卷（选择题）

　一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，集合，则＝（ ）

　A.

　B. [-1，0）

　C. [-1，3）

　D. [-1，＋∞）

　【答案】C

　【分析】先化简集合，得到，，然后再求交集.

　详解】由，所以集合

　由，可得，则

　所以集合

　所以

　故选：C

　2. 已知复数z＝3＋4i，那么（ ）

　A.

　B. 1

　C.

　D.

　【答案】B

　【分析】将z＝3＋4i，代入化简即可

　【详解】解：因为复数z＝3＋4i，所以，

　所以

　故选：B

　3. 已知向量，则向量与向量的夹角为（ ）

　A.

　B.

　C.

　D.

　【答案】D

　【分析】根据条件先计算出、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的夹角公式求解出向量与向量夹角的余弦值，则向量的夹角可求.

　【详解】因为，所以，

　所以，

　所以，

　故选：D.

　4. 安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生a不去甲单位，医生b只能去乙单位，则不同的选派方式共有（ ）

　A. 18种

　B. 24种

　C. 36种

　D. 42种

　【答案】A

　【分析】根据题意分2种情况讨论：（1）a去乙单位，则ab在一起，（2）a不去乙单位，则a必去丙单位，由加法原理计算可得答案

　【详解】解：根据题意分2种情况讨论：（1）a去乙单位，则ab在一起，都去乙单位，将剩下4人分为2组，安排在甲、丙两个单位即可，有种安排方法；

　（2）a不去乙单位，则a必去丙单位，在剩下4人中选出2人安排在甲单位，再将剩下2人分别安排到乙、丙，有种安排方法，

　则有种安排方法，

　故选：A

　5. 在正四面体S-ABC中，点O为三角形SBC的垂心，则直线AO与平面SAC所成的角的余弦值为（ ）

　A.

　B.

　C.

　D.

　【答案】B

　【分析】作出图形，可以得到直线AO与平面SAC所成的角为，然后可得，进一步得到出结果.

　【详解】如图：

　由于该四面体为正四面体，所以可知每个面均为正三角形，且平面

　所以可知点的投影落在上，所以直线AO与平面SAC所成的角为

　故，所以

　故选：B

　6. 在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝4上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）构成正三角形ABC，那么（ ）

　A. 0

　B. 2

　C. 3

　D. 6

　【答案】D

　【分析】分别设，计算，利用三角函数化简即可.

　【详解】因为三角形ABC为正三角形，

　所以设，

　，

　故

　，

　故选：D

　【点睛】关键点点睛：根据A,B,C在圆上且构成正三角形ABC，设三点坐标为，，是解题的关键.

　7. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，双曲线C的右支上有一点P满足|OP|＝|OF|＝2|PF|（点O为坐标原点），那么双曲线C的离心率为（ ）

　A. 2

　B.

　C.

　D.

　【答案】C

　【分析】记双曲线的左焦点为，根据题中条件，得到，根据双曲线的定义，得到，在中，根据勾股定理，即可求出结果.

　【详解】记双曲线的左焦点为，由题意可得|OP|＝|OF|＝2|PF|=c，

　所以，则，

　由双曲线的定义可得，，则，

　所以在中，，所以，所以，解得离心率为.

　故选：C.

　8. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）

　A.

　B.

　C.

　D.

　【答案】A

　【分析】根据条件先分析的结果，由此确定出的奇偶性和单调性，再将问题转化为“已知，求解的取值范围”，根据单调性列出关于的不等式并求解出结果.

　【详解】由题可知且

　，

　，

　令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数，

　 函数与在上均单调递增，

　与在上单调递增，

　在上单调递增，即在上也单调递增且，

　又为奇函数，在上单调递增，

　不等式等价于，

　，

　在R上单调递增，

　，

　解得，

　 实数a的取值范围是，

　故选：A.

　【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如不等式的思路：

　（1）利用奇偶性将不等式变形为；、

　（2）根据单调性得到与的大小关系；

　（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.

　二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

　9. 若函数f（x）＝tan2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，那么下列说法正确的是（ ）

　A. 函数g（x）的定义域为{，k∈Z}

　B. 函数g（x）在单调递增

　C. 函数g（x）图象的对称中心为，k∈Z

　D. 函数g（x）≤1的一个充分条件是

　【答案】BD

　【分析】根据平移可得的表达式，然后利用正切函数的性质进行判断即可.

　【详解】由题可知：

　令，即

　所以函数定义域为，故A错

　令

　所以函数单调递增区间为，

　当时，是函数的单调递增区间，故B正确

　令，故函数对称中心为，故C错

　所以，

　所以在所求的范围之内，故D正确

　故选：BD

　10. 已知数列满足，，，其前项和为，则下列选项中正确的是（ ）

　A. 数列是公差为的等差数列

　B. 满足的的最大值是9

　C. 除以的余数只能为0或1

　D.

　【答案】ABC

　【分析】根据题意对变形得，进而根据累加法求得，再依次讨论各选项即可得答案.

　【详解】解：因为，

　故等式两边同除以得：，

　所以，，，

　故根据累加法得：，

　由于，故，检验满足，

　故

　所以数列是公差为的等差数列，故A选项正确；

　由等差数列前项和公式得：，

　故，解得：，故满足的的最大值是9，故B选项正确；

　对于C选项，当时，，此时除以的余数只能为1；当时，，此时除以的余数只能，故C选项正确；

　对于D选项，，，显然，故D选项错误.

　故选：ABC

　【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得，进而根据累加法求得通项公式.

　11. 已知a，b＞0且2a＋b＝1，则的值不可能是（ ）

　A 7

　B. 8

　C. 9

　D.

　【答案】ABD

　【分析】根据式子进行化简可得原式=，然后进一步化简可得，简单判断可得结果.

　【详解】由题可知：

　所以

　所以原式

　原式，由a，b＞0，所以

　又

　故

　故选：ABD

　12. 如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ）

　A. 点A'到平面BCED的距离为3

　B. 直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为

　C. A'D⊥BD

　D. 四棱锥A'-BCED的外接球半径为

　【答案】ABD

　【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.

　【详解】如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.

　则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,

　∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,

　又∵CD?平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,

　在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,

　∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，

　∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=2,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正确；

　连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,

　∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，

　DN=DA'=4,A'N=A'M=2,

　cos∠A'DN=,故B正确；

　A'D=DB=4,A'B=,

　∴,∴A'D与BD不垂直，故C错误’

　易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，

　设四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,

　若O在平面BCED上方，入图①所示：

　设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,

　则HP=x,易得,解得,舍去；

　故O在平面BCED下方，如图②所示：

　设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P,

　则HP=x,易得, 解得,

　∴,,故D正确.

　故选:ABD.

　第Ⅱ卷（非选择题）

　三、填空题：

　13. 曲线在点（0，f（0））处的切线方程为________.

　【答案】

　【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后求切线的斜率，再利用点斜式方程可求出切线方程

　【详解】解：由，得，

　所以切线的斜率为，，

　所以在点（0，f（0））处切线方程为，即，

　故答案为：

　14. 已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x＝-1，过直线l上一动点P作抛物线的切线，切点分别为A，B，则以AB为直径的圆与直线l的位置关系是________.（用“相交”“相切”或“相离”填空）

　【答案】相切

　【分析】设，再切线方程为，与抛物线方程联立，消元后由，得的关系，此式作为的方程，方程的两个解就是切线的斜率，然后求出两点坐标，计算，求出切线中点到准线的距离它等于即可得结论．

　【详解】设，过点的抛物线的切线斜率为，切线方程为，

　由得(*)，所以，

　，此时，此方程一定有两不等实根，为切线的斜率．

　，，

　由(*)，切点纵坐标为，则，

　所以，，

　又，，

　设中点为，则，到准线的距离为，

　，

　所以以AB为直径的圆与直线l相切．

　故答案为：相切．

　15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：若一个正整数被3除余2且被5除余4，就称为“α数”，现有数列{an}，其中an＝2n-1，则数列{an}前2021项中“α数”有________个.

　【答案】134

　【分析】依据题意可知，所求的数是被15除余14的数，假设“α数”的个数为个，满足，最后根据该数列的特点进行判断即可.

　【详解】由题可知：被3除余2且被5除余4的正整数为被15除余14的正整数，

　由an＝2n-1，所以数列{an}前2021项即1到4041项中的奇数，

　设“α数”的个数为个，则即

　又数列{an}中的每一项均为奇数，，所以数列{an}前2021项中“α数”有134个

　故答案为：134

　16. 已知函数在定义域内没有零点，则a的取值范围是________.

　【答案】

　【分析】利用导数并得到隐零点，可得，然后将代入，可得的范围，最后简单计算即可得到结果.

　【详解】函数定义域为

　，令，由单调递增，且

　又单调递减，且，所以存在，使得

　当时，；当时，

　所以在单调递减，在单调递增，

　所以，即

　所以，即，两边取对数可得

　则

　由，即

　令，易得函数在定义域中是单调递减的，且

　所以，由，令

　又在单调递减，所以

　所以， 则

　故答案为：

　四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

　17. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在以下三个条件中任选一个：①sin2A＝sin2B＋sin2C-sinBsinC；②；③1-2sinBsin（A-C）＝cos2B

　并解答以下问题：

　（1）若选________（填序号），求cosA的值；

　（2）在（1）的条件下，若a＝2，求△ABC的面积S的最大值.

　【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

　【分析】（1）若选①，利用正弦定理先进行角化边，然后对比角的余弦定理即可求解出的值；若选②，利用二倍角公式先求解出的值，然后再求解出的值；若选③，利用二倍角变形公式进行化简，求解出之间的关系，结合隐含条件求解出的值，从而可求；

　（2）先根据已知条件结合基本不等式求解出的最大值，然后根据三角形的面积公式即可求解出面积的最大值.

　【详解】（1）若选①，sin2A＝sin2B＋sin2C-sinBsin

　由正弦定理可得：a2＝b2＋c2-bc，

　再由余弦定理可得：.

　若选②，由二倍角公式，

　.

　若选③，由1-2sinBsin（A-C）＝cos2B，

　可得sinBsin（A-C）＝＝sin2B.

　即sin（A-C）＝sinB，

　即A-C＝B或A-C＝π-B，

　又因为若A-C＝π-B，则有，不符合题意，所以可得A-C＝B，

　而A＋B＋C＝π，所以，则cosA＝0.

　（2）若选①或②，由余弦定理a2＝b2＋c2-2bccosA，

　把，a＝2代入可得：4＝b2＋c2-bc≥bc，可得bc≤4，

　当且仅当b＝c时等号成立，

　又因A为三角形内角，可得sinA＞0，则，

　则，即S的最大值为，

　若选③，由勾股定理a2＝b2＋c2，即4＝a2＋b2≥2bc，可得bc≤2，当且仅当b＝c时等号成立.

　则，即S的最大值为1.

　【点睛】思路点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积最值的常见思路：

　（1）若已知角和，可通过余弦定理求解出的最值，则三角形面积对应的最值可求；

　（2）若已知角和，可通过正弦定理用的形式表示出，再结合面积公式以及三角恒等变换的公式通过化简可求解出面积的最值.

　18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝-8，S6＋a5＝1.

　（1）求数列{an}的通项公式；

　（2）若数列bn＝2n＋1，求数列{|an|·bn}的前n项和Tn.

　【答案】（1）an＝3n-11；（2）.

　【分析】（1）假设等差数列的公差，然后根据所给的基本量进行计算可得结果.

　（2）根据（1）的条件可得an，然后讨论的范围并结合错位相减法计算即可.

　【详解】（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，由题意可知：

　6a1＋15d＋a1＋4d＝1，其中a1＝-8，解得：d＝3

　则an＝-8＋3（n-1）＝3n-11.

　（2）由（1）可知当n＝1，2，3时，an＜0，|an|＝-an，

　当n≥4时，an＞0，|an|＝an，

　当n＝1，2，3时，可知：T1＝32，T2＝72，T3＝104，

　当n≥4时，可知：Tn＝104＋a4b4＋…＋anbn，即：

　Tn＝104＋（3×4-11）·25＋…＋（3n-11）·2n＋1，两边乘以2可得：

　2Tn＝2×104＋（3×4-11）·26＋…＋（3n-11）·2n＋2，

　两式做差，整理可得：Tn＝（3n-14）·2n＋2＋264，

　综上可得：.

　19. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是菱形，AB＝2，，且.

　（1）求证：平面平面ABCD；

　（2）求二面角的余弦值.

　【答案】（1）证明见解析；（2）.

　【分析】（1）作底面ABCD，通过线段的长度，来验证点O是底面的中心，可得⊥平面ABCD，然后根据面面垂直的判定定理可得结果.

　（2）根据（1）的条件可得该二面角的平面角为，然后根据长度并结合余弦定理计算即可.

　【详解】（1）证明：过向底面作垂线，设垂足为O，

　过O分别向AD，AB作垂线，垂足分别为E，F，连接和，易得AD，OE⊥AD，∩OE＝O，所以AD⊥平面，

　所以AD⊥，同理AB⊥.

　在Rt△和Rt△中，，所以，，

　在Rt△OAE和Rt△OAF中，∠OAE＝∠OAF＝30°，

　可解得：，所以O在∠DAB的平分线AC上，

　又，所以O既为AC中点，又在BD上，AC∩BD＝O，

　又平面，⊥平面ABCD，所以平面⊥平面ABCD；

　（2）由（1）可知：平面⊥平面ABCD，又AC⊥BD，AC平面ABCD，

　所以AC⊥平面，又AC∥，

　所以⊥平面，

　则即为二面角的平面角；

　由（1）可知：，＝，BD＝2，

　由余弦定理可得：，

　所以二面角的余弦值是.

　20. 甲乙两人进行投篮比赛，每轮比赛由甲乙各投一次，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为.每轮投篮比赛中，甲乙投中与否互不影响，按以下情况计分：都投中或者都不中双方都记0分；一方投中，而另一方未中，投中者得1分，未中者得-1分；若有人积2分，则此人获胜且比赛停止.

　（1）比赛三轮后，甲积1分的概率是多少？

　（2）若比赛至多进行五轮，问乙能获胜的概率是多少？

　【答案】（1）；（2）.

　【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式即可求解；

　（2）比赛至多进行五轮乙能获胜，包含两轮获胜乙获胜，三轮获胜乙获胜，四轮获胜乙获胜，五轮获胜乙获胜，利用互斥事件和相互独立事件分别求得各概率，最后相加即可．

　【详解】（1）在一轮比赛中，甲积1分记为事件A，其概率为，

　甲积0分记为事件B，其概率为P（B）＝，

　甲积-1分记为事件C，其概率为，

　三轮比赛后，甲积1分记为事件D，则P（D）＝P（ABB＋BAB＋BBA＋CAA＋ACA）

　＝P（ABB）＋P（BAB）＋P（BBA）＋P（CAA）＋P（ACA）；

　（2）乙两轮获胜记为事件E，则P（E）＝P（CC）＝；

　乙三轮获胜记为事件F，则P（F）＝P（BCC＋CBC）＝P（BCC）＋P（CBC）

　＝；

　乙四轮获胜记为事件G，则

　P（G）＝P（BBCC＋BCBC＋CBBC＋ACCC＋CACC）＝P（BBCC）＋P（BCBC）＋P（CBBC）＋P（ACCC）＋P（CACC）

　＝；

　乙五轮获胜记为事件H，

　则P（H）＝P（BBBCC＋BBCBC＋BCBBC＋CBBBC＋BACCC＋BCACC＋ABCCC＋CBACC＋ACBCC＋CABCC＋ACCBC＋CACBC）

　＝．

　综上：若比赛至多进行五轮，则乙能获胜的概率是．

　21. 设函数存在两个极值点，且，.

　（1）求的取值范围；

　（2）证明：.

　【答案】（1）；（2）证明见解析.

　【分析】（1）由已知得有两个不同的根，且，，由二次函数的性质列不等式组，即可求得的取值范围；

　（2）由，可得，则，令，利用导数可得上单调递减，进而可，结合（1）中结论，即可得证.

　【详解】（1），由题意可知，有两个不同的根，且，，

　则，解得：，

　即的范围为.

　（2）由题意可知，，所以，

　所以，

　令，求导可得：，

　可知在上单调递减，

　则，

　即，

　又由，

　所以得证.

　22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）和抛物线D：y2＝4x，椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C上有一点P满足|PF1|︰|F1F2|︰|PF2|＝3︰4︰5，抛物线D的焦点为F2.

　（1）求椭圆C的方程；

　（2）过F2作两条互相垂直的直线l1和l2，其中直线l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交抛物线D于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值.

　【答案】（1）；（2）8.

　【分析】（1）由题意得c＝1，由|PF1|︰|F1F2|︰|PF2|＝3︰4︰5，可得，从而可求出的值，进而可得到椭圆的方程；

　（2）由题意可知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，可求得四边形APBQ的面积S＝4×2＝8，当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立方程组消去后，再利用根与系数的关系，然后利用弦长公式求出，直线PQ与抛物线方程联立方程组，同样可求得|PQ|，而由AB⊥PQ，可得四边形APBQ的面积，若令3＋4k2＝t＞3，则，再利用导数可求得其最小值

　【详解】（1）由题意可知，抛物线D：y2＝4x的焦点为（1，0），所以椭圆C的半焦距c＝1，

　又椭圆C有一点P满足|PF1|︰|F1F2|︰|PF2|＝3︰4︰5

　所以椭圆C的离心率，所以a＝2，，

　则求得椭圆C的方程是.

　（2）当直线AB的斜率不存在时，直线PQ即为x轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；

　当直线AB的斜率为0时，A，B为椭圆长轴两端点，直线PQ⊥x轴，|PQ|＝4，

　四边形APBQ的面积S＝4×2＝8；

　当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

　联立直线AB与椭圆C：，

　消去y可得：（3＋4k2）x2-8k2x＋4k2-12＝0，

　则，.

　则弦长

　，

　设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立直线PQ与抛物线D：，

　消去y可得：x2-（4k2＋2）x＋1＝0，则x3＋x4＝4k2＋2，

　由抛物线的定义，弦长|PQ|＝x3＋x4＋2＝4k2＋2＋2＝4（k2＋1），

　由于AB⊥PQ，则四边形APBQ的面积，

　令3＋4k2＝t＞3，则，

　即，令，求导可得：，

　可知x＞3时，，则g（x）单调递增，则g（x）＞g（3）＝8，

　综上可知，当直线AB斜率k＝0时，四边形APBQ面积有最小值8.