第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能

　2-1 试画图示各杆的轴力图。

　 题2-1图 解：各杆的轴力图如图2-1所示。

　 图2-1

　2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。

　 题2-2图 (a)解：由图2-2a(1)可知，

　 轴力图如图2-2a(2)所示，

　图2-2a (b)解：由图2-2b(2)可知，

　 轴力图如图2-2b(2)所示，

　图2-2b 2-3

　图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

　 题2-3图 解：该拉杆横截面上的正应力为

　 斜截面m-m的方位角故有

　 杆内的最大正应力与最大切应力分别为

　 2-5

　某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

　 题2-5 解：由题图可以近似确定所求各量。

　 ,

　,

　 该材料属于塑性材料。

　2-7

　一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长

　 l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

　 题2-6图 解：

　查上述曲线，知此时的轴向应变为

　 轴向变形为

　 拉力卸去后，有

　，

　故残留轴向变形为

　 2-9

　图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，板厚15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

　 题2-9图 解：根据

　 查应力集中因数曲线,得

　 根据

　，

　 得

　 2-10

　图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

　 题2-10图 解：1.在圆孔处 根据

　 查圆孔应力集中因数曲线，得

　 故有

　 2．在圆角处 根据

　查圆角应力集中因数曲线，得

　 故有

　 3. 结论

　（在圆孔边缘处） 2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[s]，试确定载荷F的许用值[F]。

　 题2-14图 解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为

　 根据强度条件，要求

　 由此得

　 2-15

　图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。

　 题2-15图 解：1.求各杆轴力 设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得

　 2.求重量最轻的a值 由强度条件得

　 结构的总体积为

　 由

　得

　 由此得使结构体积最小或重量最轻的值为

　 2-16

　图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。

　 题2-16图 解：1.求各杆轴力 由于结构及受载左右对称，故有

　 2.求的最佳值 由强度条件可得

　 结构总体积为

　 由

　 得

　 由此得的最佳值为

　 2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[s]＝120MPa，许用切应力[t]＝90MPa，许用挤压应力[sbs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。

　 题2-17图 解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为

　 (a)

　 (b)

　 (c) 理想的情况下，

　 在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得

　 于是得

　 由此得

　 2-18

　图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d。

　 题2-18图 解：1. 求轴销处的支反力 由平衡方程与，分别得

　 由此得轴销处的总支反力为

　 2.确定轴销的直径 由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）

　 得

　 由轴销的挤压强度条件

　 得

　 结论：取轴销直径。

　2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。

　题2-19图

　 解：剪应力与挤压应力分别为

　 2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[s] =160MPa，许用切应力[t] = 120 MPa，许用挤压应力[sbs ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。

　题2-20图 解：最大拉应力为

　 最大挤压与剪切应力则分别为

　 2-21

　图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。

　 题2-21图 解：由拉伸强度条件

　 得

　 （a） 由挤压强度条件

　 得

　 （b） 由剪切强度条件

　 得

　 取代入式（a），得

　 结论：取

　 ，，。

　2-22

　图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。

　 题2-22图 解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知，

　图2-22 2.考虑铆钉的剪切强度

　 3．考虑铆钉的挤压强度

　 结论：比较以上四个F值，得

　 2-23

　图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚d=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[t]=100MPa，许用挤压应力[sbs]=300MPa，许用拉应力 [s]=160MPa。试校核钢带的强度。

　 题2-23图 解：1．钢带受力分析 分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，

　通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

　铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为

　 孔表面的最大挤压应力为

　 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为

　 钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

　截面1-1与2-2的正应力分别为

　 第三章 轴向拉压变形 3-2

　一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量DD及体积改变量DV。

　解：1. 计算DD 由于

　 故有

　 2.计算DV 变形后该杆的体积为

　 故有

　 3-4

　图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。

　 题3-4图 解：1.求预紧力 各段轴力数值上均等于，因此，

　 由此得

　 2.校核螺栓的强度

　 此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

　3-5

　图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为= 4.0×10-4与= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。

　 题3-5图 解：1.求各杆轴力

　 2.确定及之值 由节点的平衡方程和得

　 化简后，成为

　 (a) 及

　 (b) 联立求解方程(a)与(b)，得

　 由此得

　 3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。

　 题3-6图 解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

　 (a) 由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为

　 代入式(a)，于是得

　 3-7

　图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。

　 题3-7图 解：自截面B向上取坐标，处的轴力为

　 该处微段dy的轴向变形为

　 于是得截面B的位移为

　 3-8

　图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。

　 题3-8图 解：1. 轴力分析 摩擦力的合力为

　 根据地桩的轴向平衡，

　 由此得

　 （a） 截面处的轴力为

　 2. 地桩缩短量计算 截面y处微段dy的缩短量为

　 积分得

　 将式(a)代入上式，于是得

　 3-9

　图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

　 题3-9图 解：载荷作用后，刚性梁倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长为。

　 图3-9 以刚性梁为研究对象，由平衡方程得

　 由此得

　 由图3-9可以看出，

　 可见，

　 (b) 根据的定义，有

　 于是得

　3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。

　题3-10图 （a）解：

　利用截面法，求得各杆的轴力分别为

　于是得各杆的变形分别为

　 如图3－10(1)所示，根据变形Dl1与Dl4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+Dl2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。

　于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

　图3-10 （b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为

　 于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

　 3-11

　图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。

　 题3-11图 解：1.求各杆轴力 由图3-11a得

　图3-11 2.求变形和位移 由图3-11b得

　 及

　 3.求的最佳值 由，得

　 由此得

　 将的已知数据代入并化简，得

　 解此三次方程，舍去增根，得

　 由此得的最佳值为

　 3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为sn=Be，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

　 题3-12图 解：两杆的轴力均为

　 轴向变形则均为

　 于是得节点C的铅垂位移为

　 3-13

　图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

　 题3-13图 解：1.求各杆轴力 由，得

　 由，得

　 2．求各杆变形

　 3．求中点的位移 由图3-13易知，

　图3-13

　 3-14

　图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移DB/C。

　 题3-14图 解：1. 内力与变形分析 利用截面法，求得各杆的轴力分别为

　 于是得各杆得变形分别为

　 2. 位移分析 如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段Dl3与Dl2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。

　可以看出，

　3-15

　如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。

　 题3-15图

　(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为

　 该桁架的应变能为

　图3-15 依据能量守恒定律，

　 最后得

　 (b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：

　 1

　2 0

　0 3

　4

　5

　于是，

　 依据能量守恒定律，

　 可得

　 3-16

　图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移DB/C。

　 题3-16图 解：依据题意，列表计算如下：

　 1

　2

　3

　4

　5

　 由表中结果可得

　 依据

　 得

　 3-17

　图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。

　 题3-17图 解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

　 (a) 由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为

　 将上式代入式（a）,并考虑到,于是得

　 设板的轴向变形为Dl，则根据能量守恒定律可知，

　 或

　 由此得

　 3-19

　图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。

　题3-19图

　(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

　 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

　 图3-19a AC，CD与DB段的轴力分别为

　由于杆的总长不变，故补充方程为

　得

　由此得

　杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为

　(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

　 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

　 图3-19b AC与CB段的轴力分别为

　由于杆的总长不变，故补充方程为

　得

　由此得

　杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为

　 3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[st]=160MPa, 许用压应力[sc]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。

　题3-20图 解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力， FN1为压力，且大小相同，即

　以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程

　由上述二方程，解得

　根据强度条件，

　取

　3-21

　图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。

　 题3-21图

　(a)解：此为一度静不定桁架。

　设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得

　 (a) 后取节点为研究对象，由和依次得到

　 (b) 及

　 (c) 在节点处有变形协调关系（节点铅垂向下）

　 (d) 物理关系为

　 (e) 将式(e)代入式(d)，化简后得

　联解方程和，得 （拉）， （压）， （拉） (b)解：此为一度静不定问题。

　考虑小轮的平衡，由，得

　 由此得

　 在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有

　 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

　3-22

　图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

　 题3-22图 解：此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。

　 图3-22 由图a可得平衡方程

　 (a)

　 (b) 由图b得变形协调方程为

　 (c) 根据胡克定律，有

　将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为

　联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得 (压)， （拉）， （拉） 根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：

　根据题意要求，最后取

　3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移dy=0.075 mm，试确定载荷F与各杆轴力。

　 题3-23图 解：1. 求解静不定 在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。

　由平衡方程，得

　 (a) 由变形图中可以看出，变形协调条件为

　 (b) 根据胡克定律，

　 (c) 将上述关系式代入式（b），得补充方程为

　 联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得

　 (d)

　 2. 由位移dy确定载荷F与各杆轴力 变形后，C点位移至C’(CC’^AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移q，因此，C点的总位移为

　 又由于

　 由此得

　 将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得

　 并从而得

　 3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2 ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。

　(a) 间隙d=0.6 mm； (b) 间隙d=0.3 mm。

　 题3-24图

　解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为

　当间隙d=0.6 mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为

　当间隙d=0.3 mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。

　 图3-24 杆的平衡方程为

　 补充方程为

　 由此得

　 而C端的支反力则为

　 3-25

　图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。

　 题3-25图 解：1.求温度增高引起的杆件伸长 此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长

　 全杆伸长为

　 2．求约束反力 设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为

　 由变形协调条件

　 可得

　 3．求杆件横截面上的应力

　 3-26

　图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为D。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。

　 题3-26图 解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别示如图3-26a和b。

　 图3-26 根据平衡条件，由图a可得

　 (a) 由图b可得

　 (b) 变形协调关系为(参看原题图)

　 (c) 依据胡克定律，有

　 (d) 将式(d)代入式(c)，得补充方程

　 (e) 联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得

　 即

　（拉）

　（压） 3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。

　 题3-27图 解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进d=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。

　设螺栓所受拉力为FNb，伸长为Dlb，套管所受压力为FNt，缩短为Dlt，则由图b与c可知，平衡方程为

　 (a) 而变形协调方程则为

　利用胡克定律，得补充方程为

　 (b) 最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为

　式中，

　 3-28

　图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为=12.5×10-6℃-1与=16×10-6℃-1。

　 题3-28图 解：设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为

　 或写成

　 这里，伸长量和缩短量均设为正值。

　引入物理关系，得

　 将静力平衡条件代入上式，得

　 注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为

　 由此得

　 3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。

　(1)

　若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为d； (2)

　若杆1的温度升高DT，材料的热膨胀系数为al。

　 题3-29图 (1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即。

　当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。

　 图3-29(1) 可以看出，

　即变形协调条件为

　而补充方程则为

　或

　 (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于，即。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至，而杆2的下端点D则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于直线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。

　 图3-29(2) 可以看出，

　故变形协调条件为

　而补充方程则为

　或

　3-30

　图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为。试问当D为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。

　 题3-30图 解:此为一度静不定问题。

　节点处的受力及变形示如图3-30a和b。

　 图3-30 由图a得平衡方程为

　 (a) 由图b得变形协调条件为

　 (b) 依据胡克定律,有

　(c) 将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为

　 (b’) 将方程(b’)与方程(a)联解，得

　 由此得

　为了提高值，可将杆3做长D，由图b得变形协调条件为

　 式中，均为受载后的伸长，依题意，有了D后，应使三根杆同时达到，即

　 由此得

　 此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有

　第四章 扭 转 4-5

　一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。

　解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为

　 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为

　 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为

　 该圆管表面纵线的倾斜角为

　 4-7

　试证明，在线弹性范围内，且当R0/d≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。

　解：薄壁圆管的扭转切应力公式为

　 设，按上述公式计算的扭转切应力为

　 (a) 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为

　 极惯性矩为

　 由此得

　 (b) 比较式(a)与式(b)，得

　 当时，

　 可见，当时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53％。

　4-8

　图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。

　 题4-8图 解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到

　 (a) 根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为

　 (b) 由静力学可知，

　 (c) 取径向宽度为的环形微面积作为，即

　 (d) 将式(d)代入式(c)，得

　 由此得

　 (e) 将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为

　 横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。

　 图4-8 4-9

　在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。

　 题4-9图 解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。

　 图4-9 根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为

　 同理，得截面上分布内力的合力为

　 方向示如图c。

　设作用线到轴线的距离为，容易求出

　 根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为

　 同理，左端面上的合力为

　 方向亦示如图c。

　设作用线到水平直径的距离为（见图b），由

　 得

　 同理，作用线到水平直径的距离也同此值。

　根据图b，还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为

　 设作用线到竖向半径的距离为（见图b），由

　 得

　 同理，可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为

　 方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。

　由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。

　既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。

　上述讨论中，所有的在数值上均等于。

　4-11

　如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。

　 题4-11图 解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。

　1.由圆轴求的许用值

　 由此得的许用值为

　 2．由套管求的许用值

　 此管不是薄壁圆管。

　由此得的许用值为

　 可见，扭力偶矩M的许用值为

　 4-13

　图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。

　 题4-13图 解：1.轴的强度条件 在截面处的扭矩最大，其值为

　 由该截面的扭转强度条件

　 得

　 (a) 段上的最大扭矩在截面处，其值为

　 由该截面的扭转强度条件得

　 2．最轻重量设计 轴的总体积为

　 根据极值条件

　 得

　 由此得

　 (b) 从而得

　 (c)

　 (d) 该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。

　4-14

　一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[]= 480MPa，试校核弹簧的强度。

　解：由于

　 故需考虑曲率的影响，此时，

　 结论：，该弹簧满足强度要求。

　4-20

　图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为d，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为

　 题4-20图 证明：自左端向右取坐标，轴在处的平均半径为

　 式中，

　 截面的极惯性矩为

　 依据

　 得截面和间的扭转角为

　 4-21

　图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。

　 题4-21图

　(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。

　设A与B端的支反力偶矩分别为，它们的转向与扭力偶矩相反。由于左右对称，故知

　 由可得

　 即

　 (b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，示如图4-21b。

　 图4-21b 变形协调条件为

　 (a) 利用叠加法，得

　 (b) 将式(b)代入式(a)，可得

　 进而求得

　（转向与相反） (c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到

　 的转向与相反。

　(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，从变形趋势不难判断，的转向与相反。

　变形协调条件为

　 (c) 利用叠加法，得到（从左端向右取）

　 (d) 将式(d)代入式(c)，可得

　 进而求得

　 的转向亦与相反。

　4-22

　图示轴，承受扭力偶矩M1=400N•m与M2=600N•m作用。已知许用切应力[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。

　 题4-22图 解：1.内力分析 此为静不定轴，设端支反力偶矩为，该轴的相当系统示如图4-22a。

　 图4-22 利用叠加法，得

　 将其代入变形协调条件，得

　 该轴的扭矩图示如图4-22b。

　2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，

　 将其代入扭转强度条件，

　 由此得

　 3.由扭转刚度条件求d 将最大扭矩值代入

　 得

　 结论：最后确定该轴的直径。

　4-23

　图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[t]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。

　 题4-23图 解：1. 求解静不定 设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为

　(a) AC与CB段的扭矩分别为

　，

　代入式（a），得

　 (b)

　 设AC与CB段的扭转角分别为jAC与jCB，则变形协调条件为

　 (c) 利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有

　，

　 代入式（c），得补充方程为

　 (d)

　 最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得

　，

　(e) 2. 最轻重量设计 从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求

　 由此得

　 将式（e）代入上式，得

　 并从而得

　，

　 根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为

　 4-24

　图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。

　 题4-24图 解：这是一度静不定问题。

　变形协调条件为

　或

　(a) 这里，D1和D2分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。

　设二摇臂间的接触力为，则轴1和2承受的扭矩分别为

　 (b) 物理关系为

　 (c) 将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得

　 由此得

　 4-26

　如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。

　 题4-26图 解：1. 解静不定 此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为

　 (a)

　 (b) 物理关系为

　 (c) 将式(c)代入式(b)，并注意到

　 得

　 (d) 将方程(a)与(d)联解，得

　 2．由圆轴的强度条件定的许用值

　 由此得扭力偶据的许用值为

　 3.由套管的强度条件定的许用值

　 由此得扭力偶据的许用值为

　 结论：扭力偶矩的许用值为

　 4-27

　图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[ts]=80MPa与[tc]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。

　 题4-27图 解：1. 求解静不定 如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程可知，

　 (a) 两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。

　在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即

　 (b) 设轴段AB的长度为l，则

　 将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为

　 (c) 联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得

　 (d) 2．强度校核

　 将相关数据代入式（d），得

　 对于钢轴，

　 对于铜管，

　 4-28

　将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。

　解：1. 求解静不定 此为静不定问题。在内管两端施加后，产生的扭转角为

　 (a) 去掉后，有静力学关系

　 (b) 几何关系为

　 (c) 物理关系为

　 (d) 将式(d)和式(a)代入式(c)，得

　 或写成

　 由此得

　 (e) 联立求解方程(e)与(b)，得

　 2. 计算最大扭转切应力 内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为

　 4-29

　图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为d=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kN·m，螺栓的许用切应力[t]=100MPa，许用挤压应力[sbs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。

　 题4-29图 解：1. 求每个螺栓所受的剪力 由

　 得

　 2.由螺栓的剪切强度条件求

　 由此得

　 3.由螺栓的挤压强度条件求

　 由此得

　 结论：最后确定螺栓的直径。

　4-30图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D1的圆周上，另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。

　 题4-30图

　 解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上的平均切应变gi与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比，即

　 式中，k为比例常数。

　利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为

　 而剪力则为

　 最后，根据平衡方程

　 得

　 于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为

　 4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力[t]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。

　 题4-31图 解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图b）。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。

　在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为

　 在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为

　 (a) 由图中可以看出，

　，

　所以，

　 代入式（a），得

　 将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为

　4-34

　图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，=3mm，= 4mm，T=6 kN·m，试求最大扭转切应力。

　 题4-34图 解：截面中心线所围面积为

　 由此得

　 于是得最大扭转切应力为

　 4-35

　一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为d1与d2，且d1<d2，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角j。

　 题4-35图 解：1. 扭转切应力计算 闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为

　 现在

　 所以，最大扭转切应力为

　 2. 扭转变形计算 用相距dx的两个横截面，与夹角为dq的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为

　 由此得整个上半圆管的应变能为

　 同理得整个下半圆管的应变能为

　 根据能量守恒定律，

　 于是得

　 4-36

　图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。

　 题4-36图 解：由于三者中心线的长度相同，故有

　 由此得

　 据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的，其值依次为

　 依据

　 可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为

　 依据

　 可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为

　 结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积，这样对强度和刚度均有利。

　4-37

　图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许用切应力[t]=60MPa，单位长度的许用扭转角[q]=0.5(°) / m，切变模量G = 80GPa。若在杆上沿杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。

　 题4-37图 解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

　 得

　 由扭转刚度条件

　 得

　 其中用到

　 比较可知，

　 2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

　 得

　 由扭转刚度条件

　 得

　 比较可知，

　第六章 弯曲应力 6-2

　如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。

　 题6-2图 解：金属丝的曲率半径为

　 所以，金属丝的最大弯曲正应变为

　 最大弯曲正应力为

　 而弯矩则为

　6-3

　图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

　 题6-3图 解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为

　 依据

　 可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为

　 6-6

　图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数Wz与Wy。

　 题6-6图 解：1. Wz计算 由图b可以看出，

　 所以，DADB对z轴的惯性矩为

　 中部矩形截面对z轴的的惯性矩为

　 于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为

　 而对z轴的抗弯截面系数则为

　 2. Wy计算 DADB对y轴的惯性矩为

　 中部矩形截面对y轴的的惯性矩为

　 于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为

　 而对z轴的抗弯截面系数则为

　 6-7

　图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：

　(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。

　 题6-7图 解：(1) 为使弯曲强度最高，应使值最大。

　由此得

　 (2) 为使弯曲刚度最高，应使值最大。

　由此得

　 6-8

　图a所示简支梁，由№18工字钢制成，弹性模量E = 200 GPa， a=1m。在均布载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变e = 3.0´10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。

　 题6-8图 解：1. 内力分析 梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为

　 梁内的最大弯矩则为

　 (a) 2. 应力计算（解法一） 横截面C底部的弯曲正应力为

　 由此得

　代入式（a），得

　 于是得梁的最大弯曲正应力为

　 3. 应力计算（解法二） 横截面C底部的弯曲正应力为

　 由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为

　 计算结果相同。

　6-9

　图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为Wz，弹性模量为E，试计算梁底边AB的轴向变形。

　 题6-9图 解：梁的弯矩方程为

　 横截面x处底边微长dx的轴向变形为

　 所以，梁底边AB的轴向变形为

　 6-10

　图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kN·m，材料的弹性模量E = 200GPa，泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。

　 题6-10图 解：1.截面几何性质 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。

　 图6-10 由附录表4查得

　 并从而得

　 2．计算顶边的长度改变量 顶边处有

　 由此可得边的伸长量为

　 3．计算上半腹板的长度改变量 距中性轴为的点，弯曲正应力的绝对值为

　 （以向上为正） 该处的横向应变为

　 由此可得线段的伸长量为

　 6-12

　图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是如何平衡的。

　 题6-12图 解：

　1. 单元体的应力分析

　 梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为

　 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为

　 在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为

　 在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力t，其值为

　 在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。

　2. 单元体的受力分析

　 根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。

　显然，

　 3. 单元体的平衡 根据上述计算结果，得

　 说明单元体满足平衡条件。

　6-13

　图示矩形截面简支梁，承受矩为Me=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。

　 题6-13图 解：1.画剪力、弯矩图 左、右支座的支反力大小均为，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示如图6-13a与b。

　 图6-13 2．求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为

　 由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力与数值相等。

　左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为

　 左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为

　 纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为

　 3．检查单元体的平衡方程是否满足

　 由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。

　6-14

　梁截面如图所示，剪力F s = 200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。

　 题6-14图 (a)解：截面形心至其顶边的距离为

　 惯性矩和截面静矩分别为

　 于是得腹板上的最大弯曲切应力为

　 腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为

　 (b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为

　 惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为

　 于是得腹板上的最大弯曲切应力为

　 腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为

　 腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为

　 6-17

　图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0<h<3l/2。已知许用拉应力[st]=35MPa，许用压应力[sc]=140MPa, l=1m，试确定载荷F的许用值。

　 题6-17图 解：1.截面几何性质计算 由图6-17可得

　图6-17 2．确定危险面的弯矩值 分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当作用在段时，

　 当作用在段时，

　3．确定载荷的许用值 由危险面的压应力强度要求

　 得

　 由截面的拉应力强度要求

　 得

　 由作用面的拉应力强度要求

　 得

　 该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。

　比较上述计算结果，得载荷的许用值为

　 6-18

　图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。已知截面宽度为b，许用应力为[]。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度h1和h2。

　 题6-18图 解：1.求最大弯矩 左段梁最大弯矩的绝对值为

　 右段梁最大弯矩的绝对值为

　 2．求截面高度和 由根部截面弯曲正应力强度要求

　 得

　 (a) 由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求

　 得

　 (b) 3．确定 梁的总体积为

　 由

　 得

　 最后，将式(c)代入式(b)，得

　 为使该梁重量最轻（也就是最小），最后取

　 6-19

　图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F = 4kN，梁跨度l= 400mm，截面宽度b = 50mm，高度h = 80mm，木板的许用应力[]=7MPa，胶缝的许用切应力[]=5MPa，试校核强度。

　 题6-19图 解：1.画剪力、弯矩图 该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为

　图6-19 2．校核木板的弯曲正应力强度

　 3．校核胶缝的切应力强度

　 结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。

　6-21

　图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W = 50kN，最大起重量F = 10kN，许用应用[]=160MPa，许用切应力[]= 80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。

　 题6-21图 解：1.求最大弯矩 设左、右轮对梁的压力分别为，不难求得

　 由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力

　图6-21 该梁的剪力、弯矩图示如图b和c。图中，

　 由

　 得极值位置依次为

　 两个弯矩极值依次为

　比较可知，单梁的最大弯矩值为

　 2．初选工字钢型号 先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得

　 由附录表4初选№28a工字钢，有关数据为

　 3．检查和修改 考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。

　由于自重，梁中点截面的弯矩增量为

　 上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应力强度时可将二者加在一起计算（计算的比真实的略大一点，偏于安全），即

　 最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。

　结论：检查的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为№28a。

　6-22

　图a所示组合木梁，由6个等间距排列的螺栓连接而成，梁端承受载荷F作用，试求螺栓剪切面上的剪力。

　 题6-22图 解：螺栓的间距为

　用横截面1-1与2-2，从上半木梁中切取块体如图b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为

　 （a） 式中，

　将上述表达式代入式(a)，于是得

　6-23图示简支梁，由两根№50b工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d = 23mm，许用切应力[t]=90MPa，梁的许用应力[s]=160MPa。试确定梁的许用载荷[q]及铆钉的相应间距e。

　提示：按最大剪力确定间距。

　 图6-23图 解：1.计算组合截面的和 由附录表4查得№50b工字钢的有关数据为

　 由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为

　 2．许用载荷的确定

　 由此得许用载荷为

　 3．铆钉间距的确定 由铆钉的切应力强度要求来计算。

　最大剪力为

　 按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流），其值为

　 间距长度内的剪力为，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即

　 由此得梁长方向铆钉的间距为

　 6-24 横截面如图a所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。设载荷F=10kN，并作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距e=70mm，试求螺钉剪切面上的剪力。

　 题6-24图 解：用间距为e的横截面1-1与2-2，从上部木板中切取块体如图b所示。可以看出，螺钉剪切面上的剪力为

　 （a） 式中：Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩；代表上部木板横截面对中性轴的静矩。

　由图c可以看出，

　还可以看出，

　将相关数据与表达式代入式(a)，于是得

　6-25

　图示截面铸铁梁，已知许用压应力为许用拉应力的四倍，即[sc ] = 4[st ]，试从强度方面考虑，确定宽度b的最佳值。

　 题6-25图 解：从强度方面考虑，形心的最佳位置应使

　 即

　 (a) 由图中可以看出，

　 (b) 比较式(a)与(b)，得

　 于是得

　 6-26

　当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。

　 题6-26图 解：当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为

　 当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为

　 根据题意，

　 即

　 由此得

　 6-27

　图示简支梁，跨度中点承受集中载荷F作用。已知许用应力为[s]，许用切应力为[t]，若横截面的宽度b保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。

　 题6-27图 解：1.求截面高度 弯矩方程为

　 由等强度观点可知，

　 由此得

　 (a) 梁的右半段与左边对称。

　2．求端截面高度 由式(a)可知，在处，，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满足，故需作局部修正。由

　 得梁左端的截面高度为

　 (b) 这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。

　3．确定h(x)的变化规律 设可取截面高度为h(0)的最大长度为x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取

　由此得

　最终确定截面高度h(x)的变化规律为：

　在区间内

　在区间内

　梁的右半段与左边对称。

　6-29

　图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[s]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：

　(1) 截面为矩形，h = 2b； (2) 截面为圆形。

　 题6-29图 解：(1) 矩形截面 危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点（拉应力）和左下角点（压应力）。

　最大弯曲正应力为

　 根据弯曲正应力强度条件，要求

　 由此得

　 于是得

　 (2) 圆形截面 危险截面的总弯矩为

　 由弯曲正应力强度条件，要求

　 于是得

　 6-30

　图示悬臂梁，承受载荷F作用。由实验测得A与B点处的纵向正应变分别为eA = 2.1´10-4与eB = 3.2´10-4，材料的弹性模量E = 200 GPa，试求载荷F及其方位角b之值。

　 题6-30图

　解：横截面上A与B点处的弯曲正应力分别为

　 (a)

　 (b) 将式（a）除式（b），得

　 由此得

　 由式（a），得

　 6-31

　图示简支梁，在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用，试求梁内的最大弯曲正应力。

　 题6-31图 解：1.支反力计算 由图6-31a得支反力为

　图6-31 2．弯矩图与危险截面分析 弯矩图示如图b。

　由该图不难判断：在AC段，截面C最危险；在BD段，截面D最危险；在CD段，My与Mz均为的线性函数，因此，也是的线性函数，其最大值必位于该段的端点处，即截面C或截面D。

　3．最大弯曲正应力计算 由以上分析可知，只需计算截面与的最大弯曲正应力即可，分别为

　 由此可见，