2019届市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题

　 一、单选题 1．已知复数满足（是虚数单位），则（

　 ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】 由题得 故选C 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知集合，，则（

　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先化简集合A,B，再求得解. 【详解】 由题得A={x|x＜1},B={x|-1＜x＜3，x∈Z}={0,1,2}, 所以， 所以. 故选：C 【点睛】 本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．若，，，则实数，，的大小关系为（

　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出a,b,c的范围，再比较大小即得解. 【详解】 由题得 ，

　， 所以a>b>c. 故选：A 【点睛】 本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下列说法正确的是（

　） A．设m为实数，若方程表示双曲线，则m＞2． B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0” D．命题“若x0为y＝f（x）的极值点，则f’（x）＝0”的逆命题是真命题 【答案】B 【解析】根据双曲线的定义和方程判断A，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B，特称命题的否定是全称命题判断C，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D. 【详解】 对于A：若方程表示双曲线，则，解得或，故A错误； 对于B：若为真命题，则，同时为真命题，则为真命题，当真假时，满足为真命题，但为假命题，即必要性不成立，则“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故B正确； 对于C：命题“，使得”的否定是：“，”，故C错误； 对于D：命题“若为的极值点，则”的逆命题是：“若，则为的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在中，，其中，但不是极值点，故D错误. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题． 5．执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（

　 ）

　A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下：

　初始值：， 第一步：，此时不能输出，继续循环； 第二步：，此时不能输出，继续循环； 第三步：，此时不能输出，继续循环； 第四步：，此时不能输出，继续循环； 第五步：，此时不能输出，继续循环； 第六步：，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为. 故选B 【点睛】 本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型. 6．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（

　） A．乙做对了 B．甲说对了 C．乙说对了 D．甲做对了 【答案】B 【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】 分以下三种情况讨论：

　①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意； ②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】 本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题. 7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（

　 ）

　A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解. 【详解】 由题得. 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积. 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一， 所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一， 故该点落在标记“盈”的区域的概率为， 故选． 【点睛】 本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题 8．将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的值可能为（

　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先化简函数的解析式，再平移得到函数，再根据函数的对称性得解. 【详解】 由题得， 将函数的图像向左平移个单位长度后得到， 由题得, 当k=0时，. 故选D 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下面四个结论：

　①若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β； ②若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β； ③若n⊥α，m∥α，则n⊥m； ④若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β． 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解． 【详解】 对于①，由面面平行的判定定理可得，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥β，则α∥β或相交， 又因为m∥β，n∥α，则α∥β，故①正确； 对于②，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误， 对于③，若n⊥α，m∥α，则n⊥m；故③正确， 对于④，若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β或n⊂β，故④错误， 综上可得：正确的是①③， 故选D． 【点睛】 本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题． 10．在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，，边上的高为，则的最大值为（

　 ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解. 【详解】 因为， 所以 所以. 所以 所以, 所以当B=时，h取最大值. 故选C 【点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（

　 ）个. A．71 B．66 C．59 D．53 【答案】A 【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、 2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情 况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案． 【详解】 根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7， ④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况， 则分5种情况讨论：

　①、四个数字为0、1、3、6时， 千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位， 有种情况，此时有个“完美四位数”， ②、四个数字为0、1、4、5时， 千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位， 有种情况，此时有个“完美四位数”， ③、四个数字为0、1、2、7时， 千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况， 千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有个“完 美四位数”， ④、四个数字为0、2、3、5时， 千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个 位，有种情况，此时有个“完美四位数”， ⑤、四个数字为1、2、3、4时， 千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个 位，有种情况，此时有个“完美四位数”， 则一共有个“完美四位数”， 故选：． 【点睛】 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏． 12．设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有5个解，则实数的取值范围为（

　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解. 【详解】 首先，确定在x＞0上，方程f(x)=1的解. 时，在， ， 所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又

　即在上，恒有

　取n=0,， 令此时有一根， 当n≥1时，恒有f(x)-1＞1， 此时在上无根. 在上，， ， 又

　所以在上，恒有， . n=1时，在上， 有 n=2时，在 有 即

　所以此时有两根， 这样在 有三根， 在 显然有一根 所以在有且仅有一根， 由“洛必达法则”

　是先增后减， 得 或a＞0. 单调递增， 即

　故选：A 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.

　 二、填空题 13．若实数，满足约束条件，则的最大值是________． 【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值. 【详解】 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：

　 可变形为，表示斜率为的直线， 平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，． 【点睛】 本题考查简单的线性规划问题. 14．已知平面向量，的夹角为，且，，则________． 【答案】 【解析】先由题意求出，得到，进而可求出结果. 【详解】 因为，所以， 又向量，的夹角为，且， 则， 所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型. 15．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含的项的系数为_________． 【答案】8. 【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含的项的系数. 【详解】 因为只有第5项的二项式系数最大， 所以n=8. 因为所有项的系数和为256， 所以. 设的通项为， 令8-2r=6,所以r=1. 所以含的项的系数为. 故答案为：8 【点睛】 本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16．已知抛物线：与直线交于、两点（、两点分别在轴的上、下方），且弦长，则过，两点、圆心在第一象限且与直线相切的圆的方程为____________． 【答案】. 【解析】先求出圆的半径为，再求出圆心为（1,4），即得圆的方程. 【详解】 联立直线和抛物线的方程得 由题得|AB|=8=， 所以m=1. 所以 解之得A(, 所以AB的垂直平分线方程为y=-x+5, 因为圆心在AB的垂直平分线上， 所以设圆心（t,-t+5）, 因为AB的垂直平分线和直线平行， 因为两平行线间的距离为， 所以圆的半径为. 因为点A在圆上， 所以， 所以t=1. 所以圆心为（1,4）， 所以圆的方程为. 故答案为：

　【点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

　三、解答题 17．已知数列满足：，数列中，，且成等比数列； （1）求证：是等差数列； （2）是数列的前n项和，求数列{}的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解析】（1）根据递推式构造出，即，可得证；

　（2）先根据等差数列的前n项和公式，求出，可得，再运用裂项求和的方法可得解. 【详解】 （1）证明：，可得， 所以，因为，所以得， 所以是公差为1的等差数列； （2）成等比数列，可得， 可得，解得， 即， 可得， 则前n项和. 所以. 【点睛】 本题考查根据递推式证明数列是等差数列，等差数列的前项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法，在证明数列是等差数列时，需构造等差数列的定义式，属于中档题. 18．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个，以（单位：个，，）表示当天的市场需求量，（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润. 需求量/个

　天数 15 25 30 20 10

　 （1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小； （2）当时，根据上表，从利润不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天. （i）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数； （ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) .(2) （i）3; （ii）见解析. 【解析】（1）求出,再比较和的大小；（2）（i）先求出利润，再求出需求量，所以利润不少于570元时共有60天，再利用分层抽样求出 这6天中利润为650元的天数；（ii）由题意可知，再求出随机变量的分布列及数学期望. 【详解】 （1）时，元；时，元， ∴； （2）（i）当时，利润， 当时，即，即， 又，所以利润不少于570元时，需求量，共有60天， 按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数为. （ii）由题意可知， 其中，， ，. 故的分布列为

　0 1 2 3

　 ∴. 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求法，考查分层抽样，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，，，，为的中点.

　（1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长. 【答案】(1)见解析.(2)2. 【解析】（1）先证明面，再证明平面平面；（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出，解方程即得解. 【详解】 (1)证明：由题意易得，且， 在中，， ∴，∴， 在中，， ∴，又， ∴面，又∴面， ∴平面平面. （2）由（1）可知面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设平面的一个法向量为， 由，则令，，，所以， ∴， 解得或（舍），故BN=2.

　【点睛】 本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20．已知点，过点作抛物线：的切线，切点在第二象限. （1）求切点的纵坐标； （2）有一离心率为的椭圆：恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线、、的斜率分别为、、，若，求椭圆的方程. 【答案】(1) .(2) . 【解析】（1）设切点,求出的方程为，再把点D的坐标代入即得解；（2）先根据已知设椭圆方程为，再根据求出b的值得解. 【详解】 （1）设切点则有， 由切线的斜率为，得的方程为， 又点在上，所以，即，所以点的纵坐标. 由（1）得，切线斜率， 设，切线方程为， 由得，又，所以， 所以椭圆方程为， 由得， ∴，， 又因为，即

　， 解得，所以，所以椭圆方程为.

　【点睛】 本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查抛物线的切线的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）设函数（其中为的导函数），判断在上的单调性； （2）若函数在定义域内无零点，试确定正数的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递增.(2). 【解析】（1）先分析得到，即得函数在上的单调性；（2）先利用导数求出 ，再对a分三种情况讨论，讨论每一种情况下的零点情况得解. 【详解】 （1）因为，则， ， ∴， ∴在上单调递增. （2）由知， 由（1）知在上单调递增，且，可知当时，， 则有唯一零点，设此零点为， 易知时，，单调递增；时，，单调递减， 故，其中. 令， 则， 易知在上恒成立，所以，在上单调递增，且. ①当时，，由在上单调递增知， 则，由在上单调递增，，所以，故在上有零点，不符合题意； ②当时，，由的单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意； ③当时，，由的单调性知，则，此时没有零点. 综上所述，当无零点时，正数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，． （1）求C1与C2交点的直角坐标； （2）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值． 【答案】（1)（0，0），；（2）2. 【解析】（1）由两曲线的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可得C1与C2的直角坐标方程，再联立求解即可； （2）不妨设，设点，，作差后取绝对值，再由三角函数求最值. 【详解】 （1）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ， 则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2＝2x， 由，得， 则曲线C2的直角坐标方程为． 由，解得或， 故C1与C2交点的直角坐标为（0，0），； （2）不妨设0≤α＜π，点M，N的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）． ∴ ． ∴当时，|MN|取得最大值2． 【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，属于中档题. 23．设函数 （1）若存在，使得，求实数m的取值范围； （2）若m是（1）中的最大值，且正数a，b满足，证明：. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）存在，使得，只需，求出的最小值即可；

　（2）求出代入中，然后由

　，即可证明不等式． 【详解】 （1）， 存在，使得，，， （2）由（1）知：m的最大值为1，， ，，当且仅当时取“=”. 【点睛】 本题考查了绝对值三角不等式最值的求法和基本不等式，考查了转化思想，属中档题．