矩阵论试题

　一、(10分)设函数矩阵

　求：和()＇。

　解：==

　()＇= 二、(15分)在中线性变换将基

　 ，， 变为基

　 ，， (1)求在基下的矩阵表示A； (2)求向量及在基下的坐标； (3)求向量在基下的坐标。

　 解：(1)不难求得：

　 因此在下矩阵表示为

　(2)设，即

　解之得：

　所以在下坐标为。

　在下坐标可得

　(3)在基下坐标为

　在基下坐标为

　三、(20分)设，求。

　解：容易算得

　 由于是2次多项式，且，故是1次多项式，设

　由于，且，，故

　于是解得：

　从而：

　四、(15分)求矩阵的奇异值分解。

　解：的特征值是对应的特征向量依次为

　 ，， 于是可得

　 ，

　 计算：

　 构造

　，则

　 则A的奇异值分解为：

　五、(15分)求矩阵

　 的满秩分解：

　解：

　可求得：

　 ， 于是有

　 或

　 六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。

　解：求的初等因子组，由于

　 因此，所求的初等因子组为，于是有 A～J= 七、(10分)设V是数域F上的线性空间，是V的子空间，则也是V的子空间。

　证明：由，知，即说非空，对于任意，则。因为是子空间，所以，故。

　对任意，有，且，因此知，故知为V的子空间。

　八、(5分)设， 求证。

　证明：矩阵A的特征多项式为 令

　由Hamilton-Cayley定理知 因此