2019—2020学年度 第一学期 期末考试 高一数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

第Ⅰ卷（共60分） 一、 单项选择题（60分，每题5分） 1.设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2.角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 3.设函数,（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 4.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5.已知向量，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 6.如图，在中，是的中点， 若，则实数的值是（ ） A. B． C. D． 7.函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B． C． D． 8.已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D． 9.若，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 10.已知，，若对任意,或，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 的图象，若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12.设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、 填空题（20分，每题5分） 13.已知，，则的值为 ． 14.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 15.下面有5个命题：①函数的最小正周期是． ②终边在轴上的角的集合是． ③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点． ④把函数的图象向右平移得到的图象． ⑤函数在上是减函数． 其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 16.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是__________． 三、 解答题（第17题10分，其余各题每题12分） 17.设两个向量，满足，. (Ⅰ) 若，求 的夹角；

(Ⅱ) 若夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围 18.已知集合，函数的定义域为集合. (Ⅰ) 若，求实数的取值范围；

(Ⅱ) 求满足的实数的取值范围. 19.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，且． (Ⅰ) 求ω和φ的值；

(Ⅱ) 函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g（x）的图象， 求函数g（x）的单调增区间及函数g（x）在的最大值． 20.若向量的最大值为． (Ⅰ) 求的值及图像的对称中心；

(Ⅱ) 若不等式在上恒成立，求的取值范围。

21.已知二次函数满足，且． (Ⅰ) ①求的解析式；

②设，若存在实数a、b使得，求a的取值范围；

(Ⅱ) 若对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围． 22.已知向量，，，，函数，的最小正周期为． (Ⅰ) ①求的单调增区间；

②方程；
在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

(Ⅱ)是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；
若不存在，说明理由． 高一期末数学答案 1.设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三四模文科数学试题 【答案】C 【解析】 因为，所以，应选答案C。

2.角的终边经过点，且，则 A． B． C． D． 【来源】北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学（理)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】 ∵角的终边经过点，且， ∴，则，故选C． 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角的终边经过点（异与原点），则，，. 3.设函数,（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析) 【答案】C 【解析】 .故选C. 4.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【来源】安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考数学（文)试题 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c的大小即可. 【详解】 由指数函数的性质可知：，， 由对数函数的性质可知， 据此可得：. 本题选择D选项. 【点睛】 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 5.已知向量，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【来源】湖南省益阳市箴言中学2018-2019学年高一下学期第三次月考（5月)数学试题 【答案】A 【解析】 【分析】 由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为 ，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解。

【详解】 由题意可得 ，即 ． ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；

（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切。

6.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ） A． B．1 C． D． 【来源】河北省枣强中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出。

【详解】 ∵分别是的中点， ∴. 又，∴.故选C. 【点睛】 本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力。

7.函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十)数学（文)试题 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求得函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】 由函数的最小值可知：， 函数的周期：，则， 当时，， 据此可得：，令可得：， 则函数的解析式为：， . 本题选择D选项. 【点睛】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；
确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 8.已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【来源】四川省2018届高三“联测促改”活动数学（文科)试题 【答案】A 【解析】 不等式即为， ∵函数在区间上单调递增， ∴，即，解得． ∴实数的取值范围是．选A． 9.若，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【来源】内蒙古集宁一中2018-2019学年高一6月月考数学试题 【答案】C 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值。

【详解】 ，，则， ，则，所以，， 因此， ， 故选：C。

【点睛】 本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：
①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；

②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解。

10.已知，，若对任意,或，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【来源】浙江省衢州五校2018-2019学年第一学期高一年级期末联考数学试题 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围. 【详解】 ∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立， 当x≥时，g（x）≥0， 又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0， ∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立， 即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立， 则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧， ∴， 即， 解得＜m＜0， ∴实数m的取值范围是：（，0）． 故选C． 【点睛】 本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 11.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【来源】湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理)试题 【答案】A 【解析】 分析：利用三角函数的图象变换，可得，由可得，取，取即可得结果. 详解：的图象向左平移个单位长度， 再向上平移1个单位长度， 得到 ， ， 且， ， ， 因为， 所以时，取为最小值；

时，取为最大值 最大值为，故选A. 点睛：本题主要考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 12.设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是 A． B． C． D． 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（理)试题 【答案】A 【解析】 【分析】 画出函数的图像，通过观察的图像与的交点，利用对称性求得与的关系，根据对数函数的性质得到与的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围. 【详解】 画出函数的图像如下图所示，根据对称性可知，和关于对称，故.由于，故.令，解得，所以.，由于函数在区间为减函数，故，故选A. 【点睛】 本小题主要考查函数的对称性，考查对数函数的性质，以及函数图像的交点问题，还考查了利用函数的单调性求函数的值域的方法，属于中档题. 13.已知，，则的值为 ． 【来源】陕西省榆林府谷县麻镇中学2016-2017学年高一下学期期末质量检测试题数学试题 【答案】3 【解析】 【详解】 ，故答案为3. 14.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 【来源】东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学（理)试题 【答案】 【解析】 【分析】 由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围． 【详解】 ∵函数在上单调递增， ∴函数在区间上为增函数， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为． 【点睛】 解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；
二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题． 15.下面有5个命题：
①函数的最小正周期是． ②终边在轴上的角的集合是． ③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点． ④把函数的图象向右平移得到的图象． ⑤函数在上是减函数． 其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2019届高三上学期第一次月考（开学)考试数学（文)试题 【答案】①④ 【解析】 ①，正确；
②错误；
③，和在第一象限无交点，错误；
④正确；
⑤错误．故选． 16.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【来源】广东省佛山市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次段数学试题 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得，又因为在上是增函数，所以当，任意的时，转化为在时恒成立，即在时恒成立，即可求解. 【详解】 由题意，得， 又因为在上是增函数，所以当时，有， 所以在时恒成立，即在时恒成立， 转化为在时恒成立， 所以，解得或或， 即实数的取值范围是，故选D. 【点睛】 本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据函数的性质，把不等式的恒成立问题转化为当，任意的时，转化为在时恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17.设两个向量，满足，. (Ⅰ)若，求 的夹角；

(Ⅱ)若夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【来源】吉林省伊通满族自治县第三中学校等2017-2018学年高一下学期期末联考数学（理)试题 【答案】（1）120°（2） 【解析】 分析：(Ⅰ)利用向量的运算，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求得向量的夹角. (Ⅱ)由已知，利用向量的运算得，求得的范围，设， 根据向量相等，求解实数的值，进而由向量和夹角为钝角，求解实数的取值范围. 详解：(Ⅰ)由得 又，所以， 所以， 又因为， 所以的夹角为120°. (Ⅱ)由已知得， 所以， 因为向量与的夹角为钝角，所以， 解得， 设， 所以，解得， 当时，， 当时，因为向量与的夹角为180°， 所以向量与的夹角为钝角时， 的取值范围是. 点睛：本题主要考查了平面向量的综合应用问题，其中解答中涉及到平面向量的基本运算法则和平面向量的夹角公式的应用等知识点的综合应用，熟记平面向量的基本公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 18.已知集合，函数的定义域为集合. （1）若，求实数的取值范围；

（2）求满足的实数的取值范围. 【来源】河北省枣强中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学（文)试题 【答案】(1)或；
(2)或. 【解析】 试题分析：
（1）由知4满足函数的定义域，由此可得，解不等式可得所求范围．（2）由可得，再根据的大小关系求得集合A，然后根据转化为关于实数的不等式组，解不等式组可得所求范围． 试题解析：
（1）因为， ∴，解得或. ∴实数的取值范围为． （2）由于，当时，即时，，函数无意义， ∴， 由,得，解得， ∴. ①当，即时，， 由得，解得；

②当，即时，，， 此时不满足；

③当，即时，， 由得，解得. 又，故. 综上或． ∴实数的取值范围是或. 点睛：
（1）解答本题时要注意分类讨论的运用，根据实数的不同的取值得到不同的集合；
另外还应注意转化思想的运用，在本题中将集合间的包含关系转化为不等式组求解． （2）对于题中的对数函数，要注意定义域的限制，特别是在本题中得到这一隐含条件是被容易忽视的问题． 19.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，且． （1）求ω和φ的值；

（2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g（x）的图象， ①求函数g（x）的单调增区间；

②求函数g（x）在的最大值． 【来源】江西省上饶县中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（文)试题 【答案】(1) ；

（2）① 增区间为;②最大值为3. 【解析】 【分析】 （1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式． （2）利用函数的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调区间． （3）利用函数的定义域求出函数的值域． 【详解】 （1）的最小正周期为，所以 ，即=2， 又因为，则，所以. （2）由（1）可知，则， ① 由得， 函数增区间为． ② 因为，所以. 当，即时，函数取得最大值，最大值为. 【点睛】 本题考查正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用．属中档题. 20.若向量的最大值为． (1)求的值及图像的对称中心；

(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围。

【来源】2017-2018学年湖北省孝感高中高一（上)期末数学试卷 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)先利用向量的数量积公式和倍角公式对函数式进行化简，再利用两倍角公式以及两角差的正弦公式进行整理，然后根据最大值为解出的值，最后根据正弦函数的性质求得函数的对称中心；

(2)首先通过的取值范围来确定函数的范围，再根据不等式在上恒成立，推断出，最后计算得出结果。

【详解】 因为的最大值为，所以， 由得 所以的对称中心为；

(2)因为，所以 即， 因为不等式在上恒成立， 所以即 解得，的取值范围为。

【点睛】 本题考查了向量的相关性质以及三角函数相关性质，主要考查了向量的乘法、三角函数的对称性、三角恒等变换、三角函数的值域等，属于中档题。的对称中心为。

21.已知二次函数满足，且． 求的解析式；

设，若存在实数a、b使得，求a的取值范围；

若对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围． 【来源】辽宁省大连市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】（1）；
（2）或；
（3）. 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出二次函数的解析式；

求出函数的值域，再由题意得出关于a的不等式，求出解集即可；

由题意知对任意，都有，讨论t的取值，解不等式求出满足条件的t的取值范围． 【详解】 解：设，因为，所以；
；

；
；

；
解得：；
；

函数，若存在实数a、b使得，则， 即，，解得或， 即a的取值范围是或；

由题意知，若对任意，都有恒成立， 即，故有， 由，；

当时，在上为增函数， ，解得，所以；

当，即时，在区间上是单调减函数， ，解得，所以；

当，即时，， 若，则，解得；

若，则，解得， 所以，应取；

综上所述，实数t的取值范围是． 【点睛】 本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想与转化思想，属于难题． 22.已知向量，，，，函数，的最小正周期为． （1）求的单调增区间；

（2）方程；
在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；
若不存在，说明理由． 【来源】江苏省无锡市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为 【解析】 【分析】 （1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间． （2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；

（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围． 【详解】 （1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1 ＝sin（2ωx）cos（2ωx） ＝2sin（2ωx） ∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0 ∴， ∴ω＝1． 那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x） 令2x，k∈Z 得：x ∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z． （2）方程f（x）﹣2n+1＝0；
在[0，]上有且只有一个解， 转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点． ∵x在[0，]上， ∴（2x） 那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，3]，结合图象可知 函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点． 那么2n＜1或2n＝3， 可得或n＝． （3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x） ∴f（x2）min＝﹣2． 实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R， 使得m（）+1＞f（x2）成立． 即m（）+1＞﹣2成立 令ym（）+1 设t，那么（）2+2＝t2+2 ∵x1∈[﹣1，1]， ∴t∈[，]， 可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立． 令g（t）＝t2+mt+5＞0， 其对称轴t ∵t∈[，]上， ∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；

②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；

③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；

综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）． 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．