专题七 不等式 第十九讲 不等式的性质与一元二次不等式 2019年

　1.（2019全国Ⅰ文3）已知，则 A． B． C． D． 2.（2019天津文5）已知，，，则的大小关系为 （A）

　 （B） （c）

　 （D） 3.（2019天津文10）设，使不等式成立的的取值范围为__________.

　2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数，则满足的的取值范围是 A．

　B．

　C．

　D． 2．(2018天津)设，则“”是“” 的 A．充分而不必要条件

　B．必要而不充分条件 C．充要条件

　D．既不充分也不必要条件 3．（2017天津）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件

　B．必要而不充分条件 C．充要条件

　D．既不充分也不必要条件 4．（2017浙江）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则 A． 与有关，且与有关

　 B． 与有关，但与无关 C． 与无关，且与无关

　 D． 与无关，但与有关 5．（2016年浙江）已知，且，，若，则 A．

　 B． C．

　D． 6．（2015浙江）已知集合，，则 A．

　B．

　 C．

　 D． 7．（2015山东）已知集合，，则= A．（1，3）

　B．（1，4）

　C．（2，3）

　 D．（2，4） 8．（2015福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足 ，则下列结论中一定错误的是 A．

　 B． C．

　D． 9．（2014新课标1）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则= A．[2, 1]

　 B．[1,1] C．[1,2）

　 D．[1,2） 10．（2014山东）若，，则一定有 A．

　 B．

　C．

　 D． 11．（2014四川）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 A．

　 B． C．

　 D． 12．（2014辽宁）已知定义在上的函数满足：

　①； ②对所有，且，有． 若对所有，恒成立，则的最小值为 A．

　B．

　C．

　D． 13．（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是

　A．[15,20]

　 B．[12,25]

　 C． [10,30]

　 D．[20,30] 14．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为， 且，则 A．

　B．

　C．

　 D． 15．（2013天津）已知函数．设关于x的不等式 的解集为A， 若， 则实数a的取值范围是 A．

　B． C．

　D． 16．（2012辽宁）若，则下列不等式恒成立的是

　A．

　B． C．

　D． 17．（2011湖南）已知函数，若有，则的取值范围为 A．

　 B．

　C．

　D．

　二、填空题 18．(2018北京)能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为____． 19．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______． 20．（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是____． 21．（2017北京）已知，，且，则的取值范围是___． 22．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

　（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 23．（2016年北京高考）函数的最大值为_________． 24．（2015广东）不等式的解集为

　．（用区间表示） 25．（2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是

　 ． 26．（2013四川）已知函数在时取得最小值， 则____________． 27．（2013广东）不等式的解集为___________． 28．（2013江苏）已知是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为

　． 29．（2013四川）已知的定义域为R的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是_____． 30．（2012福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________． 31．（2012江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为

　． 32．（2012江西）不等式的解集是___________． 33．（2010江苏）已知函数,则满足不等式的的范围是__

　 ___． 34．（2010江苏）设实数满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是

　 ． 35．（2010天津）设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是________． 三、解答题 36．（2014北京）已知函数， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值与的最小值．

　专题七 不等式 第十九讲 不等式的性质与一元二次不等式 答案部分 2019年

　1.解析 依题意， ，  因为， 所以，  所以.故选B． 2.解析 由题意，可知，，，  所以． 故选A． 3.解析 ， 即，可得； 所以的取值范围是或.

　2010-2018年

　1．D【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D．

　2．A【解析】由，得，由，得或，故“”是“” 的充分而不必要条件，故选A． 3．B【解析】由，得，由，得， 所以“”是“”的必要而不充分条件．选B． 4．B【解析】函数的对称轴为， ①当，此时，，； ②当，此时，，； ③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B． 5．D【解析】， 当时，，，； 当时，，，．故选D． 6．A【解析】由题意得，，所以，故选A． 7．C【解析】． 8．C 【解析】取满足题意得函数，若取， 则，所以排除A． 若取，则，所以排除D；取满足题意的函数， 若取，则，所以排除B， 故结论一定错误的是C． 9．A【解析】，故=[2, 1]． 10．D【解析】由，又 ，由不等式性质知：，所以 11．D【解析】由已知得，此时大小不定，排除A,B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选D． 12．B【解析】不妨设，当时，； 当时，

　，∴． 13．C【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为，则， 所以，又，所以， 即，解得． 14．A【解析】∵由 ()，得， 即，∴. ∵，∴．故选A． 15．A【解析】解法一 由，得 当，①，无解， 即，不符合，排除C．取，①， 符合，排除B、D． 解法二 数形结合，∵是奇函数． ⅰ）取，，如图，无解．排除C．

　ⅱ）取，，，满足，排除B、D 解法三 由题意，即，所以，当时无解，所以，此时，∴．排除C、D．又， ∴取，①，符合，排除B． 16．C【解析】验证A，当，故排除A；验证B， 当 ，而，故排除B；验证C，令， 显然恒成立，所以当，， 所以，为增函数，所以，恒成立，故选C；验证D， 令，令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C． 17．B【解析】由题可知，，若有则，即，解得． 18．（答案不唯一）【解析】由题意知，当，时，满足，但是，故答案可以为．（答案不唯一，满足，即可） 19．；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或． 20．【解析】当时，不等式为恒成立； 当，不等式恒成立； 当时，不等式为，解得，即； 综上，的取值范围为． 21．【解析】由题意，，且， 又时，，时，，当时，，所以取值范围为． 22．6

　12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以， ②当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，此时，，满足题意． 所以． 23．2【解析】，因为，所以， ，所以， 故当时，函数取得最大值2． 24．【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：． 25．【解析】由题意可得对于上恒成立， 即，解得． 26．【解析】因为，， 当且仅当，即，解得． 27．【解析】易得不等式的解集为. 28．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出 ()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像．不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．

　29．(－7,3)【解析】当≥0时，令，解得，．又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即－7＜＜3；故解集为(－7,3)． 30．(0，8)【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8． 31．9【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9. 32．【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可． 33．【解析】． 34．27【解析】，，，的最大值是27． 35．【解析】已知为增函数且≠0 若>0，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意。

　<0，时有 因为在上的最小值为2，所以1+即>1， 解得． 36．【解析】：（I）由得，． 因为在区间上，所以在区间上单调递减． 从而． （Ⅱ）当时，“”等价于“”， “”等价于“”．

　 令，则，

　 当时，对任意恒成立．

　 当时，因为对任意，， 所以在区间上单调递减． 从而对任意恒成立．

　当时，存在唯一的使得．

　与在区间上的情况如下：

　＋ 0 －

　↗

　↘ 因为在区间上是增函数，所以．进一步，“对 任意恒成立”当且仅当，即，

　 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时， 对任意恒成立．

　 所以，若对任意恒成立，则最大值为，的最小值为1．

　专题七 不等式 第十九讲 不等式的性质与一元二次不等式 答案部分 2019年

　1.解析 依题意， ，  因为， 所以，  所以.故选B． 2.解析 由题意，可知，，，  所以． 故选A． 3.解析 ， 即，可得； 所以的取值范围是或.

　2010-2018年

　1．D【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D．

　2．A【解析】由，得，由，得或，故“”是“” 的充分而不必要条件，故选A． 3．B【解析】由，得，由，得， 所以“”是“”的必要而不充分条件．选B． 4．B【解析】函数的对称轴为， ①当，此时，，； ②当，此时，，； ③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B． 5．D【解析】， 当时，，，； 当时，，，．故选D． 6．A【解析】由题意得，，所以，故选A． 7．C【解析】． 8．C 【解析】取满足题意得函数，若取， 则，所以排除A． 若取，则，所以排除D；取满足题意的函数， 若取，则，所以排除B， 故结论一定错误的是C． 9．A【解析】，故=[2, 1]． 10．D【解析】由，又 ，由不等式性质知：，所以 11．D【解析】由已知得，此时大小不定，排除A,B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选D． 12．B【解析】不妨设，当时，； 当时，

　，∴． 13．C【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为，则， 所以，又，所以， 即，解得． 14．A【解析】∵由 ()，得， 即，∴. ∵，∴．故选A． 15．A【解析】解法一 由，得 当，①，无解， 即，不符合，排除C．取，①， 符合，排除B、D． 解法二 数形结合，∵是奇函数． ⅰ）取，，如图，无解．排除C．

　ⅱ）取，，，满足，排除B、D 解法三 由题意，即，所以，当时无解，所以，此时，∴．排除C、D．又， ∴取，①，符合，排除B． 16．C【解析】验证A，当，故排除A；验证B， 当 ，而，故排除B；验证C，令， 显然恒成立，所以当，， 所以，为增函数，所以，恒成立，故选C；验证D， 令，令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C． 17．B【解析】由题可知，，若有则，即，解得． 18．（答案不唯一）【解析】由题意知，当，时，满足，但是，故答案可以为．（答案不唯一，满足，即可） 19．；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或． 20．【解析】当时，不等式为恒成立； 当，不等式恒成立； 当时，不等式为，解得，即； 综上，的取值范围为． 21．【解析】由题意，，且， 又时，，时，，当时，，所以取值范围为． 22．6

　12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以， ②当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，此时，，满足题意． 所以． 23．2【解析】，因为，所以， ，所以， 故当时，函数取得最大值2． 24．【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：． 25．【解析】由题意可得对于上恒成立， 即，解得． 26．【解析】因为，， 当且仅当，即，解得． 27．【解析】易得不等式的解集为. 28．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出 ()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像．不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．

　29．(－7,3)【解析】当≥0时，令，解得，．又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即－7＜＜3；故解集为(－7,3)． 30．(0，8)【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8． 31．9【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9. 32．【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可． 33．【解析】． 34．27【解析】，，，的最大值是27． 35．【解析】已知为增函数且≠0 若>0，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意。

　<0，时有 因为在上的最小值为2，所以1+即>1， 解得． 36．【解析】：（I）由得，． 因为在区间上，所以在区间上单调递减． 从而． （Ⅱ）当时，“”等价于“”， “”等价于“”．

　 令，则，

　 当时，对任意恒成立．

　 当时，因为对任意，， 所以在区间上单调递减． 从而对任意恒成立．

　当时，存在唯一的使得．

　与在区间上的情况如下：

　＋ 0 －

　↗

　↘ 因为在区间上是增函数，所以．进一步，“对 任意恒成立”当且仅当，即，

　 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时， 对任意恒成立．

　 所以，若对任意恒成立，则最大值为，的最小值为1．