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大学高数下册试题及答案,对坐标的曲线积分

2020-10-27 09:21:23

 作业14

 对坐标的曲线积分 1.计算下列第二型曲线积分:

 (1) ,其中为按逆时针方向绕椭圆一周; 解:为 原式

 (2)

 ,其中是从点到点的一段直线; 解:是 原式

 (3) ,其中是圆柱螺线从到

 的一段弧; 解:是 原式

  (4) 计算曲线积分,其中为由点A (-1, 1)沿抛物线到点O (0, 0), 再沿x轴到点B (2, 0)的弧段. 解:由于积分曲线是分段表达的,需要分段积分 ; 原式

  2. 设力的大小等于作用点的横坐标的平方,而方向依轴的负方向,求质量为 的质点沿抛物线从点移动到点时,力所作的功. 解:

  3.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中 为:

 (1) 在平面内沿直线从点到点; (2) 沿抛物线从点到点. 解:(1)

 (2)

 作业15

 格林公式及其应用 1.填空题 (1) 设是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,

  12

  . (2) 设曲线是以为顶点的正方形边界, 不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_. (3)相应于曲线积分的第一型的曲线积分是. 其中为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段. 2.计算,其中L是沿半圆周 从点到点的弧. 解:L加上构成区域边界的负向

  3.计算,其中为椭圆 正向一周. 解:原式

  4.计算曲线积分 其中为连续函数,是沿圆周按逆时针方向由点到点 的一段弧. 解:令 则,原式

  5.计算,其中为

  (1)圆周(按反时针方向); 解:,而且原点不在该圆域内部,从而由格林公式,原式 (2)闭曲线(按反时针方向). 解:,但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件,从而可作一很小的圆周(也按反时针方向),在圆环域上用格林公式得, 原式 6.证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值:

 (1); 解:由于在全平面连续,从而该曲线积分在平面内与路径无关,沿折线积分即可, 原式 (2); 解:由于在全平面连续,从而该曲线积分在平面内与路径无关,沿直线积分也可, 原式

 (3). 解:由于在全平面连续,从而该曲线积分在平面内与路径无关,沿折线积分即可, 原式

 7.设在上具有连续导数,计算 , 其中L为从点到点的直线段. 解:由于在右半平面连续,从而该曲线积分右半平面内与路径无关,沿曲线积分即可, 原式 8.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数:

 (1); 解:由于在全平面连续,从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分,设这个函数为, 则 从而

 , (2); 解:由于在全平面连续,从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分,设这个函数为, 则原式

  可取 (3) 解:可取折线作曲线积分

 9.设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关. 证:, 质点在此场内任意曲线移动时,场力所作的功为 由于在全平面连续,从而质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关.

 

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