2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D． 10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 　 二、填空题 13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　 　． 14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=　 　． 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=　 　． 16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　 　． 　 三、解答题 17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． （1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2． 　 [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 　 2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
37：集合思想；
4O：定义法；
5J：集合． 【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}， ∴A∩B={2，4}， ∴A∩B中元素的个数为2． 故选：B． 【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 　 2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；
5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；
B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；
2A：探究型；
5I：概率与统计． 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；

年接待游客量逐年增加，故B正确；

各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；

故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
35：转化思想；
4O：定义法；
56：三角函数的求值． 【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出． 【解答】解：∵sinα﹣cosα=， ∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=， ∴sin2α=﹣， 故选：A． 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 　 5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
31：数形结合；
35：转化思想；
5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可． 【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值， 由解得A（0，3）， 由解得B（2，0）， 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3， 目标函数的取值范围：[﹣3，2]． 故选：B． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键． 　 6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
35：转化思想；
49：综合法；
57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+） =sin（x+）． 故选：A． 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力． 　 7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
31：数形结合；
35：转化思想；
51：函数的性质及应用． 【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可． 【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称， 当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法． 　 8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
39：运动思想；
49：综合法；
5K：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
34：方程思想；
4O：定义法；
5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r==， ∴该圆柱的体积：V=Sh==． 故选：B． 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 　 10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
31：数形结合；
41：向量法；
5G：空间角． 【分析】法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1，由此得到A1E⊥BC1． 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C， ∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1， ∴A1B1⊥BC1， ∵A1B1∩B1C=B1， ∴BC1⊥平面A1ECB1， ∵A1E⊂平面A1ECB1， ∴A1E⊥BC1． 故选：C． 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2， 则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0）， =（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0）， =（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0）， ∵•=﹣2，=2，=0，=6， ∴A1E⊥BC1． 故选：C． 【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 　 11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；
5B：直线与圆；
5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2． ∴椭圆C的离心率e===． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
33：函数思想；
49：综合法；
51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；

③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；

综上所述，a=， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 二、填空题 13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　2　． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
34：方程思想；
4O：定义法；
5A：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解． 【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且， ∴=﹣6+3m=0， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 　 14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=　5　． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
35：转化思想；
5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可． 【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x， 可得，解得a=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=　75°　． 【考点】HP：正弦定理；
HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
35：转化思想；
4O：定义法；
58：解三角形． 【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可 【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3， ∴sinB==， ∵b＜c， ∴B=45°， ∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题 　 16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　（，+∞）　． 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；
4R：转化法；
51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣， 则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞， 此时＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣， 当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+， 此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 综上x＞， 故答案为：（，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 　 三、解答题 17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． （1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和． 【考点】8E：数列的求和；
8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；
35：转化思想；
54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用数列递推关系即可得出． （2）==﹣．利用裂项求和方法即可得出． 【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）an=2．∴an=． 当n=1时，a1=2，上式也成立． ∴an=． （2）==﹣． ∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=． 【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；
CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
35：转化思想；
49：综合法；
5I：概率与统计． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；
当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；
当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500， Y=450×2=900元， 当温度在[20，25）°C时，需求量为300， Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元， 当温度低于20°C时，需求量为200， Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元， 当温度大于等于20时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C的天数有：
90﹣（2+16）=72， ∴估计Y大于零的概率P=． 【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；
LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
31：数形结合；
41：向量法；
5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD． 解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD， ∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC， 设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA， ∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2， ∴EC=EA==CD， ∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=， 由余弦定理得：
cos∠CBD==， 即，解得BE=1或BE=2， ∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． 法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0）， 设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ）， ∴=（1，），=（﹣1，）， ∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；
43：待定系数法；
5B：直线与圆． 【分析】（1）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；

（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值． 【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1，0），B（x2，0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC•kBC=﹣1， 即有•=﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况；

（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d）， 则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|， 即有2=|OH|， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；
6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；
32：分类讨论；
48：分析法；
53：导数的综合应用． 【分析】（1）题干求导可知f′（x）=（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论；

（2）通过（1）可知f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可． 【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x， 求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0）， ①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；

③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣． 因为当x∈（0，﹣）f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）f′（x）＜0， 所以y=f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减． 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；

（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减， 所以当x=﹣时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）． 从而要证f（x）≤﹣﹣2，即证f（﹣）≤﹣﹣2， 即证﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣（﹣）+ln（﹣）≤﹣1+ln2． 令t=﹣，则t＞0，问题转化为证明：﹣t+lnt≤﹣1+ln2．…（*） 令g（t）=﹣t+lnt，则g′（t）=﹣+， 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0， 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即g（t）≤g（2）=﹣×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立， 所以当a＜0时，f（x）≤﹣﹣2成立． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；
4Q：参数法；
4R：转化法；
5S：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；

（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=． 【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；

又直线l2的参数方程为，（m为参数）， 同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；

联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4（x≠2且y≠0）；

（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0， ∴其普通方程为：x+y﹣=0， 联立得：， ∴ρ2=x2+y2=+=5． ∴l3与C的交点M的极径为ρ=． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；
R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；
33：函数思想；
4C：分类法；
4R：转化法；
51：函数的性质及应用；
5T：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；

（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）=， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；

当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；

综上，g（x）max=， ∴m的取值范围为（﹣∞，]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．