2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修Ⅱ）

　一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．复数等于（

　） A．

　B．

　C．1

　D． 2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（

　） A．1

　B．2

　C．3

　D．4 3．的内角的对边分别为，若，则等于（

　） A．

　B．2

　C．

　D． 4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（

　） A．64

　B．100

　C．110

　D．120 5．直线与圆相切，则实数等于（

　） A．或

　B．或

　C．或

　D．或 6．“”是“对任意的正数，”的（

　） A．充分不必要条件

　B．必要不充分条件 C．充要条件

　D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（

　） A．

　B．1

　C．4

　D．10 8．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（

　） A．

　B．

　C．

　D． 9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（

　） A B a b l

　 A．

　B． C．

　D． 10．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（

　） A．7

　B．5

　C．4

　D．3 11．定义在上的函数满足（），，则等于（

　） A．2

　B．3

　C．6

　D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（

　） A．11010

　B．01100

　C．10111

　D．00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．，则

　． 14．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为

　． 15．关于平面向量．有下列三个命题：

　①若，则．②若，，则． ③非零向量和满足，则与的夹角为． 其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号） 16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有

　种．（用数字作答）． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期及最值； （Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

　18．（本小题满分12分） 某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率； （Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．

　19．（本小题满分12分） 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，． A1 A C1 B1 B D C （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的大小．

　20．（本小题满分12分） 已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． （Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行； （Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

　21．（本小题满分12分） 已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是． （Ⅰ）求函数的另一个极值点； （Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．

　 22．（本小题满分14分） 已知数列的首项，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：．

　2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

　一、1．D

　2．B

　3．D

　4．B

　5．C

　6．A

　7．A

　 8．B

　9．D

　10．B

　 11．C

　 12．C 二、13．1

　 14．

　15．②

　 16．96 三、17．解：（Ⅰ）． 的最小正周期． 当时，取得最小值；当时，取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．又． ． ． 函数是偶函数． 18．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则， ． （Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．

　的分布列为

　0 1 2 3

　0.008 0.032 0.16 0.8

　 . 19．解法一：（Ⅰ）平面平面， ．在中，， ，，又， ，，即． 又，平面， 平面，平面平面． （Ⅱ）如图，作交于点，连接， A1 A C1 B1 B D C F E （第19题，解法一） 由已知得平面． 是在面内的射影． 由三垂线定理知， 为二面角的平面角． 过作交于点， 则，， ． 在中，． A1 A C1 B1 B D C z y x （第19题，解法二） 在中，． ， 即二面角为． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系， 则， ，． 点坐标为． ，． ，，，，又， 平面，又平面，平面平面． （Ⅱ）平面，取为平面的法向量， 设平面的法向量为，则． ， 如图，可取，则， ， 即二面角为． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得， x A y 1 1 2 M N B O 由韦达定理得，， ，点的坐标为． 设抛物线在点处的切线的方程为， 将代入上式得， 直线与抛物线相切， ，． 即． （Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点， ． 由（Ⅰ）知 ． 轴，． 又

　． ，解得． 即存在，使． 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ．由韦达定理得． ，点的坐标为．，， 抛物线在点处的切线的斜率为，． （Ⅱ）假设存在实数，使． 由（Ⅰ）知，则

　 ， ，，解得． 即存在，使． 21．解：（Ⅰ），由题意知， 即得，（*），． 由得， 由韦达定理知另一个极值点为（或）． （Ⅱ）由（*）式得，即． 当时，；当时，． （i）当时，在和内是减函数，在内是增函数． ， ， 由及，解得． （ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数． ， 恒成立． 综上可知，所求的取值范围为． 22．解法一：（Ⅰ），，， 又，是以为首项，为公比的等比数列． ，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

　 ，原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

　． 取， 则． 原不等式成立． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设， 则 ， 当时，；当时，， 当时，取得最大值． 原不等式成立． （Ⅲ）同解法一．

　 B卷选择题答案：

　1．D

　2．C

　3．A

　4．B

　5．C

　6．A

　7．D

　 8．C

　9．C

　10．B

　 11．B

　 12．D