目 录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准则 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总 结 26 参考文献 27 致 谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用 摘 要 对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准则，证明函数项级数一致收敛的判别法。本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致收敛的定义, 重要判别法及其一致收敛的应用给出了论文中一些结论的证明。

关键词：函数项级数；
一致收敛性；
判别法。

引 言 一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。

而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性。

这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。

即函数项级数的一致收敛性。

文献[1]讨论了函数项级数一致收敛的基本判别法, 给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法; 文献[6][7][8]给出了函数项级数一致收敛的重要判别法, 如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法; 文献[5][3]给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件: 柯西准则, 余项定理, 并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理; 文献[10]对该问题进行了推广, 得到了比试和根式判别法, 同时也有其它一些文献, 得到了一些其它的结论。本文结合上述文献, 总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法, 如对数判别法, 导数判别法, M判别法的推论等, 并给出了一些判别法的证明, 此外也用一些例题验证它的可行性。

1.函数列级数和函数项级数及其一致性 1.1函数列级数及其一致收敛性 定义1 设 是一列定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列，也可简单的写作：
或，. 设，以代入可得数列 若数列收敛，则称函数列在点收敛，称为函数列的收敛点.若数列发散，则称函数列在点发散.若函数列在数集上每一点都收敛，则称在数集上收敛.这时上每一点，都有数列的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的上的函数，称为函数列的极限函数.若极限函数记作，则有 ， 或 ，. 使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域. 定义2 设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有 ， 则称函数列在上一致收敛于，记作 , . 注：本文用“”表示一致收敛. 由定义看到，如果函数列在上一致收敛，那么对于所给的，不管上哪一点，总存在公共的（即的选取仅与有关，与的取值无关），只要，都有 . 由此可以看到函数列在上一致收敛，必在上每一点都收敛.反之，在上每一点都收敛的函数列，在上不一定一致收敛. 1.2函数项级数一致收敛性 定义1 设是定义在数集Ｅ上的一个函数列, 表达式 , (1) 称为定义在定义域Ｅ上的函数项级数, 简记为或。称 , , (2) 为函数项级数(1)的部分和函数列。

若, 数项级数 , (3) 收敛, 即部分和当时极限存在, 则称级数(1)在点收敛, 称为(1)的收敛点。若级数(3)发散，则称级数(1)在点发散。若级数(1)在Ｅ上的某个子集Ｄ上的每个点都收敛, 则称级数(1)在Ｄ上收敛, 并且称(1)的收敛域为Ｄ, 级数(1)在Ｄ上的每一点与其所对应的数项级数(3)的和构成一个定义在Ｄ上的函数, 称为(1)的和函数, 并写作 , 即 ,, 也就是说，函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2)的收敛性。

定义设是函数项级数的部分和数列。若在数集Ｄ上一致收敛于函数, 则称函数项级数在Ｄ上一致收敛于, 或称在Ｄ上一致收敛。

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和数列来确定, 所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义。

定义3 设函数项级数在Ｄ上和函数为, 称, 为函数项的余项。

2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 2.1 定义判别法 例1 讨论。

解：
显然 所以，对任给的只要取 对一切成立，因此在上一致收敛于。

2.2 M判别法 定理 (M判别法) 设函数项级数定义在数集Ｄ上, 为收敛 的正项级数, 若对一切, 有, , 则函数项级数在Ｄ上一致收敛。

证明 由假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数，使得当及任何正整数，有 . 又由（3）式对一切有 . 根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛. 例2 证明函数项级数，一致收敛。

证明：
由不等式可知对任意x,有。因收敛，由M-判别法知在上一致收敛。

2.3 莱布尼兹判别法 定理2 若交错级数满足下述两个条件：
数列单调递减；
，则交错级数收敛。

例3 试证在区间上一致收敛。

证明：是任意闭区间的连续函数列, 且有 , , 由上述定理知, 函数项级数在区间上一致收敛。

2.4 余项判别法 定理 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是。

例4 讨论函数项级数的一致收敛性。

解：
设 。因而，，。解，得。易知，该点为函数于是：
故原级数在上一致收敛。

推论 是函数项级数的部分和函数列, 和函数, 都是定义在同一数集Ｄ上, 对于任意的, 存在数列, 使得对, 有, 且, 则称函数列一致收敛于, 即函数项级数在Ｄ上一致收敛于函数。

证明：
因, 故对任给的, (与无关), 使得当时, 对一切, 都有。由定义2得函数列一致收敛于, 即函数项级数在Ｄ上一致收敛于。

注 用放大法判定函数项级数一致收敛性时, 需要知道。

2.5 柯西准则 定理 (一致收敛的cauchy准则) 函数项级数在数集Ｄ上一致收敛的充要条件为：任给>0。

存在，当时, 对一切， 都有成立。

推论2若 在Ｄ上一致收敛，则。

例5：设，在连续且在内一致收敛，且由均收敛，证明上一致收敛。

证明：由内一致收敛及均收敛，知，同时有 因而，有 故在一致收敛。

定理 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是：
. 证明 必要性 因为在区间上一致收敛,所以，，使得当时，对一切,都有，即，所以，所以. 充分性 设在上不一致收敛,即，,，使得 ，即，所以.与已知矛盾(李岚，2003)[4]. 例6　若在上可积，且与在上都可积，，设，，则在上一致收敛于. 证明 ()， 所以利用定理1,当时，一致收敛于. 例7 设，在上连续，，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于. 证明 已知（其中）是单调递减且趋于0，所以，有，且，，时，有.将固定，令，因为在上连续,既然，所以，当时.从而时更有即仅当. 如上所述,对每个点，可找到相应的邻域及相应的,使得 时，对恒有. 如此构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖.不妨记为，于是，总，使得当时，取，那么当时，恒有. 由定理2得，在一致收敛于. 2.6 类数项级数判别法 通过函数项级数，我们同样的可得到数项级数的很多特性,例如其收敛性等,可是函数项级数在一直连续性上和数项级数是有区别的，根据数项级数的收敛性一致收敛性判别法和函数项级数的一致收敛性判别法，可以明显看出,这两者的判别方式十分相近，例如其命名方面,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。对于函数项级数的一致收敛性,有没有和数项级数收敛性判别类似的方法,非常值得探索。因此,通过将比式判别法和根式判别法相结合,可以推出函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,相应的可以借用P级数的收敛性和优级数判别法得到函数项级数一致收敛性的对数判别法。

2.6.1 比式判别法 定理 (比式判别法)　设(x) 为定义在数集D上正的函数列,记 (x) = 存在正整数N 及实数q、M ,使得: ≤ q < 1 , ≤M 对任意的n > N , x ∈D 成立,则函数项级数在D 上一致收敛。

证明：
,而等比级数，当公比时收敛，从而由函数项级数一致收敛的优级数判别法知，在上一致收敛. 推论3 (比式判别法的极限形式) 设为定义在数集Ｄ上的函数项级数, 记, 若, 且在Ｄ上一致有界, 则函数项级数在Ｄ上一致收敛。

证明: 由则存在正整数, 使得当时, 有 , 由在Ｄ上一致有界, 则对任意的正整数, 及任意的, 存在正整数, 使得, 令 , 则有, 而几何级数当时收敛, 由函数项级数一致收敛的M判别法知在Ｄ上一致收敛, 得证。

例8 试证函数项级数在 ()上一致收敛。

证明: 因为 , 而 , 所以由比式判别法的极限形式知函数项级数在 ()上一致收敛。

2.6.2 根式判别法 定理 (根式判别法) 设为定义在数集Ｄ上的函数项级数, 若, 则函数项级数在Ｄ上一致收敛。

证明 由定理条件，，，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法，函数项级数在上一致收敛. 例9 试证函数项级数在上一致收敛, 其中()。

证明: 设=, 因为 , 所以 由根式判别法可知函数项级数在上一致收敛。

推论4 (根式判别法的极限形式) 设为定义在数集Ｄ上的函数列, 若一致收敛于, 即, 且, ,对成立, 则函数项级数在Ｄ上一致收敛。

证明: 由一致收敛于 , 取, , 当时, 对一切有 , 所以 , 即 , 又因为 , 由M判别法知在上一致收敛。

推论5 有函数项级数, 若对, 有, 则函数项级数在Ｄ上一致收敛。

例10 判别函数项级数在上的一致收敛性。

证明: 因为 , 所以由推论5知函数项级数在上一致收敛。

2.6.3 对数判别法 定理 (对数判别法) 设为定义在数集Ｄ上的函数列, 若有存在, 对 则函数项级数在Ｄ上一致收敛。

例11 证在上一致收敛。

证明: , 因为 , 所以由对数判别法知函数项级数在上一致收敛。

2.9 导数判别法 定理 (导数判别法) 设函数列在区间上连续, 可微, 且存在一点使得在点收敛；
在上一致收敛；
则函数项级数在上一致收敛。

例12 设, , 证在上一致收敛。

解：
对于每一个, 易见为上的增函数, 故连续且可微, 对于有, 故收敛级数为的优级数, 所以由M判别法知在上一致收敛。故原级数在上一致收敛。

2.10 连续性判别法 定理 设函数项级数 在区域Ｄ上点态收敛于, 如果 (1) ()在Ｄ上连续, (2) 在Ｄ上连续, (3) 对Ｄ上每个固定的, 不变号, 则 在Ｄ上一致收敛于。

例13 证明 ()的一致收敛性。

证明: 由于 , 在R上点态敛于, 在R上连续, 而在R上连续, 对R上每个固定的, 不变号。则由定理12知原级数一致收敛于。

推论6 设在上连续, 又在上收敛于连续函数, 则函数项级数在一致收敛。

例14 试证 在()内一致收敛。

解: 对, 都有,又当充分大时单调递减, 故连续, 和函数在上连续, 故由推论知在上一致收敛。

2.11 迫敛性判别法 定理 (迫敛性定理) 设, 都有成立, 且 和在I上都一致收敛于, 则在I也一致收敛于。

推论7 已知数项级数, 都收敛, 若存在, 当时有 , 则函数项级数于Ｄ一致收敛。

(显然, 当, 则为常数项级数, 则可判断收敛)。

推论8 设函数列{}, , , 在单调, 且及都绝对收敛, 则级数在上一致收敛。

2.12 M判别法的推论 推论9 设有函数项级数, 存在一收敛的正项级数使得对, 有(), 则函数项级数在区间一致收敛。

证明: 已知(), 即有 , 即 , 从而 , 又因为收敛, 则也收敛, 由M判别法得函数项级数在区 间上一致收敛。

注意 我们知道广义调和级数, 当时是收敛的, 故当时, 则有下列推论：
推论10 设函数项级数, 若存在, ,则函数项级数在区间一致收敛。

例15 证明函数项级数在上是一致收敛的。

证明: 对于, 存在收敛的正项级数, 且 , 由推论10知函数项级数在上是一致收敛的。

3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 3.1 阿贝尔判别法 定理5 (Able判别法) 定义在区间上的函数项级数 (4) (1) 在区间I上一致收敛；

(2) 对于每一个是单调的；

(3)在上一致有界, 即对一切和正整数, 存在正数, 使得, 则级数(4)在上一致收敛。

证明 由（ⅰ），任给，存在某正整数，使得当及任何正整数，对一切，有 又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到 . 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论. 例16 证明函数项级数在上一致收敛。

解：设。

根据优级数判别法，易知 由阿贝尔判别法，知原级数在上一致收敛。

例17 设收敛，则在上一致收敛。

证明：是数项级数，它的收敛性就意味着关于x的一致收敛性。而关于n单调，且，对一切n成立。由阿贝尔判别法可知级数在上一致收敛。特别地，比如在上是一致收敛的。

3.2 狄利克雷判别法 定理6 (Dirchlet判别法) 设 (1) 的部分和函数列 ()在上一致有界；

(2) 对于每一个是单调的；

(3) 在上(); 证明 由（ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， . 对任何一个，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到 . 再由（ⅲ），对任给的，存在正数，当时，对一切，有 ， 所以， . 于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在上一致收敛. 例18 试判别的一致收敛性。

解:: 因而，级数的部分和函数列在上一致有界。

又对单调减少且， 于是在上一致收敛于零。

根据Dirchlet判别法知，原级数在上一致收敛。

例19 在上，级数。

证明：
首先，的部分和函数列在上是一致有界的。其次，对每一个关于n是单调递减的，且有 ，。于是根据Dirichlet判别法，即得所证。

3.3 积分判别法 定理7 设为区域上的非负函数, 是定义在数集Ｄ上正的函数项级数, 且为非负函数, 如果在上关于为单调减函数, 若含参变量反常积分在数集Ｄ上一致收敛, 在数集Ｄ上一致收敛。

例20 讨论P级数的敛散性。

解：函数，当p>0时在上是非负减函数。由反常积分在P>1时收敛，p1时发散。再由积分判别法得当p>1时收敛，当0<P1时发散。至于P0的情形，则可由级数收敛的柯西准则的推论知道它也是发散的。

例21 讨论下级数 （1）；

（2） 的敛散性。

解：研究反常积分，由于 当P>1时收敛，P1时发散。根据定理7知级数（1）在p>1时收敛，p1时发散。

对于（2），考察反常积分，同样可推得级数（2）在P>1时收敛，在P1时发散。

4. 一致收敛的应用 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 例22 试叙述一致收敛的定义，并证明﹕fnx=xn在0，1上不一致收敛，但在0.bb<1上一致收敛。

证明﹕计算可得，limn→∞fnx=fx=0 0≤x<11 x=1 ∃ε=13,对于任意自然数n，存在xn=n12∈0,1,使得fnxn-Sxn=xnn=12>ε,因此，fnx=xn在0，1上不一致收敛。

当b<1时，∀ε>0，∃N>lnεlnb,当n>N时，∀x∈0,b,fnx-Sx=xn=enlnx<eNlnb<elnε=ε所以fnx=xn在0，bb<1一致收敛。

4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 不等式的证明和极值问题的讨论有着密切关系，说明对函数极值的讨论可以直接用于某些不等式的证明。

定理:设fx是定义在数集E上的有界函数，自变量x可表示为一个变元，也可表示多个变元。E中某些元素组成数集E1，如果对E中任意元素x都存在x1∈E1，使得fx<f(x1)成立，对x∈E则成立sup⁡{f(x)}≤sup⁡{f(x1)}。

例23 设，有 证明：取函数,。因为是区间上严格凹函数，则对及 1. ，则上式等号成立 ；

2.若不全相等，则由不等式 ① 即 ② 即 因为在上单调递增,综合①②结论得 ，命题成立。

例24 设在内成立不等式.若在上一致收敛,证明在上一致收敛且绝对收敛. 证明:由于,所以对,,即在上绝对收敛. 对,由在上一致收敛,,使得当时,对有,由有.从而在上一致收敛. 例25 证明不等式. 证明：
因为, 而，, 由于 ，故 . 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 如果人们不能将的原函数利用初等函数表示出来，如果想计算的定积分就会十分复杂.当下,人们通过使用幂级数展开来近似求解这些值。当确定计算的时候，把被积函数通过泰勒展开成幂级数，且积分区间也满足在其收敛域，最后根据幂级数来求得所需值。

例24 证明：
． 证明 因为 ，， 所以 =，． 例25 求的值. 解 因为 ， ， 所以 . 4.4 一致收敛在求导中的应用 例26 求在处的阶导数. 解:因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出， 进行两次积分：
则，即 . 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 定理：设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数. 例27 将一枚硬币不间断扔10次，求出现20的概率是多少？ 解 设为共出现点的方式的总数，显然.从而的生成函数为：, 因为所以的展开式中项的系数为,于是出现20点的概率为:. 例28 证明不等式. 证明 因为 , 而 ，, 由于 ，故 . 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 如果的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算的定积分就遇到了困难.现在,人们通过幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求积分的值. 例29 求 的值，结果误差小于0.0001. 解 由于，可判断所给积分为反常积分.如假设被积函数在处的值为1，可判断其于区间上连续. 把被积函数进行展开，得出 ， 将被积函数于区间上逐项积分，可得出 . 由于第四项绝对值 ， 因此取前三项的和为结果：
， 可计算得 . 总 结 函数项级数一致收敛是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要作用。而本论文在给出柯西准则, M判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法以及积分判别法等判别函数项级数一致收敛的同时, 也对函数项级数的定义及基本定理的推广给了更加普遍性的结论, 此外对数项级数的比式判别法, 根式判别法进行推广得到使其适用于函数项级数的一致收敛的判定定理, 对所得定理进行证明, 同时并举例验证某些定理方法的有效性，还利用一致收敛在等式，不等式和极限中的应用来推广了一致收敛这一概念的广阔应用。

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首先，感谢我的论文指导老师杨琪老师。从大四下学期到毕业设计期间，杨老师对我的学业倾注了极大的关怀和鼓励，我在学术上的进步离不开老师耐心细致的指导。杨老师严肃的科学态度、严谨的治学精神和精益求精的工作作风，深深地感染和影响着我，使我受益无穷。

我还应该感谢在我大学四年中认识的同学们。无论是学习或科研上的帮助，还是生活上的陪伴，都让我为结识你们而感到庆幸。不管友谊是否持续，诺言能否相信，我都感谢你们让我的大学生活充满了闪光的瞬间。就算一朝毕业为生活奔走，也愿你们今后的每一天都如肆意飞扬的大学时光一样闪亮。

我还要特别感谢我的父母对我二十年如一日的包容和支撑。对于我一切任性的选择，你们都总是给我最大限度的信任和支持。感谢你们赐予的一切。我为自己拥有你们这样的亲人而感到深深的幸运和自豪，更必将以自己有限的全部来回报。

最后，感谢所有在我毕业论文的研究领域做出贡献的学术前辈，你们的研究让后辈得以站在巨人的肩膀上。你们在学术上的贡献成就将永远激励我，让我努力追赶并不断向前探索，勇攀科学的高峰。

由于我的水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请老师批评和指正！ 胡拉依希别克·叶尔肯 2020年04月新疆师范大学数学科学学院