矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 求：和()＇。

解：== ()＇= 二、(15分)在中线性变换将基 ，， 变为基 ，， (1)求在基下的矩阵表示A；

(2)求向量及在基下的坐标；

(3)求向量在基下的坐标。

解：(1)不难求得：
因此在下矩阵表示为 (2)设，即 解之得：
所以在下坐标为。

在下坐标可得 (3)在基下坐标为 在基下坐标为 三、(20分)设，求。

解：容易算得 由于是2次多项式，且，故是1次多项式，设 由于，且，，故 于是解得：
从而：
四、(15分)求矩阵的奇异值分解。

解：的特征值是对应的特征向量依次为 ，， 于是可得 ， 计算：
构造 ，则 则A的奇异值分解为：
五、(15分)求矩阵 的满秩分解：
解：
可求得：
， 于是有 或 六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。

解：求的初等因子组，由于 因此，所求的初等因子组为，于是有 A～J= 七、(10分)设V是数域F上的线性空间，是V的子空间，则也是V的子空间。

证明：由，知，即说非空，对于任意，则。因为是子空间，所以，故。

对任意，有，且，因此知，故知为V的子空间。

八、(5分)设， 求证。

证明：矩阵A的特征多项式为 令 由Hamilton-Cayley定理知 因此