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北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案
2020-10-17 21:43:15 ℃ 北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高三数学参考答案
2020.1 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.B
2.D
3.D
4.C
5.A
6.A
7.B
8.D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10.
11. 12.
13.答案不唯一,如 14.; 注:第14题第一问2分,第二问3分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为
……………… 2分
……………… 5分
,
……………… 7分
所以函数的最小正周期为.
……………… 8分 (Ⅱ)因为,所以.
……………… 9分
所以当,即时,取得最小值.
……………… 11分
当,即时,取得最大值.
……………… 13分
16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)设事件:“在样本中任取1个,这个出行人恰好不是青年人”为,
……………… 1分
由表可得:样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为,,, ……………… 2分
所以在样本中任取1个,这个出行人恰好不是青年人的概率. ………………3分 (Ⅱ)由题意,的所有可能取值为:0,1,2.
……………… 4分 因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取1人次,此人为老年人概率是,
……………… 5分
所以,
……………… 6分
,
……………… 7分
.
……………… 8分
所以随机变量的分布列为:
……………… 9分
故.
……………… 10分
(Ⅲ)答案不唯一,言之有理即可.
如可以从满意度的均值来分析问题,参考答案如下:
由表可知,乘坐高铁的人满意度均值为:,
乘坐飞机的人满意度均值为:,
……………… 12分
因为,
所以建议甲乘坐高铁从A市到B市.
…………… 13分
B1 C
D B A A1 C1 E 17.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意,三棱柱为正三棱柱.
连接. 设,则是的中点.
连接. 由,分别为和的中点,
得.
……………… 2分 又因为平面,平面,
所以平面.
……………… 4分
(Ⅱ)取的中点,连接. B1 C
D B A A1 C1 z y x F
因为△为正三角形,且为中点,
所以.
由,分别为和的中点,得,
又因为平面,
所以平面,
所以,.
分别以,,为轴,轴,轴,如图建立空间直角坐标系,… 5分
则,,,,,
所以,,,, …… 6分
设平面的法向量,
由,,得
令,得.
……………… 8分
设平面的法向量,
由,,得
令,得.
……………… 9分
设二面角的平面角为,则 ,
由图可得二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
……………… 10分
(Ⅲ)结论:直线与平面相交.
……………… 11分
证明:因为,,且,
所以.
……………… 12分
又因为平面的法向量,且,
所以与不垂直,
所以平面,且与平面不平行,
故直线与平面相交.
……………… 14分
18.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由题意,得,直线(),
……………… 2分
设,,
联立消去,得,…… 3分
显然,,
……………… 4分
则点的横坐标,
……………… 5分
因为,
所以点在轴的右侧.
……………… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得点的纵坐标.
……………… 7分
即.
所以线段的垂直平分线方程为:.
……… 8分
令,得;令,得.
……………… 9分
所以△的面积,
……… 10分
△的面积.
…… 11分
因为△与△的面积相等,
所以,解得.
所以当△与△的面积相等时,直线的斜率.
……… 13分
19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由,得,
……………… 2分
所以,.
所以曲线在点处的切线方程为.
…………… 4分 (Ⅱ)由,得,
则.
… …………… 5分
当时,由,得,
所以函数在上单调递增;
……………… 7分
当时,由,得,
所以函数在上单调递减.
综上,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. … 8分
(Ⅲ)由,得在上恒成立.
设,
……………… 9分
则.
由,得,().
……………… 10分
随着变化,与的变化情况如下表所示:
0
↘ 极小值 ↗
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以函数的最小值为.
由题意,得,即 .
…………… 12分
设,则.
因为当时,; 当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以当时,.
所以当,,即,时,有最大值为.
…………… 14分
20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)答案不唯一. 如;
……………… 3分
(Ⅱ)假设存在一个使得,
……………… 4分
令,其中且,
由题意,得,
……………… 6分
由为正整数,得,这与为集合中的最大元素矛盾,
所以任意,.
……………… 8分 (Ⅲ)设集合中有个元素,,
由题意,得,,
由(Ⅱ),得.
假设,则.
因为,
由题设条件,得,
因为,
所以由(Ⅱ)可得,
这与为中不超过的最大元素矛盾,
所以,
又因为,,
所以.
……………… 10分
任给集合的元子集,令, 以下证明集合符合题意:
对于任意,则. 若,则有,
所以,,从而.
故集合符合题意,
……………… 12分
所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同,
故满足条件的集合有个.
……………… 13分
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