哈希表是一种高效的数据结构。本文分五个部分：首先提出了哈希表的优点，其次 介绍了它的基础操作，接着从简单的例子中作了效率对比，指出其适用范围以及特点， 然后通过例子说明了如何在题目中运用哈希表以及需要注意的问题，最后总结全文。

　[ 正文 ]. 引言

　哈希表（ ）的应用近两年才在中出现，作为一种高效的数据结构，它正在竞赛中 发挥着越来越重要的作用。

　哈希表最大的优点， 就是把数据的存储和查找消耗的时间大大降低，几乎可以看成 是常数时间； 而代价仅仅是消耗比较多的内存。然而在当前可利用内存越来越多的情况 下，用空间换时间的做法是值得的。另外，编码比较容易也是它的特点之一。

　哈希表又叫做散列表，分为 "开散列" 和"闭散列 " 。考虑到竞赛时多数人通常避免 使用动态存储结构， 本文中的 "哈希表 "仅指"闭散列 " ，关于其他方面读者可参阅其他书 籍。

　. 基础操作 基本原理

　我们使用一个下标范围比较大的数组来存储元素。可以设计一个函数（哈希函数， 也叫做散列函数），使得每个元素的关键字都与一个函数值（即数组下标）相对应，于 是用这个数组单元来存储这个元素；也可以简单的理解为，按照关键字为每一个元素 分类 "，然后将这个元素存储在相应 "类"所对应的地方。

　但是，不能够保证每个元素的关键字与函数值是一一对应的，因此极有可能出现对 于不同的元素，却计算出了相同的函数值，这样就产生了

　" 冲突" ，换句话说，就是把不

　同的元素分在了相同的 "类" 之中。后面我们将看到一种解决 "冲突"的简便做法。

　总的来说， "直接定址 "与"解决冲突 "是哈希表的两大特点。

　函数构造

　构造函数的常用方法 (下面为了叙述简洁，设 () 表示关键字为 的元素所对应的 函数值)：

　) 除余法：

　选择一个适当的正整数 ，令 ( )

　这里， 如果选取的是比较大的素数，效果比较好。而且此法非常容易实现，因此 是最常用的方法。

　) 数字选择法：

　如果关键字的位数比较多， 超过长整型范围而无法直接运算，可以选择其中数字分 布比较均匀的若干位，所组成的新的值作为关键字或者直接作为函数值。

　冲突处理

　线性重新散列技术易于实现且可以较好的达到目的。

　令数组元素个数为 ，则当 () 已经存储了元素的时候，依次探查

　(()),

　……，直到找到空的存储单元为止(或

　者从头到尾扫描一圈仍未发现空单元，这就是哈希表已经满了，发生了错误。当然这是 可以通过扩大数组范围避免的)。

　支持运算

　哈希表支持的运算主要有：初始化 () 、哈希函数值的运算 (()) 、插入元素 () 、查找 元素 () 。

　设插入的元素的关键字为 ， 为存储的数组。

　初始化比较容易，例如

　; 用非常大的整数代表这个位置没有存储元素

　;

　表的大小

　[];

　哈希函数值的运算根据函数的不同而变化，例如除余法的一个例子：

　();

　我们注意到，插入和查找首先都需要对这个元素定位，即如果这个元素若存在，它 应该存储在什么位置，因此加入一个定位的函数

　();

　J

　();

　J

　(<)([() ]<>)([() ]<>)

　();

　当这个循环停下来时，要么找到一个空的存储单元，要么找到这个元 素存储的单元，要么表已经满了

　() ;

　J

　插入元素

　();

　();定位函数的返回值

　();

　定位函数的返回值

　[][]

　; 即为发生了错误，当然这是可以避免的查找元素是否已经在表中

　（）;

　();

　[]

　这些就是建立在哈希表上的常用基本运算。

　下文提到的所有程序都能在附录中找到。

　.效率对比简单的例子与实验

　下面是一个比较简单的例子：

　集合（）问题描述：

　给定两个集合、，集合内的任一元素满足 <

　< 0,并且每个集合的元

　素个数不大于 r个。我们希望求出、之间的关系。只需确定在 中但是不在 中 的元素的个数即可。（这个题目是根据

　模拟赛 的第一题改编的。）

　分析：我们先不管 与 的具体关系如何，注意到这个问题的本质就是对于给定 的集合，确定 中的元素是否在 中。所以，我们使用哈希表来处理。至于哈希 函数，只要按照除余法就行了，由于故意扩大了原题的数据规模，

　（）；

　当然本题可以利用别的方法解决，所以选取了速度最快的快速排序二分查 找，让这两种方法作效率对比。

　我们假定，对于随机生成的数据，计算程序重复运行次所用时间。

　对比表格如下：

　哈希表() 快速排序二分查找 () () ( 只有忽略了冲突才是这个结果。当然

　复杂度 实际情况会比这个大，但是重复的几率与 ( ) ( ) 哈希函数有关，不容易估计 )

　测试数据规

　模

　对于数据的说明： 在 下用 测试，为了使时间的差距明显，让程序重复运了 行次。同时哈希表中的 ，下标范围 。由于快速排序不稳定，因此使用了随机 数据。

　． 对实验结果的分析：

　注意到两个程序的用时并不像我们期望的那样，总是哈希表快。设哈希表 的大小为 .

　首先，当规模比较小的时候(大约为 < * ，这个数据仅仅是通过若干数据 估记出来的，没有严格证明，下同)，第二种方法比哈希表快。这是由于，虽然 每次计算哈希函数用 () 的时间，但是这个系数比较大。例如这道题的 () ， 通过与做同样次数的加法相比较， 测试发现系数 > ，因为 运算本身与快速排 序的比较大小和交换元素运算相比，比较费时间。所以规模小的时候， () (忽略 冲突)的算法反而不如 () 。这一点在更复杂的哈希函数上会体现的更明显，因 为更复杂的函数系数会更大。

　其次，当规模稍大 (大约为 * < < * ) 的时候，很明显哈希表的效率高 这是因为冲突的次数较少。

　再次，当规模再大 (大约为 * < < )的时候，哈希表的效率大幅下降。

　这是因为冲突的次数大大提高了， 为了解决冲突， 程序不得不遍历一段都存储了 元素的数组空间来寻找空位置。

　用白箱测试的方法统计， 当规模为的时候， 为了 找空位置， 线性重新散列平均做了 次运算； 而当规模为 的时候，平均竟然高达 次运算，某些数据甚至能达到次。

　显然浪费这么多次运算来解决冲突是不合算的，

　解决这个问题可以扩大表的规模，或者使用"开散列"（尽管它是动态数据结构） 然而需要指出的是，冲突是不可避免的。

　初步结论:

　当数据规模接近哈希表上界或者下界的时候，哈希表完全不能够体现高效 的特点，甚至还不如一般算法。但是如果规模在中央，它高效的特点可以充分体 现。我们可以从图像直观的观察到这一点。

　其他方法哈希表

　其他方法

　哈希表

　时间效率

　实验表明当元素充满哈希表的

　的时候，效率就已经开始明显下降。这就

　给了我们提示：如果确定使用哈希表，应该尽量使数组开大（由于竞赛中可利用 内存越来越多，大数组通常不是问题，当然也有少数情况例外），但对最太大的 数组进行操作也比较费时间，需要找到一个平衡点。通常使它的容量至少是题目 最大需求的，效果比较好（这个仅仅是经验，没有严格证明）。

　应用举例应用的简单原则

　什么时候适合应用哈希表呢？如果发现解决这个问题时经常要询问：

　"某个

　元素是否在已知集合中？"，也就是需要高效的数据存储和查找，则使用哈希表 是最好不过的了！那么，在应用哈希表的过程中，值得注意的是什么呢？

　哈希函数的设计很重要。一个不好的哈希函数，就是指造成很多冲突的情 况,从前面的例子已经可以看出来，解决冲突会浪费掉大量时间，因此我们的目 标就是尽力避免冲突。前面提到，在使用"除余法"的时候，（），最好是一个 大素数。这就是为了尽力避免冲突。为什么呢？假设 ，则哈希函数分类的标准 实际上就变成了按照末三位数分类，这样最多类，冲突会很多。一般地说，如果 的约数越多，那么冲突的几率就越大。

　简单的证明：假设 是一个有较多约数的数，同时在数据中存在

　满足

　（） > ，即有* , *, 则有 * [ ] *[].

　①其中[] 的取值范围

　是不会超过[,]的正整数。也就是说，[] 的值只有 种可能，而 是一个 预先确定的数。因此 ①式的值就只有 种可能了。这样，虽然 运算之后的余 数仍然在[,]内，但是它的取值仅限于 ① 可能取到的那些值。也就是说余数 的分布变得不均匀了。容易看出， 的约数越多，发生这种余数分布不均匀的情 况就越频繁，冲突的几率越高。而素数的约数是最少的，因此我们选用大素数 记住" 素数是我们的得力助手 "。

　另一方面，一味的追求低冲突率也不好。理论上，是可以设计出一个几乎 完美，几乎没有冲突的函数的。然而，这样做显然不值得，因为这样的函数设计 很浪费时间而且编码一定很复杂， 与其花费这么大的精力去设计函数， 还不如用 一个虽然冲突多一些但是编码简单的函数。

　因此，函数还需要易于编码， 即易于 实现。

　综上所述，设计一个好的哈希函数是很关键的。而 " 好"的标准，就是较低 的冲突率和易于实现。

　另外，使用哈希表并不是记住了前面的基本操作就能以不变应万变的。有 的时候，需要按照题目的要求对哈希表的结构作一些改进。

　往往一些简单的改进 就可以带来巨大的方便。

　这些只是一般原则，真正遇到试卷的时候实际情况千变万化，需要具体问 题具体分析才行。下面，我们看几个例子，看看这些原则是如何体现的。

　有关字符串的例子

　我们经常会遇到处理字符串的问题，下面我们来看这个例子：

　找名字 问题描述：

　给定一个全部由字符串组成的字典，字符串全部由大写字母构成。其中为

　每个字符串编写密码， 编写的方式是对于 位字符串， 给定一个 位数， 大写字

　母与数字的对应方式按照电话键盘的方式：

　题目给出一个 位的数，找出在字典中出现且密码是这个数的所有字符串。

　字典中字符串的个数不超过 。（这个是 的一道题。）

　分析： 看懂题目之后，对于给定的编码，只需要一个回溯的过程，所有可 能的原字符串都可以被列举出来， 剩下的就是检查这个字符串是否在给定的字典 中了。所以这个问题需要的还是 "某个元素是否在已知集合中？ "由于给出的 "姓 名" 都是字符串，因此我们可以利用字符的

　码。那么，如何设计这个哈希函数

　呢？注意到题目给出的字典中，最多能有 个不同元素，而一个字符的 码只能 有 种不同的取值，因此至少需要用在个位置上的字符（A >，但是A<

　）,

　于是我们就选取个位置上的字符。

　由于给定的字符串的长度从 都有可能， 为了 容易实现， 选取最开始的个字符， 和最末尾的个字符。

　让这个字符组成进制的位

　数，则这个数的值就是这个字符串的编码。这样哈希函数就设计出来了！

　不过，由于可能出现只有位的字符串， 在写函数代码的时候需要特殊考虑；

　大素数选取 。

　这个函数是这样的：

　();

　; { 用来记录进制数的值 }

　()>

　*([]);

　([()]); {

　取第一位和后两位 }

　([]);{ 当长度为的时候特殊处理 }

　值得指出的是， 本题给出的字符串大都没有什么规律， 用哈希表可以做到近

　似"平均" ，但是对于大多数情况，字符串是有规律的(例如英文单词)，这个时

　候用哈希表反而不好 (例如英语中有很多以 开头的单词) ，通常用检索树解决

　这样的查找问题。

　在广度优先搜索中应用的例子

　在广度优先搜索中， 一个通用而且有效的剪枝就是在拓展节点之前先判重。

　而判重的本质也是数据的存储与查找， 因此哈希表大有用武之地。

　来看下面的例

　子：

　转花盆 题意描述 :

　给定两个正边形的花坛，要求求出从第一个变化到第二个的最小操作

　次数以及操作方式。

　一次操作是： 选定不在边上的一盆花， 将这盆花周围的盆花

　按照顺时针或者逆时针的顺序依次移动一个单位。

　限定一个花坛里摆放的不同种

　类的花不超过种， 对于任意两种花， 数量多的花的盆数至少是数量少的花的倍

　(这是 的一道题)

　分析： 首先确定本题可以用广度优先搜索处理，然后来看问题的规模。正边形 共有个格子可以用来放花，而且根据最后一句限定条件，至多只能存在 () * () 种状态，用搜索完全可行。

　然而操作的时候， 可以预料产生的重复节点是相当多 的，需要迅速判重才能在限定时间内出解， 因此想到了哈希表。

　那么这个哈希函 数如何设计呢？注意到个格子组成边形是有顺序的， 而且每一个格子只有种可能

　情况，那么用进制位数最大A用 完全可以承受。于是我们将每一个状态与 个整数对应起来，使用除余法就可以了。

　小结

　从这两个例子可以发现，对于字符串的查找，哈希表虽然不是最好的方法， 但是每个字符都有"天生"的 码，在设计哈希函数的时候可以直接利用。

　而其他 方法，例如利用检索树的查找，编写代码不如哈希表简洁。至于广度优先搜索中 的判重更是直接利用了哈希表的特点。

　另外，我们看到这两个题目都是设计好哈希函数之后，直接利用前面的基 本操作就可以了，因此重点应该是在哈希函数的设计上(尽管这两个例子的设计 都很简单)，需要注意题目本身可以利用的条件，以及估计值域的范围。下面我 们看两个需要在哈希表基础上作一些变化的例子。

　需要微小变化的例子

　下面，我们来分析一道 的试卷：

　方 程的解数问题描述

　已知一个元高次方程：

　+& 花內 +

　+knx/n = 0

　其中：…_

　-?是未知数，「卞…险是系数，：忙 n是指数。且方

　程中的所有数均为整数。

　假设未知数W甬W,，求这个方程的整数解的个数。

　约束条件

　| +陶M約|+……+忆必齐| < 231

　方程的整数解的个数小于 1 。

　本题中，指数(,……)均为正整数。

　这个是

　的第二试中的《方程的解数》。

　分析：初看此题，题目要求出给定的方程解的个数，这个方程在最坏的情况 下可以有个未知数，而且次数由输入决定。这样就不能利用数学方法直接求出解

　的个数，而且注意到解的范围最多个数， 因此恐怕只能使用枚举法了。

　最简单的 思路是穷举所有未知数的取值，这样时间复杂度是

　（八），无法承受。因此我们

　需要寻找更好的方法， 自然想到能否缩小枚举的范围呢？但是发现这样也有很大 的困难。我们再次注意到 的范围，若想不超时，似乎算法的复杂度上限应该是（八） 左右，这是因为A < 。这就启示我们能否仅仅通过枚举个未知数的值来找到答 案呢？如果这样，前一半式子的值 可以确定，这时只要枚举后 个数的值，检 查他们的和是否等于 即可。这样只相当于在 （A） 前面加了一个系数，当然还 需要预先算出 到 的各个幂次的值。

　想到了这里， 问题就是如何迅速的找到某 个 是否曾经出现过，以及出现过了多少次，于是又变成了 " 某个元素是否在给 定集合中 " 这个问题。所以，我们还是使用哈希表解决这个问题。至于哈希函数 不是问题， 还是把 的值作为关键字使用除余法即可。

　然而有一点需要注意， 这 个例子我们不仅需要纪录某个 是否出现， 出现的次数也很重要， 所以可以用一 个维数组，仅仅是加了一个存储出现次数的域而已。

　[] ; {[] 记录哈希函数值为 的 值， [] 记录这个 值出现了几次 } 因此 过程也需要一些变化：

　（）;

　（）;

　[];

　（[]）; { 仅仅这一条语句，就可以记录下来 出现了几次 }

　最后一个例子

　下面我们来仔细分析下面这个问题：

　迷宫

　的墙 题意描述 :

　神话中山边有一个井之迷宫。迷宫的入口在山顶。迷宫中有许多房间，每 个的颜色是以下之一： 红、绿、蓝。两个相同颜色的房间看起来相似而不可区分。

　每个房间里有三口井标以。

　从一个房间到另一间只有一种方式： 从上面房间的井 里跳到（不一定竖直地）井底的房间。可以从入口房间到达任何其他房间。迷宫 中的所有通路走向坐落在最底部的龙宫。

　所有的迷宫之旅对应了一系列在相继访 问的房间里选择的井的标号。

　这一列数称为一个旅行计划。

　一个走过好几次迷宫 的英雄画好了图，然而有的房间重复出现了多次。

　输入：

　第一行有一个整数 <<,房间数（包括龙宫）。房间从1到标号，较大编号 的房间再较低处（入口房间编号1,龙宫编号）。接下的行描述迷宫的房间（除 了龙宫）和井。每行有一个字母，一个空格，和三个由空格分隔的整数。字母代 表了房间的颜色（红，绿，蓝），第 （） 个数是第个井通往的房间号。

　输出：

　迷宫最少的房间数目

　这是 中国国家集训队难题讨论活动的 题。

　分析： 题目的意思是给出这个迷宫的地图，去掉重复出现的房间，找出这 个迷宫的最少房间数目。

　于是关键就是确定什么样的房间是重复的。

　通过对样例 的分析，可以看出这样的房间是重复的：如果两个房间 和 （< < ），他们的 颜色相同，而且第 （） 堵墙通向的房间或者相同、或者重复。因为这样从 和 可到达的房间是完全相同的。

　所以，我们只需要记录下每个房间的情况和已经被确定相同的房间，然后 挨个比较即可。于是又需要用到高效的数据存储与查找， 自然想到哈希表。

　然而， 这里面需要对哈希表作更大的改进： 首先每个房间只能是种颜色之一， 因此针对 每种颜色分别建立哈希表， 可以使哈希函数的自变量减少一个； 其次还需要纪录 每个不重复的房间每堵墙都通向哪个房间，还有哪些房间是重复的。

　具体这样实现：

　[] ; { 代表共有种颜色， 是哈希函数的值域，而 中的 表示三堵墙连 接到那个房间， 表示这个单元存储的是哪个节点 }

　[] ; {[] 表示与 相同的节点。如果有多个节点都是相同的，择取其中最 大的（这一点不需要特殊的操作，只要在处理节点的时候注意就行了） }

　至于哈希函数，最开始我是随意的写了一个（因为越是随意的，就越是随 机的！），定位函数是这样的：

　（ ）;

　[]*[]*[]*; {

　用堵墙的值任意乘大素数相加再取余数，使得结果分

　布比较随机，也就比较均匀 }

　([,() ]<>)([,() ]<>[])

　线性重新散列 }

　线性重新散列 }

　但是后来发现完全没有必要这样做， 这样的哈希函数在计算 的时候浪费了 很多时间(不过数据规模不是很大，所以这点不十分明显)，而且素数起到的作 用也不应当是这样的。

　其实让 [][][] 组成 进制数就完全能够达到目的了， 加 入了素数不仅是小规模数据计算浪费时间， 对大数据最后结果的分布平均也没有 起到比 进制数更多的作用。因此改为

　[]*()[]*[];

　当然肯定会有更好的哈希函数的。

　小结

　第一个例子，乍一看与哈希表毫无关系；第二个例子叙述比较复杂，但是 经过仔细分析， 发现问题的本质都是确定 "某个元素是否在给定集合中 "，这正是 哈希表的特点。

　所以，不论题目的表面看起来如何， 只要本质是需要高效的数据 检索，哈希表通常就是最好的选择！

　另外，这两个例子都在原来哈希表的基础上作了一些变化。第一个例子加 入了纪录某个值出现次数的域， 第二个例子加入了纪录所有墙的情况以及原节点 编号的域。

　虽然都只是很小的变化， 但是却给问题的解决带来了不小的方便。

　因 此我们得到提示： 哈希表虽然有标准的操作， 但也不是一成不变的， 需要具体问 题具体分析，根据题目的要求和特点作出相应变化。