1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 （1）设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X=ST，那么SX等于 （ D ） （A）X （B）T （C） （D）S （2）设椭圆方程为，令，那么它的准线方程为 （ C ） （A） （B） （C） （D） （3）设a,b是满足ab<0的实数，那么 （ B ） （A）|a+b|>|a-b| （B）|a+b|<|a-b| （C）|a-b|<||a|-|b|| （D）|a-b|<|a|+|b| （4）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设 命题甲：点E，F，G，H不共面， 命题乙：直线EF和GH不相交 那么 （ A ） （A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 （B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 （C）甲是乙的充要条件 （D）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件 （5）在区间上为增函数的是 （ B ） （A） （B） （C） （D） （6）要得到函数的图象，只需将函数的图象（图略） （ D ） （A）向左平行移动 （B）向右平行移动 （C）向左平行移动 （D）向右平行移动 （7）极坐标方程所表示的曲线是 （ B ） （A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线 （8）函数的图象是 （ A ） （A） （B） Y （C） Y （D） Y 1 Y 1 O - O - O - O -1 二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果 （1）求函数的周期 [答] （2）已知方程表示双曲线，求λ的范围 [答]λ＞-1或λ＜-2.（注：写出一半给2分） （3）若（1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n. [答]8 （注：若给出8同时给出-5得2分） （4）求极限 [答]2 （5）在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短 [答] （6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数 [答]72 （7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高 [答] 三．（本题满分10分） 求的值 解：原式= （注：本题有多种解答） 四．（本题满分12分） P E C A D B 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h. 证：连结AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED， PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD ∵ED⊥PA， ∴S△ABC=PA·ED=Lh VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD 同理，VC-PAD=Lh·CD ∴三棱锥P-ABC的体积 V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h. 若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立 （此话不说，也不扣分） 五．（本题满分12分） 设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围 解：由题意得：
令则（3）式变为 化简为解得 （4） （2）式变为即 （5） 综合（4），（5）得 由此， （6）解（1），（6）得a取值范围：
六．（本题满分12分，共2个小题） 设复数满足关系式其中A为不等于0的复数证明：
（1）（2） 证：（1） （2） 七．（本题满分12分，共3个小题） 设数列的前n项的和Sn与的关系是 其中b是与n无关的常数，且b≠-1 （1）求的关系式; （2）写出用n和b表示的表达式; （3）当时，求极限. 注：(2)也可用数学归纳法证明 所以当 八．（本题满分10分） 定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解：设A（x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3， 那么x1=y12,x2=y22,（1） 32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1]（2） 线段AB的中点M（x,y）到y轴的距离为 下证x能达到最小值，根据题意不妨设y1>y2 ,由（3）得 九．（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计 入总分） （1）求极限 （2）设 解：