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高考数学,椭圆性质大全(92条,含证明)

2020-09-09 20:43:44

椭圆 1. 2.标准方程 3. 4.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1). 9.椭圆(a>b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10.若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是. 11.若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是. 12.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则. 13.若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是. 14.若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15.若PQ是椭圆(a>b>0)上对中心张直角的弦,则. 16.若椭圆(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 17.给定椭圆:(a>b>0), :,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18.设为椭圆(或圆)C: (a>0,. b>0)上一点,P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, PP2斜率存在,记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19.过椭圆 (a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数). 20.椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点三角形的面积为, . 21.若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则. 22.椭圆(a>b>0)的焦半径公式:,( , ,). 23.若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当 时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 24.P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立. 25.椭圆(a>b>0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是. 26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28.P是椭圆(a>b>0)上一点,则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是. 29.设A,B为椭圆上两点,其直线AB与椭圆相交于,则. 30.在椭圆中,定长为2m(o<m≤a)的弦中点轨迹方程为,其中,当时, . 31.设S为椭圆(a>b>0)的通径,定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动,记|AB|=,是AB中点,则当时,有,);当时,有,. 32.椭圆与直线有公共点的充要条件是. 33.椭圆与直线有公共点的充要条件是. 34.设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有. 35.经过椭圆(a>b>0)的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. 36.已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是. 37.MN是经过椭圆(a>b>0)焦点的任一弦,若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦,则. 38.MN是经过椭圆(a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O的半弦,则. 39.设椭圆(a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点,则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线:(或)上. 40.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF. 41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 42.设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线:的共轭直线上,而且. 43.设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则. 44.已知椭圆(a>b>0),点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点,的外(内)角平分线为,作F1、F2分别垂直于R、S,当P跑遍整个椭圆时,R、S形成的轨迹方程是(). 45.设△ABC内接于椭圆,且AB为的直径,为AB的共轭直径所在的直线,分别交直线AC、BC于E和F,又D为上一点,则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点. 46.过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 47.设A(x1 ,y1)是椭圆(a>b>0)上任一点,过A作一条斜率为的直线L,又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到椭圆两焦点的距离,则. 48.已知椭圆( a>b>0)和( ),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则│AB│=|CD│. 49.已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则. 50.设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) . 51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点,A为椭圆长轴的左顶点,连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN:于M,N两点,则. 52.L是经过椭圆( a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E、F是椭圆两个焦点,e是离心率,点,若,则是锐角且或(当且仅当时取等号). 53.L是椭圆( a>b>0)的准线,A、B是椭圆的长轴两顶点,点,e是离心率,,H是L与X轴的交点c是半焦距,则是锐角且或(当且仅当时取等号). 54.L是椭圆( a>b>0)的准线,E、F是两个焦点,H是L与x轴的交点,点,,离心率为e,半焦距为c,则为锐角且或(当且仅当时取等号). 55.已知椭圆( a>b>0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点,将A、B与椭圆左焦点F1连结起来,则(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号,当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号). 56.设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) . 57.设A、B是椭圆( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点,且、的横坐标,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则;
(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则. 58.设A、B是椭圆( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),外部的两点,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,(若B P交椭圆于两点,则P、Q不关于x轴对称),且,则点A、B的横坐标、满足;
(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,且,则点A、B的横坐标满足. 59.设是椭圆的长轴的两个端点,是与垂直的弦,则直线与的交点P的轨迹是双曲线. 60.过椭圆( a>b>0)的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则. 61.到椭圆( a>b>0)两焦点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆. 62.到椭圆( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆. 63.到椭圆( a>b>0)的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(e为离心率). 64.已知P是椭圆( a>b>0)上一个动点,是它长轴的两个端点,且,,则Q点的轨迹方程是. 65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项. 66.设椭圆( a>b>0)长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线,过分别作垂直于长轴的直线交于,则(1).(2)四边形面积的最小值是. 67.已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点. 68.OA、OB是椭圆( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O为坐标原点,则(1)直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是. 69.是椭圆(a>b>0)上一个定点,P A、P B是互相垂直的弦,则(1)直线AB必经过一个定点.(2)以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 (且). 70.如果一个椭圆短半轴长为b,焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2,那么(1),且F1、F 2在 同侧直线L和椭圆相切.(2),且F1、F2在L同侧直线 和椭圆相离,(3),或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交. 71.AB是椭圆(a>b>0)的长轴,是椭圆上的动点,过的切线与过A、B的切线交于、两点,则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是. 72.设点为椭圆( a>b>0)的内部一定点,AB是椭圆过定点的任一弦,当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, . 73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 89. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线,与轴于,与轴交于.,为原点,则:(1);
(2). 90. 过平面上的点作直线及的平行线,分别交轴于,交轴于.(1)若,则的轨迹方程是.(2)若,则的轨迹方程是. 91. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则:. 92. 点为第一象限内一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,已知,则的轨迹方程是. 椭圆性质92条证明 1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。

4. 如图,设,切线PT(即)的斜率为k,所在直线斜率为,所在直线斜率为。

4图 5图 由两直线夹角公式得:
同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。

5.如图,延长F1P至A,使PA=PF2,则是等腰三角形,AF2中点即为射影H2。则,同理可得,所以射影H1,H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P,Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为,以PQ中点到准线的距离为,以PQ为直径的圆的半径为r,则,故以PQ为直径的圆与对应准线相离。

7图 8图 7.如图,两圆圆心距为,故两圆内切。

8.如图,由切线长定理:, 而,与重合,故旁切圆与x轴切于右顶点,同理可证P在其他位置情况。

9. 10. 在椭圆上,对求导得:
切线方程为即 11.设,由10得:,因为点在直线上,且同时满足方程,所以 12.作差得:
13.由12可得:
14. .由12可得:
15.设,则 16.将直线AB代入椭圆方程中得:
, 设则,, 17.设椭圆内直角弦AB的方程为:即。

当斜率k存在时,代入椭圆C1方程中得:
设得, 则 即直线AB过定点,此点在C2上。当直线斜率不存在时,直线AB也过C2上的定点。

由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系,即证。

18.必要性:设P1P2:。k存在时,代入椭圆方程中得:
设得, k不存在时,P1P2:x=mx0则, 必要性得证。

充分性:设P1P2过定点,则P1P2:。代入椭圆方程得:
设得, 则 注意到m≠1,解(1)(3)得,代入(2)式,成立。

验证k不存在的情况,也得到此结论。故过定点,充分性得证。

19. 设AB:即 20.由余弦定理:
21.由34:
22.由第二定义得:
23. 24. 25.设椭圆上的点关于对称,。

由12得:
又在椭圆内,若,则 26.由5即可得证。

27.设P,则切线,A 27图 30图 28. 29.设。联立得:
,由韦达定理:
同理。则APBQ= 而的符号一定相反,故==0。所以AP=BQ 30.设,为AB中点。

则 而 设,则 解得,代入m2得:
令得:
所以定长为2m(0<m≤a)的弦中点轨迹方程为。

其中,当时, 。

31. 设,为AB中点。则:
二次函数y=e2x2-mx+a2与在内的交点即为x0的值。由图易知y=e2x2-mx+a2与的左交点为x0的值。当m增大时,x0减小。要使x0最大,则要使m最小。

,此时等号成立时 31图 35图 当此式成立时 当时:
当时:当时,。

当时,当,即AB垂直于x轴时x0最大。

考虑到对称性对任意情况均成立。

, 32. 33. 当时,即为32:
34.由正弦定理得,所以。

35. 设,则P点处的切线为, 由此可得:
36.(1)同15. (2)由15,36(3):
(3)设, 37.设,椭圆 37图 38图 则 将AB的方程代入椭圆的标准方程中得:,由参数t的几何意义可知:
38.作半弦OQ⊥OP,由37得:,由15:
39.设,将的方程代入椭圆得:
由韦达定理得:,直线A1P的方程为,直线A2Q的方程为,联立A1P和A2Q得交点N的横坐标,代入化简:
所以交点一定在直线上。同理可证M在y轴上的情况。

引理(张角定理):A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为α,对CB的张角为β。

则:
40图 41图 40.如图,A为左顶点时,设,则 。

对F-APM由张角定理:
即FM平分,同理FN平分。即MF⊥NF 当A为右顶点时,由39可知左顶点A’与P、M;
Q、N分别共线,于是回到上一种情况。

41.如图,设,则 对F-QA2M和F-A1PM由张角定理:
两式相减并化简得:
即FM平分,同理FN平分。即MF⊥NF 42.由12即可证得。

43.设,AB:,CD:,将AB的方程代入椭圆得:
由参数t的几何意义可知:,同理 44. 对于外角平分线的情况由5即可证得,下仅证为内角平分线的情况。

设P,则 则, 。分别联立、和、得:
, 则, 对点:
,代回式得:
同理对点得。故点、点的轨迹方程为 45.由伸缩变换将椭圆(左图)变为圆(右图),椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。

充分性:若D为EF中点 ∵C在圆上,AB⊥OE ∴FC⊥CE,OF⊥OB ∴CD=DE=DF ∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA ∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD ∴CD与圆相切。

必要性:若CD与圆相切,则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC ∵∠ECF=90° ∴∠DEC=90°-∠CFD=90°-∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即D为EF中点。

46.设,由椭圆极坐标方程:
, 47.由10可知为切线 由22: 48.同29。

49. 50.同20。

51.设,代入椭圆方程得:
由韦达定理得:
由A、P、M三点共线得,同理 52,53,54为同一类题(最佳观画位置问题),现给出公式:若有两定点A,B,点P在直线x=m上(m>k),则当时,∠APB最大,其正弦值为。

52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当PH=b时取等号。

53. k=a,m= ∴sinα≤e,当且仅当PH=时取等号。

54. k=c,m= ∴sinα≤e2,当且仅当PH=时取等号。

55.设∠AF2x=, ∴当=0°时,;
当=90°时, ∴ 56.(1)设,代入椭圆方程得:
∵AP=≠0 ∴AP= (2)设则 (3) 由(2):
57.由58可证。

58.(1)易知PQ的斜率为0和斜率不存在时,对任意x轴上的点A都成立。设,A(m,0) 代入椭圆方程得:,则 若,则 (2)作P关于x轴的对称点,由(1)即证。

59.同9。

60.设椭圆,。

则 当时,有最小值;
当或时,有最大值 61,62,63为同一类问题,现给出公式:若点P到两定点A,B的距离之比,则P点的轨迹为一个圆,圆心坐标为,圆的半径为。

下三个题的比值均为,代入上述公式得:圆心坐标为,圆的半径为。

61.m=c,圆心坐标为,圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。

62.m=a,圆心坐标为,圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。

63.m=,圆心坐标为,圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。

64.设,由得 消去参数得Q点的轨迹方程:
65.同37。

66.(1)同35(2)由基本不等式,则梯形面积的最小值为。

67.设AC交x轴于M,AD⊥于D。由椭圆第二定义:
∴AC过EF的中点。

68.(1)由17可知当椭圆方程为时,AB过定点。当椭圆方程变为 时,椭圆向右平移了个单位,定点也应向右平移了个单位,故此时AB过定点即 (2)由69(2)P为原点,即m=n=0时Q点的轨迹方程是。

69.(1)由17可知当椭圆方程为时,AB过定点。当椭圆方程变为 时,椭圆向右平移了个单位,定点也应向右平移了个单位,故此时AB过定点即。

(2)先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为:,,AB的斜率为。

由17(1):AB过定点,设AB:,PQ:
两者联立得, 则 当椭圆方程变为时,椭圆向右平移了个单位,圆心也应向右平移了个单位,而半径不变。故此时圆心的坐标为即,半径的平方仍为。

∴Q点的轨迹方程为。

70.设L:Ax+By+C=0,则 将L代入椭圆方程得:, 直线 和椭圆相离,且F1、F2在L同侧。

直线L和椭圆相切,且F1、F 2在 同侧。

直线L和椭圆相交,或F1、F2在L异侧。

71.由35:
由得,消去参数得M点的轨迹方程为:
72.由43:。当即AB与椭圆长轴平行时, ;
当即AB与椭圆短轴平行时, 73.同7。

74.同8。

75.由8可知,处的切线长,同理可证P在其他位置情况。

76. 如图,由切线长定理PS=PT,PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T= PF1+PF2-F1Q-F2Q= 2a-2c,所以PS=PT=a-c 76图 77图 77. 设P,由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式:, 78. 79. 设P,则外角平分线(即切线),由此得外点 同理内角平分线(即法线),由此得内点 80.由79中得到的内外点坐标可得:,即证。

81.由79中得到的内外点坐标可得:,即证。

82.同5。

83.同5。

84.由5,7即证。

85. 设P,则外角平分线(即切线), 由50得:,则 86.由4即证。

87.同4。

88.由71:, 同理:
,即两焦点在以两交点为直径的圆上。

89. 设P,则 同理 ∴ 同理 同理 90.设P,则 同理:
均推出P点的轨迹方程为。

91. 92. 设P,则 由此得P点的轨迹方程为。

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