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四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题
2020-12-28 20:15:23 ℃广汉中学高2018级第一次诊断性测试 一、选择题:
1.复数的值为 A. B. C. D. 2.命题“,”的否定是 A., B., C., D., 3.已知集合,,则 A. B. C. D. 4.某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位:分),得到如图所示的成绩茎叶图,关于这9期的成绩,则下列说法正确的是 A.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数 B.乙成绩的极差为40 C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的中位数为32 5.符号表示大于或等于的最小整数,在下图中输入的依次为和,则输出的是 A. B. C. D. 6.如图,是等边三角形,是等腰直角三角形,,线段交于点,设,,用,表示OD为 A. B. C. D. 7.若展开式中所有项的系数和为1,则其展开式中的系数为 A. B. C. D. 8.函数部分图象大致形状为 A B C D 9.已知, 则 A. B. C. D. 10.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半。”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;
小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍,则的值为(结果精确到0.1,参考数据:,) A.2.2 B.2.4 C. 2.6 D.2.8 11.已知定义在上的奇函数满足,,若且时,都有,则下列结论正确的是 A.图象关于直线对称 B.图象关于点中心对称 C.在上为减函数 D.在上为增函数 12.已知实数,,,(e为自然对数的底数)则,,的大小关系为 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为 . 14.已知向量,,向量与向量的夹角为,则 . 15.已知中,内角的对边分别为,且,则 . 16.已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点,则实数的取值范围是 . 三、解答题:
(一)必考题:共60分. 17.(12分) 已知函数. (1)求函数的最小正周期 ;
(2)将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位得到函数图象,求函数的单调增区间. 18.(12分) 已知函数在处取得极值. (1)求实数的值;
(2)若函数在内有零点,求实数的取值范围. 19.(12分) 第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始,这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查,可以为编制“十四五”规划,为推动高质量发展,完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持,本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名,按人口普查要求,所有住校生按照集体户进行申报,所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报,已知该班住校生与非住校生人数的比为,住校生中男生占,现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. (1)应从住校的男生、女生中各抽取多少人? (2)若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率;
②用表示抽取的3人中女生户主的人数,求随机变量的分布列与数学期望. 20.(12分) 已知递增数列满足,,且是方程的两根,数列的前项和为,且. (1)求数列,的通项公式;
(2)记,求数列的前项和. 21.(12分) 已知函数为常数,. (1)若恒成立,求实数的取值范围;
(2)判断方程是否存在实数解;
如果存在,求出解的个数;
如果不存在,请说明理由. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)若直线与曲线相交于点,求圆心在极轴上,且经过极点和点的圆的直角坐标方程. 23.(10分)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数. (1)求不等式的解集;
(2)若的最小值为,且实数,满足,求证:. 宜宾市高2018级高三第一次诊断测试 理科数学参考答案 一. 选择题 1-5:BCADC 6-10: ADCBC 11-12: BA 二. 填空题 13: 4 14: 0 15: 16: 三. 解答题 17【解析】(1), 所以 函数f(x)的最小正周期. ........5分 (2) 将函数f(x)图象上所有点的横坐标都缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到再向左移动个单位得, .函数的单调增区间是 . ...............12分 18【解析】(1),在处取得极值. ,所以. 经验证时,在处取得极值. ..........5分 (2)由(1)知,所以极值点为1,-1.将在内的取值列表如下:
0 (0,1) 1 (1,2) 2 / - 0 + / 极小值 由此可得,在内有零点,只需,所以. .......12分 19【解析】(1)由已知,住校生人数为42人,住校生中男生占,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此男生、女生就分别抽取4人,3人. ...3分 (2)①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生,又有女生”,设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人,女生有2人”;
事件C为“抽取的3名户主中男生有2人,女生有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥, =, =,故, 所以,事件A发生的概率为. ......................7分 ②随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3, .随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 随机变量X的数学期望 . .................12分 20【解析】(1)因为方程两根为或7, 又、是方程的两根,数列是递增的等差数列, ,,设公差为,则,解得,. . .............................3分 对于数列,, 当时,,解得;
当时,, 整理得,即,所以数列是等比数列,. ........7分 (2), 数列的前项和...... ...... 两式相减可得......, . .....................12分 21【解析】 (1)法一:因为所以, ......1分 设,则, ...........2分 当时,递减,当时,递增, ......4分 ,. .............5分 法二:当时,,不合题意, 当时,令则 单调递增,单调递减, ;
(2)由(1)可知,当时,,即,当且仅当时等号成立, 由题意可知即判断方程是否存在实数解, ....................7分 设, (当且仅当时等号成立),又,当且仅当时等号成立,所以对任意,恒成立.所以函数无零点,即方程不存在实数解 . .......12分 22 【解析】(1)曲线C的参数方程为(m为参数),两式平方相减得曲线C的普通方程为:.直线l的极坐标方程为,则 转换为直角坐标方程为. .................5分 (2)由得,所以点P的直角坐标为设圆心为,则,解得:所以,圆的直角坐标方程为:. ....10分 23【解析】 (1)①当时,不等式即为,解得 ②当时,不等式即为, ③当时,不等式即为, 综上,不等式的解集为. ........................5分 (2)由绝对值不等式的性质可得:
当时,取最小值4,即,即 当且仅当时等号成立. ....................10分
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