27.1.3　圆周角 　 知识点 1　圆周角的概念 1．下列图形中的角是圆周角的是(　　) 图27－1－43 2．如图27－1－44，在图中标出的4个角中，圆周角有________个． 图27－1－44 知识点 2　圆周角定理 3．2018·聊城如图27－1－45，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连结AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(　　) 图27－1－45 A．25° B．27.5° C．30° D．35° 4．2016·绍兴如图27－1－46，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(　　) 图27－1－46 A．60° B．45° C．35° D．30° 5．如图27－1－47，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数为(　　) 图27－1－47 A．25° B．45° C．55° D．65° 6．2017·衡阳如图27－1－48，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是(　　) 图27－1－48 A．26° B．30° C．32° D．64° 7．如图27－1－49，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为(　　) 图27－1－49 A．140° B．70° C．60° D．40° 8．2018·咸宁如图27－1－50，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　) 　　 图27－1－50 A．6 B．8 C．5 D．5 9．如图27－1－51，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连结CD，AD.求证：DB平分∠ADC. 图27－1－51 10．如图27－1－52，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 图27－1－52 知识点 3　圆周角定理的推论 11．2018·邵阳如图27－1－53所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(　　) 图27－1－53 A．80° B．120° C．100° D．90° 12．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(　　) 图27－1－54 　 13．如图27－1－55，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD等于(　　) 图27－1－55 A. B. C. D. 14.如图27－1－56，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是劣弧上一点，则∠ACB等于(　　) 　　 图27－1－56 A．80° B．90° C．100° D．无法确定 15．2016·杭州如图27－1－57，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连结BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(　　) 图27－1－57 A．DE＝EB　　 B.DE＝EB C.DE＝DO D．DE＝OB 16．如图27－1－58，已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(　　) 　　 图27－1－58 A．3 B．2 C．1 D．1.2 17．如图27－1－59，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°. 图27－1－59 18．如图27－1－60，海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝80°.为了避免触礁，轮船P与A，B两点的张角∠APB的最大值为________． 图27－1－60 19．如图27－1－61，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________. 图27－1－61 20．如图27－1－62，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形. (1)求证：△DFB是等腰三角形；

(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB. 图27－1－62 21．如图27－1－63，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t s(0≤t＜6)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________． 图27－1－63 详解详析 1．B　[解析] 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角．满足条件的是选项B. 2．2 3．D　[解析] ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.故选D. 4．D 5．C　[解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°. ∵∠A＝35°，∴∠B＝55°.故选C. 6．C　[解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知∠ACB＝∠AOB＝32°.故选C. 7．B　[解析] ∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°， ∴∠DOE＝180°－40°＝140°， ∴∠P＝∠DOE＝70°. 8．B　[解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连结BE， 则∠AOB＋∠BOE＝180°. 又∵∠AOB＋∠COD＝180°， ∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6. ∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8. 故选B. 9．证明：∵AB＝BC，∴＝， ∴∠BDC＝∠ADB， ∴DB平分∠ADC. 10．[解析] 连结OC，先判定△AOC是等边三角形，进而得到AC＝AO＝AD＝3 cm. 解：如图，连接OC， ∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B， ∴∠AOC＝∠DAC， ∴OC＝AC. 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝AO＝AD＝3 cm. 11．B　[解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°－∠BCD＝60°. 由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝120°. 故选B. 12．B 13．C　[解析] 连结CD，如图所示， ∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°， ∴CD＝＝5. ∵∠OBD＝∠OCD， ∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故选C. 14．B　[解析] ∵∠AOB与∠ACB是所对的圆周角，∴∠AOB＝∠ACB.∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故选B. 15．D　[解析] 如图，连结EO. ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB. ∵∠OEB＝∠D＋∠DOE， ∠AOB＝3∠D， ∴∠B＋∠D＝∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D， ∴∠DOE＝∠D， ∴DE＝OE＝OB.故选D. 16．C 17．62　[解析] ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠BCD＝28°，∴∠ACD＝62°. 由圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝62°. 18．40°　[解析] 如图，当点P在⊙O上的点P′时，∠AP′B的度数最大，∠AP′B＝∠AOB＝40°. 19．5.5　[解析] ∵AB和DE是⊙O的直径， ∴OA＝OB＝OD＝4，∠C＝90°. 又∵DE⊥AC，∴AP＝CP， ∴OP是△ABC的中位线， ∴OP＝1.5，∴DP＝OD＋OP＝5.5. 20．证明：(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°. ∵∠EFA＝∠B＋∠FDB， ∴∠FDB＝30°＝∠B， ∴△DFB是等腰三角形． (2)如图，过点A作AM⊥DF于点M， 设AF＝2a. ∵△AEF是等边三角形， ∴FM＝EM＝a，AM＝a. 在Rt△DAM中， DA＝AF＝2　a， AM＝a，∴DM＝5a， ∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a. 在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴AC＝4a. ∵AE＝EF＝AF＝2a， ∴CE＝AC－AE＝2a＝EF， ∴∠ECF＝∠EFC. ∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°， ∴∠EFC＝30°， ∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°， 即CF⊥AB. 21．2，，　[解析] ∵0≤t＜6，动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动， ∴当t＝6时，点E运动的路程是2×6＝12(cm)， 即点E运动的路程小于12 cm，设点E运动的路程是s cm，则0≤s＜12. ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°. ∵F为BC的中点，BC＝4 cm， ∴BF＝CF＝2 cm. ∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8 cm. 分为以下三种情况：
(1)当∠EFB＝90°时，如图①. ∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF. ∵FC＝BF，∴AE＝BE，即点E和点O重合，AE＝4 cm，∴t＝4÷2＝2；

　　　 (2)当∠FEB＝90°时，如图②. ∵∠ABC＝60°，∴∠BFE＝30°， ∴BE＝BF＝1 cm，∴AE＝8－1＝7(cm)， ∴t＝7÷2＝；

(3)当点E到达点B后再返回到点O的过程中，∠FEB＝90°，如图③. 此时点E运动的路程是8＋1＝9(cm)， ∴t＝9÷2＝. 综上所述，当△BEF是直角三角形时，t的值为2，，.