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2019-2020学年北大附中分校高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-08-19 10:10:37 ℃2019-2020学年北大附中分校高一上学期期中数学试题 一、单选题 1.( ) A.2 B.4 C. D. 【答案】C 【解析】根据分数指数幂运算. 【详解】 . 故选:C 【点睛】 本题考查分数指数幂的运算法则,属于简单题型. 2.已知:集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】首先求集合,然后求. 【详解】 即 , . 故选:A 【点睛】 本题考查集合的运算,重点是解集合,属于简单题型. 3.已知:且( ) A.1 B.2 C. D.-1 【答案】A 【解析】首先求,再求. 【详解】 ,. 故选:A 【点睛】 本题考查分段函数求值,属于简单题型. 4.已知函数,其值域是,则其定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数是一对一函数,所以根据值域解定义域,只需解不等式或. 【详解】 因为函数是一对一函数,所以可以根据值域解定义域, 由 ,解得, , , 定义域是:. 故选:D 【点睛】 本题考查根据值域求定义域,意在考查函数性质和解不等式,属于基础题型. 5.下列函数:(1),(2),(3),(4),(5)五个函数中,是奇函数且值域不是一切实数R的函数是( ) A.(1),(3),(5) B.(1),(4) C.(4) D.(1),(3) 【答案】C 【解析】逐一分析选项,根据函数性质得到选项. 【详解】 (1)是奇函数,值域是,不满足条件;
(2),满足,是偶函数,并且函数的值域是,不满足条件;
(3),是奇函数,并且值域是,不满足条件;
(4)是奇函数,并且值域是,满足条件. (5)定义域是,不关于原点对称,是非奇非偶函数,不满足条件;
故选:C 【点睛】 本题考查函数性质,意在考查函数的基础知识的理解,属于简单题型. 6.下列函数在上单调递增的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】逐一分析选项,判断函数性质,得到答案. 【详解】 A.时,在单调递减,在上单调递增,故不正确;
B.在单调递增,故正确;
C.,在单调递减,故不正确;
D.在单调递减,故不正确. 故选:B 【点睛】 本题考查函数的单调性,属于基础题型. 7.已知下列函数:(1),(2),(3),(4)中,是奇函数的是( ) A.(1),(2)(3),(4) B.(2),(4) C.(2),(3),(4) D.(3),(4) 【答案】C 【解析】逐一分析函数,判断函数是否是奇函数,得到选项. 【详解】 (1) ,定义域是,不关于原点对称,故不是奇函数;
(2) 的定义域是,关于原点对称, 并且,故函数是奇函数;
(3)的定义域是, 并且,故函数是奇函数;
(4) 的定义域是,关于原点对称,并且函数满足 ,故函数是奇函数. 故选:C 【点睛】 本题考查判断函数的奇偶性,属于基础题型,判断函数的奇偶性,首先判断函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,那函数就是非奇非偶函数,若函数关于原点对称,再根据定义域判断与的关系,若或则函数是奇函数,若满足或则函数是偶函数. 8.已知,则函数的最小值是( ) A.1 B.2 C.4 D. 【答案】B 【解析】根据基本不等式 求最小值. 【详解】 , 当且仅当时,等号成立, 即时,函数的最小值是2. 故选:B 【点睛】 本题考查利用基本不等式求函数的最小值,属于简单题型. 9.比较下列几个数的大小:,,,则有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】首先让和0或1比较大小,然后再判断的大小. 【详解】 , , . 故选:D 【点睛】 本题考查指对数比较大小,意在考查转化与计算,属于简单题型. 10.空气质量指数(简称:)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,空气质量按照大小分为六级:为优,为良,为轻度污染,为中度污染,为重度污染,为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数,根据图表,下列结论错误的是( ) A.在北京这天的空气质量中,按平均数来考察,最后天的空气质量优于最前面天的空气质量 B.在北京这天的空气质量中,有天达到污染程度 C.在北京这天的空气质量中,12月29日空气质量最好 D.在北京这天的空气质量中,达到空气质量优的天数有天 【答案】C 【解析】分析:通过题目所提供的图表得出22个数据,研究在各区间上的数据个数,对选项逐一验证得到答案. 详解:因为, 所以在北京这天的空气质量中,按平均数来考察, 最后天的空气质量优于最前面天的空气质量, 即选项A正确;
不低于100的数据有3个:, 所以在北京这天的空气质量中,有天达到污染程度, 即选项B正确;
因为12月29日的为225,为重度污染, 该天的空气质量最差,即选项C错误;
在的数据有6个:, 即达到空气质量优的天数有天, 即选项D正确.故选C. 点睛:本题考查频率分布表的识别和应用,属于基础题,本题的技巧是判定选项A时,仅从各数据的大小关系上进行判定,避免了不必要的运算. 11.函数的图像大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】求导,求出函数的单调性,利用单调性来辨别函数的图象,以及函数值符号来辨别函数的图象。
【详解】 ,. 解不等式,即,得;
解不等式,即,得或. 所以,函数的单调递增区间为和, 单调递减区间为。
令,即,得或;
令,即,得. 所以,符合条件的函数为B选项中的图象,故选:B. 【点睛】 本题考查利用函数解析式辨别函数的图象,一般从以下几个要素来进行分析:①定义域;
②奇偶性;
③单调性;
④零点;
⑤函数值符号。在考查函数的单调性时,可充分利用导数来处理,考查分析问题的能力,属于中等题。
12.已知函数,则函数的零点(即的解)个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】,即的零点个数转化为函数和的图象的交点个数. 【详解】 , 画出函数和的图象 由图象可知,两个函数有两个交点, 函数的零点个数有2个. 故选:C 【点睛】 本题考查函数零点个数的判断,转化为求两个函数的交点是常用思考方法,属于基础题型. 二、填空题 13.已知幂函数过点,则此函数的单调递减区间是________. 【答案】 【解析】代入点,求,再得函数的单调递减区间. 【详解】 , 函数的单调递减区间是. 故答案是:
【点睛】 本题考查幂函数解析式的求法和函数性质,属于简单题型. 14.若命题,使得,则________. 【答案】使得 【解析】根据特称命题的否命题的形式书写. 【详解】 命题,使得的否定是 使得. 故答案为:使得 【点睛】 本题考查特称命题的否定,属于基础知识的考查,属于简单题型. 15.已知定义在上的偶函数,当时,,则________. 【答案】6 【解析】利用函数是偶函数,,代入求值. 【详解】 是偶函数, . 故答案为:6 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求值,意在考查转化与变形,属于简单题型. 16.已知是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】若满足条件,需满足分段函数每段都是递增函数,并且在分界点处满足,列不等式组求的取值范围. 【详解】 是上的单调递增函数,需满足 , 解得:. 故答案为:
【点睛】 本题考查根据分段函数单调性求参数,属于基础题型,容易忽略的是分界点处的两个函数值比较大小的不等式,这点需切记. 三、解答题 17.计算:
(1) (2) 【答案】(1);
(2)4;
【解析】(1)根据根式和分数指数幂的运算法则求解;
(2)利用对数运算法则变形求解. 【详解】 解:(1)原式 (2)原式 【点睛】 本题考查根式,分数指数幂和对数的运算,意在考查转化与变形化简,属于基础题型. 18.已知集合:,,. (1)用列举法表示A和B,并求;
(2)若,求实数a的取值范围. 【答案】(1),,;
(2);
【解析】(1)首先解方程和,求解集合和,然后求;
(2)根据(1)的结果,,若满足条件,需满足,即 求的范围. 【详解】 (1) ∴或, 又由于 解得 ∴ 由 或 ∴ (2), ,且 ∴ 解得:或 【点睛】 本题考查解一元二次方程,以及理解集合语言,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题型. 19.已知函数 (1)在坐标系内画出函数的大致图象;
(2)若方程有两个根,求实数m的取值集合. (3)若方程有三个根,求实数m的取值集合. 【答案】(1)图见解析;
(2);
(3);
【解析】(1)首先去绝对值,写成,然后画函数的图象;
(2)根据(1)的图象,可知若方程有两个根,即与函数图象有两个交点,求的取值范围;
(3)转化为与函数图象有3个交点,求的取值范围. 【详解】 解:(1)由,图像如下:
(2)因为与x无关,故其图像是平行于x轴的直线,有两个实根,即与有两个交点,所以或,所以. (3)观察图像,当时,与有三个交点,这时有三个根.∴. 【点睛】 本题考查函数图象的应用,根据函数零点个数求参数,可以参变分离后转化为的零点个数,转化为和图象的交点个数求参数. 20.亚洲某大国GDP的年平均增长率为6.5%,按此增长率发展,大约多少年后该国GDP会翻两番(即为原来的4倍)?(,.结果精确到整数) 【答案】22年后 【解析】设大约x年后该国的GDP会翻两番,即,两边取以10为底的对数,求. 【详解】 解:设大约x年后该国的GDP会翻两番,依题意有:
即, 两边取10为底的对数:
∴(保留整数位) 答:大约22年后该国GDP会翻两番. 【点睛】 本题考查指数型函数的应用,意在考查概括,抽象,计算应用的能力,属于基础题型. 21.如图,是边长为2的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为,试求函数的解析式,并画出函数的图象. 【答案】,图象见解析. 【解析】分三种情况讨论,在求的解析式时,关键是要根据图象,对的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象. 【详解】 当时, 如图,设直线与分别交于C、D两点,则, 又 (2)当时, 如图,设直线与分别交于M、N两点,则, 又 (3)当时, 综上所述,图象如图, 【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象,意在考查综合运用所学知识解答问题的能力,属于中档题. 22.已知定义域是R上的奇函数. (1)求a;
(2)判断在R上的单调性,并用定义法证明;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(4)设关于x方程有零点,求实数b的取值范围. 【答案】(1);
(2)在R上单调递增,证明见解析;
(3);
(4);
【解析】(1)根据奇函数的性质,,求;
(2)根据(1)的结论,,变形为,利用单调性的的定义域证明;
(3)函数是奇函数,不等式变形为,根据(2)可知,函数单调递增,所以恒成立,利用参变分离得恒成立,求的取值范围;
(4)因为函数是奇函数,所以,所以,即:有零点,设,,转化为求函数的值域. 【详解】 (1)因为是R上的奇函数,所以,即:,∴,经检验,满足,所以. (2) ∴在R上单调递增,以下证明:
对,且 由的单调递增性知 又,, ∴ ∴在R上单调递增. (3)由题意,对, 又 ∴ 又由(2)知:在R上单调递增 ∴ 令,易知其最小值是-4. ∴,即 (4)由题意知:有零点 即:
在R上单调 ∴ 即:有零点 令:
有零点 即:函数与函数有交点 易知:有最小值 ∴时,有零点. 【点睛】 本题考查指数型函数性质的判断,抽象不等式恒成立以及根据零点求参数取值范围,不管是恒成立求参数,或者根据零点求参数,都可以采用参变分离的方法,转化为求函数最值,或者求值域的问题.
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