准考证号 姓名 （在此卷上答题无效） 绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 第Ⅰ卷 考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 Pn(k)＝CP (1一P) 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为 A．0 B．2 C．3 D．6 3．若函数的值域是，则函数的值域是 A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，] 4．＝ A． B．0 C．－ D．不存在 5．在数列中，，则＝ A． B． C． D． 6．函数在区间(，)内的图象大致是 A B C D 7．已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1) 8．(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为 A．1 B．46 C．4245 D．4246 9．若，且，则下列代数式中值最大的是 A． B． C． D． 10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l 其中真命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A． B． C． D． 12．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0) 绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 第Ⅱ卷 注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．直角坐标平面内三点，若为线段的三等分点，则·＝ ． 14．不等式≤的解集为 ． 15．过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好过点 (图2)．有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点 D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ． 三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长， a＝2，tan＋tan＝4，sin B sin C＝cos2．求A、B及b、c． 18．（本小题满分12分） 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；
第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；
第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；

（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? （3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 19．（本小题满分12分） 等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列． （1）求与；

（2）证明：＋＋……＋＜． 20．（本小题满分12分） 正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2．分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知． （1）证明：平面；

（2）求二面角的大小． 21．（本小题满分12分） 设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0)． （1）过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程；

（2）求证：三点共线． 22．（本小题满分14分） 已知函数＝＋＋，x∈(0，＋∞)． （1）当时，求的单调区间；

（2）对任意正数，证明：． 2008年高考江西卷（理科数学）试题 参 考 答 案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B A A D C D A C C B 二、填空题 13. 22 14. （－∞，－3 ] ∪ (0，1 ] 15. 16. BD 三、解答题：
17.解：A、B、C为△ABC三内角，∴ ∴，即。

又，∴， 整理得，∴ 由可得，∴ ∵sinB≤1，∴cosA≤0，而A 为△ABC内角，则A必为钝角。

∴C应为锐角，∴ 。

则，代入，得 ，将左边展开并整理得：
，又A为钝角，∴ ，故 A B C 30° C C 17题 ∴△ABC为等腰△，，作图如右：
易解得b = c = 2 综上，，，b = c = 2 18.解：
（1）ξ1的分布列为 ξ1 0.8 0.9 1 1.125 1.25 P1 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2的分布列为 ξ2 0.8 0.96 1 1.2 1.44 P2 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （2）由（1）可得P1＞1的概率P（P1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3， P2＞1的概率P（P2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32， 可见，P（P2＞1）＞P（P1＞1） ∴实施方案2，两年后产量超过灾前概率更大。

（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2，根据题意 利润1 = （0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 + （0.15 + 0.15）×20 = 14.75（万元） 利润2 = （0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20 = 14.1（万元） ∴利润1＞利润2， ∴实施方案1平均利润更大。

19.解：设{}公差为d，由题意易知d≥0，且d∈N*， 则{}通项=3 +（n－1）d，前n项和。

再设{}公比为q，则{}通项 由可得 ① 又{}为公比为64的等比数列， ∴，∴ ② 联立①、②及d≥0，且d∈N*可解得q = 8，d = 2 ∴{}通项= 2n + 1 ，n∈N* {}通项，n∈N* （2）由（1）知，n∈N* ∴，n∈N* ∴ 20．解：
（1）证明：
I G 20题 ∵O-ABC为正三棱锥，∴△ABC为等边△ ∵E、F为AB、AC中点，∴EF∥BC ∵H为EF中点，∴H为△ABC中心，AH⊥EF 则由正三棱锥性质易知OH⊥平面ABC ∴OH⊥EF ∵BC∥EF，BC平面，EF平面 ∴BC∥平面 又平面平面=，BC平面，∴BC∥，∴∥EF，∴⊥OH，⊥AH， 又OH∩AH = H， 平面 ∴平面 （2）∵E为AB中点，OA⊥OB，OA = OB = 2，则过点B在平面OAB内作BG∥OA，交于G点，则易证BG∥AA1，且BG= AA1，∴BG=，∴ ∴。由 OB=OC，BC∥可知， 则Rt△A1OB1中，易得 在Rt△A1OB1中过O作OI⊥，交于I点，则在Rt△A1OB1中由面积法易解得。

∵OA、OB、OC两两垂直，∴OC1⊥平面OA1B1，连接I C1 ∵OI⊥，∴⊥I C1，∴∠OI C1即为二面角O－－ C1的一个平面角 在Rt△IOC1中，，∴∠OI C1， 即二面角O－－ C1为 21.解：（1）设，，∵AN⊥直线，则 ∴，∴， 设，则 ，解得 ，代入双曲线方程，并整理得， 即G点所在曲线方程为 （2）设，，PA斜率为k，则切线PA的方程为：
由，消去y并整理得：
，因为直线与双曲线相切，从而 △= = 0，及，解得 因此PA的方程为：
同理PB的方程为：
又在PA、PB上， ∴ 即点，都在直线上， 又也在上， ∴A、M、B三点共线。

22解：（1）时， ∴ 令，结合，解得 故在（0，1）单调递增，同理在单调递减。

∴时，单调递增区间为（0，1），单调递减区间为。

（2）对任意给定的，，因 ，若令，则 ① ② （一）先证：因为，， 又由≥，∴≥6 所以 （2）.再证：由①、②中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0<b≤2， （Ⅰ）.当a+b≥7，则a≥5，∴x≥a≥5 ， ∴ （Ⅱ）若a+b<7，由①得，∴ ③ 因为 ∴ ④ 同理得 ⑤，于是 ⑥ 今证明 ⑦ 因为，则只要 只要，即证，即a+b<7，而这显然成立。

综上，对任意正数，．