切比雪夫不等式及其应用论文 目 录 第一章 绪论 1 第二章 切比雪夫不等式的基本理论 3 2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式 3 2.2 切比雪夫不等式的概率形式 4 第三章 切比雪夫不等式在概率论中的应用 7 3.1 估计概率 7 3.1.1 随机变量取值的离散程度 7 3.1.2 随机变量取值偏离超过的概率 7 3.1.3 估计事件的概率 7 3.1.4 估计随机变量落入有限区间的概率 8 3.2 求解或证明一些有关概率不等式 9 3.2.1 求解相关不等式 9 3.2.2 证明相关不等式 10 3.3 证明大数定律 11 3.3.1 切比雪夫大数定律 11 3.3.2 伯努利大数定律 12 第四章 切比雪夫不等式在其他领域的应用 14 4.1 生活中的小概率事件 14 4.2 切比雪夫不等式在经济评价风险中的应用 15 4.2.1 的多元线性函数 15 4.2.2 的概率分析 16 4.2.3 应用 17 4.3 前向神经网络容错性分析的切比雪夫不等式法 20 4.3.1 前向神经网络的随机故障模型 20 4.3.2 连接故障对单个神经元容错性能的影响 21 参考文献 24 致谢 25 第一章 绪论 概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。

历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。

切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。该论文给出如下三个定理[1]：
定理1.1：若以表示的数学期望，用表示相应的平方的数学期望，则对任何， 落在 和 之间的的概率总小于 定理1.2：若以表示的数学期望，用表示相应的平方 的数学期望，则不论取何值，个量的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过 的概率对任何都将大于。

定理1.3：如果量 和它们的平方的数学期望不超过一给定的值，则个量的算术平均值和其数学期望的算术平均值之差不小于某一给定的概率，且当趋于无穷时，其值趋于1。. 这就是切比雪夫大数定律，用今天的符号可表示为：
定理：设是两两不相关的随机变量序列，且其方差一致有界，则对任意的，皆有 这里。若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等，则为伯努利大数定律。又因相互独立的随机变量列必定两两无关，故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。

要证明定理，我们需要用到切比雪夫不等式。其实在上面三个定理中已经给出了切比雪夫不等式，定理1.2我们用今天的数学语言来描述就是：
定理：设是两两不相关的独立随机变量序列，且其方差存在， 若，则对任意的，皆有 。

不难发现这就是切比雪夫不等式，以此我们也可以得出定理1.4的证明，关于其证明我们在下文会提到。作为概率论极限理论中介绍的极少数重要不等式之一，它的应用是非常多的，它可以解决和说明很多关于分布的信息，尤其在估计某些事件的概率的上下界时我们常会用到切比雪夫不等式。

另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具，切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的地位是很高的。事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式。在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式的应用方面进行探究。

第二章 切比雪夫不等式的基本理论 2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式 定理2.1[2]：（有限形式）设，为任意两组实数，若 且或且，则 （2.1） 若且或且，则 （2.2） 当且仅当或时，（2.1）和（2.2）中的不等式等号成立。

证明：设为两个有相同次序的序列，由排序不等式有 ………… 把上述n个式子相加，得 上式两边同除以，得 等号当且仅当或时成立。

定理2.2[3]：（积分形式）设和在区间上单调递增或递减且分段连续，则 （2.3） 若和中一个单调递增，另一个单调递减，则 （2.4） 证明：令，，，下面我们只证（2.3）且只考虑单调递增，即证 由和在区间上单调递增，我们可以得到对有 对上式两边关于进行积分，得 即 于是，。

2.2 切比雪夫不等式的概率形式 定理2.3[4]：（概率形式）设随机变量的数学期望与方差存在 ，则对于任意正数，有不等式 （2.5） 或 （2.6） 都成立，且存在使得等号成立的充要条件为 ，，其中。

这就是常用的切比雪夫不等式。

证明：①设为离散型随机变量，其分布列：则 ②设为连续型随机变量，其密度函数为，则有 由于与是对立事件，故有 。

下证定理的后半部分：
充分性：如果随机变量满足，，其中，则 因此可以得 。

必要性：设随机变量的分布函数为，由题设知而 假设，则 于是有 这与题设矛盾，故。

由前面证明可以知道 假设，则 于是 这与题设矛盾，故 于是我们得到 所以，，。

切比雪夫不等式的有限形式主要用于代数不等式的解题，在代数不等式证明方面有很重要的应用；
而它的积分形式是微积分中几个重要不等式之一，可以灵活简便的解决一些较难积分不等式的题型。不足的是这两种形式我们从上面可以看出在应用中会有很多的条件限制，相反的它的概率形式却要简单的多，应用也更广泛，所以我们接下来要探讨的就是其概率形式的应用。

第三章 切比雪夫不等式在概率论中的应用 3.1 估计概率 3.1.1 随机变量取值的离散程度 切比雪夫不等式估计出随机变量在区间内取值的概率不小于（其中为方差，下文出现的均为方差），由此可知：若方差越小，则概率越大，说明随机变量取值在数学期望 附近的密集程度越高；
若方差越大, 则概率越小，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式刻化了随机变量的取值对其期望的离散程度。

3.1.2 随机变量取值偏离超过的概率 在切比雪夫不等式中，取，则 可见，对任何分布,只要期望和方差存在，则随机变量取值偏离超过的概率是很小的，不超过0. 111。

3.1.3 估计事件的概率 例3.1：设相互独立，，， 对任意给定的，试估计 。

解：依题意得：
由切比雪夫不等式得 。

3.1.4 估计随机变量落入有限区间的概率 许多常见的随机变量的分布，当类型已知时，可完全由它的数学期望和方差决定。当随机变量的分布未知时，通过期望与方差利用切比雪夫不等式可以粗略估计随机变量落入关于其数学期望对称区间内的概率。此时，在已知期望和方差的情况下，只需将改写成或的形式，确定，再选用切比雪夫不等式进行估计。

例3.2：一颗骰子连续掷6 次，点数总和记为，试估计。

解：设第次掷得的点数为（显然互相独立，），则 由的分布为得 故 因而，由的独立性有 故 。

3.2 求解或证明一些有关概率的不等式[5] 3.2.1 求解相关不等式 已知及事件的概率至少为，估计。

由切比雪夫不等式 得 ， 解得所应满足的不等式，又当时，也可估计，见下面例子。

例3.3：投掷一枚硬币，为了至少有90%的把握使正面向上的频率在0. 49 与0. 51 之间，试估计需要的投掷次数。

解：用表示在次实验中出现正面的次数，显然。那么 次试验中事件出现的频率为 由切比雪夫不等式得 由题意可知　 解得　 即至少要投掷这枚硬币25000 次，才能至少有90%的把握使正面向上的频率在0. 49 与0. 51之间。

3.2.2 证明相关不等式 例3.4：设随机变量的概率密度函数为 试证明 。

证明：
所以 由于 故由切比雪夫不等式得到 。

3.3 证明大数定律[6] 3.3.1 切比雪夫大数定律 利用切比雪夫不等式，我们可以证明概率论中一个重要的大数定律--切比雪夫大数定理。

定理3.1：（切比雪夫大数定律） 设独立随机变量序列 的数学期望 和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数，使得 则对于任意的正数，有 。

证明：我们用切比雪夫不等式证明该定理。因为 而相互独立性，所以 应用切比雪夫不等式得 因为，所以，由此得 当时，得 但是概率不能大于1，所以有 。

切比雪夫定律说明：独立随机变量序列的数学期望与方差都存在，且方差一致有上界，则经过算术平均后得到的随机变量，当充分大时，它的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的附近，这就是大数定律的统计意义。

3.3.2 伯努利大数定律 切比雪夫大数定律的一个重要推论就是著名的伯努利大数定律，我们同样用切比雪夫不等式来证明。

定理3.2：（伯努利大数定律）在独立试验序列中，设事件的概率，则对于任意的正数，当试验的次数时，有 其中是事件在次试验中发生的频率。

证明：设随机变量表示事件在次试验中发生的次数，则这些随机变量相互独立，服从相同的二项分布，并有数学期望与方差：
显然 则 于是，由切比雪夫不等式得 当时，上式右端趋于1，因此 但是概率不能大于1，所以有 。

伯努利大数定律说明：当试验在相同的条件下重复进行很多次时，随机事件的频率将稳定在事件的概率附近。伯努利大数定律提供了用频率来估计概率的理论依据，这个正确的论断曾经在一系列的科学试验以及大量的统计工作中得到证实，而切比雪夫不等式从理论上对此给出了严格的证明。

第四章 切比雪夫不等式在其他领域的应用 4.1生活中的小概率事件[7] 有句话说的好：多一个朋友多一条路。我们在生活中少不了朋友的帮助，当然也少不了对朋友的付出。可以说，朋友就是我们生活中很重要的一部分，出门靠朋友，没有朋友或许你将寸步难行。但人们会误解地认为遇见你朋友的概率会很大，因为有时候一天能交上好几个朋友。事实上，从遇见一个人到最后称兄道弟的概率是很小很小的。

下面就来算一下每个人交到朋友的概率，假设：我们每天上学途中、上班途中、购物或是旅行途中碰到的，哪怕只是在眼前一闪而过的陌生人，按平均每天遇见135 人来算，平均一年就有135*365=49275 人。能成为朋友的：如果从一般意义上讲的朋友，按每年遇到50 人算，那么我们的每一个朋友都是在碰到人之后的那个人，也就是说一年遇到朋友的概率才。我们再来估计一下刚刚你说一天交上好几个朋友的概率。

记事件为遇到一个人就是我们的朋友，显然 。

设随机变量是每天发生的次数，我们可以近似看作符合二项分布，是每天遇到的人数，是遇见一个人就是我们朋友的概率，即， 则 一天交上好几个朋友，即事件发生的次数大于2 利用切比雪夫不等式得 。

看了这些数据你可能会大吃一惊，我们每天交上一个朋友的概率才，而一天同时交上两个以上的朋友的概率才不到，从相遇到相交是如此的小概率的事件，更何况地球上有60 亿人，而且还将不断增长下去，我和你相遇的机会才60 亿分之1，所以说相遇都是一种缘分，更何况是朋友，请珍惜你身边的朋友。

4.2 切比雪夫不等式在经济评价风险中的应用[8] 经济评价中的概率风险分析是利用概率理论来研究不确定因素和风险因素对项目经济评价指标影响的一种定量分析方法。比起经济评价中盈亏平衡分析和敏感性分析，概率风险分析考虑了各种不确定因素在未来发生不同幅度变动的概率及其对项目经济效果指标的影响， 对项目的风险情况作出了比较准确的判断。所以对一些项目，尤其是重大项目， 必须作概 率分析。而在经济评价中的一个重要指标就是内部收益率， 现在我们用切比雪夫不等式来评价的概率风险分析。

4.2.1 的多元线性函数 内部收益率是项目净现值为零时的折现率，其数学表达式如下: 式中是项目计算期，是第年净现金流量。它主要依赖于项目各年的产量、售价、经营成本、固定资产投资等因素。

上式我们可以利用线性回归方法将表示为各因素变化水平的线性函数：设第种因素的变化率为，第种因素变化后的内部收益率为，则他们的线性关系是：
（4.1） 考虑同时受个因素共同影响的多因素敏感性分析问题，由多元函数台劳展式：
结合（4.1）式有 于是可将表示为各因素变化水平的多元线性函数：
（4.2） 其中是当各因素变化率为0时内部收益率的值，也就是不考虑各因素变化的原始内部收益率，是各种风险因素变化率。

以上结论的详细论述参见文献[9]，现将当作随机变量，用（4.2）式来讨论的概率分析。

4.2.2 的概率分析 对概率分析的关键在于如何确定各风险因素变化率的概率分布，根据中心极限定理， 各种风险因素的变化由于受到众多可控或不可控的随机因素影响，应该近似服从正态分布。但由于经济评价工作的特殊性，不可能得到这些因素变化的统计资料，所以不能用统计方法算出两个重要参数: 期望和方差，这样各因素的概率分布就不能确定，因而指标的分布也不能确定。若通过（4.2）式将表为各因素变化率的函数，则我们可做如下合理的假定和计算：
① 的意义是各易变因素的变化率，根据评价工作的实际情况可假定其服从均匀分布，这是因为在未来实际问题中，对易变因素做出哪种情况变化概率大, 哪种情况变化概率小，都是很难的，在这种对客观概率缺乏有效估计时，将其当作均匀分布看待是最合理的，所以可以认为在某区间内取值的概率是均匀的。其中是第个因素变化率的最小值，是最大值，。这两个值可由专家预测得到。

② 假定各因素的变化率是不相关的随机变量。这是因为对实际问题来讲，各因素之间的关系是错综复杂的，因素之间不一定不相关，也不一定独立，但它们变化的幅度可以近似认为是不相关的。

在以上两个假定之下，根据概率理论我们可以方便地计算出的两个重要参数期望和方差。

由于在上服从均匀分布，故 （4.3） (4.4） 所以有 （4.5） （4.6） 的标准差为。

有了和，就可对方案的可行性和风险性大小做出初步的判定。是内部收益率在各种随机因素变化水平下的平均值，也是最大可能取值，是方案可行性决策的最重要的指标之一，反映其内部收益率与的接近程度, 它的大小反映了项目的风险性大小。

对的概率分布做了合理假设后，理论上的分布就由（4.2）式唯一确定了，但由于变化因素较多，利用概率理论给出的精确分布是非常困难的，所以实际的与其均值接近程度的概率计算无法实现。但我们可以利用概率论中一个非常著名的不等式—— 切比雪夫不等式，它的特点是无需知道随机变量的分布，而仅用方差就可对随机变量接近的程度给出概率估计。

根据切比雪夫不等式有 （4.7） 一般可取，，，等。

（4.7）给出了的实际取值在范围内的最小概率，若大于基准 收益率，则这一最小概率越大，方案的抗风险能力越强。至此，我们用切比雪夫不等式给出了评价的概率风险分析的一种新方法，这种方法也适用于其他经济效益指标的风险分析。

4.2.3 应用 下面以某新开发油田经济评价的概率分析为例，说明以上方法的应用。

某新开发油田计算期为24年，生产期为23年。由于计算期较长，评价所采用的数据极有可能发生变化，故不确定性分析对决策十分重要。根据油田的实际情况，我们以内部收益率为项目的效益指标，以原油产量、原油售价、可变成本、固定资产投资为影响内部收益率的主要因素。首先利用原始数据对内部收益率做单因素敏感性分析，在计算机上算出了当原油产量、原油售价、可变成本、固定资产投资变化幅度分别为、、、、、、、时，内部收益率的变化情况，结果见表4.1 表4.1　单因素敏感性分析表 Table 4.1 univariate sensitivity analysis table -20% -15% -10% -5% 0 5% 10% 15% 20% 原油 产量 0.1125 0.1269 0.1409 0.1546 0.1679 0.1809 0.1936 0.2060 0.2182 原油 售价 0.0836 0.1065 0.1279 0.1483 0.1679 0.1867 0.2049 0.2226 0.2308 固定资产投资 0.2116 0.1992 0.1879 0.1775 0.1679 0.1590 0.1507 0.1431 0.1358 可变 成本 0.1876 0.1826 0.1779 0.1729 0.1679 0.1628 0.1576 0.1524 0.1471 基准收益率0.18 内部收益率和原油产量变化率的回归方程为: ， 内部收益率和原油售价变化率的回归方程为: ， 内部收益率和固定资产投资变化率的回归方程是: ， 内部收益率和可变成本变化率的回归方程是: ， 将以上方程代入公式（4.2）中，得到4个因素敏感性分析公式如下：
（4.8） 下面对（4.8）进行概率分析。

首先由专家测算出4个因素变化率的范围，原油产量的变化率的范围是，原油售价变化率的范围是，固定资产投资变化率的范围是，可变成本变化率的范围是。

假定各在所给范围内服从均匀分布，则由（4.3）和（4.4）式可得 由（4.5）和（4.6）式可算出 通过计算看到该项目的内部收益率均值为19.97%，超过石油部门基准收益率，所以该项目是可行的。

取，则取值与其均值误差绝对值不超过5%的概率至少为: 取，则取值与其均值误差绝对值不超过10%的概率至少为: 取，则取值与其均值误差绝对值不超过15%的概率至少为: 通过以上分析和计算，对项目的内部收益率均值及在均值上下波动的范围分别为5%，10%， 15%的最小概率做出了估计，由计算结果看到，该项目可行，且具有一定的抗风险能力，决策者根据这些概率就可对方案承受的风险情况做到心中有数了。

4.3 前向神经网络容错性分析的切比雪夫不等式法[10] 目前, 关于具有可微作用函数的前向神经网络( ，简称) 故障性能的研究主要集中在灵敏度和鲁棒性分析。事实上硬件（人工神经网络， ，简称）不仅会出现软故障，同时还会出现致命的硬故障，例如连接故障和错误输入故障。为此，人们曾经提出一些容错设计的方法。可是, 现在仍然缺乏对硬故障容错性能的分析。但是，我们可以利用切比雪夫不等式来给出一种容错性分析的估算方法。

4.3.1 前向神经网络的随机故障模型 设具有可微作用函数的由层节点组成的全连接, 同层节点中没有任何耦合。输入信号从输入层节点依次传过各隐层节点到输出节点，每一层节点的输出只影响下一层节点的输入。其输出为 　 其中：为第（）层的节点个数；
（）为第层第个节点的输出；
是第层的第个节点与第层第个节点连接上的权值；
为阈值。另外，所讨论的可微作用函数，将以神经网络中经常采用的Sigmoid函数为例, 它的表达式为。为简化讨论，以下假定。

考虑神经网络硬件实现中经常出现的两类硬故障模型：连接故障和错误输入故障。对于连接故障是指第层第个网络节点输入连接发生--故障(或--（），（且为常数)，相应的权值和输入失去作用，用(或) 代替。由于stuck-at-（）故障可以采用同样的方法进行容错性分析，所以分析中只考虑前者。对于 错误输入故障，为了充分体现错误输入对神经网络的影响，定义错误输入为正确输入的相反值。

将神经网络定义成随机故障模型，即定义神经网络第层（）输入值（）是均值为，方差为的独立同分布随机变量；
各层神经网络的输入权值 （，） 都是均值为方差为的独立同分布随机变量，输入值和输入权值相互独立，同一层的节点假定性能完全相同。

以下，我们只对单个神经元进行具体的容错性分析，多个神经元的情况可由单个神经元推导过去。

4.3.2连接故障对单个神经元容错性能的影响 当神经元发生个--连接故障，它的输出误差为 其中：，为正常连接的集合，为故障连接的集合。

设 那么 。

已知神经元的输入值（）是均值为，方差为的独立同分布随机变量；
输入权值是均值，方差为的独立同分布随机变量。对于任一，仍然是相互独立且分布不相同，它们的均值和方差分别为：
。

由于和显然相互独立同分布，又由于 是连续函数，那么它们都是一元可测函数，因此相互独立，则 。

当时，根据中心极限定理，随机变量 趋向于服从标准正态分布，概率密度函数 由此可求 和 因为， 若要求，只要，即 有此式得 当，则 又因为，其中 同理可求 和 将，，，代入可求出。

神经元正常输出的概率 那么根据切比雪夫不等式有 。

同理我们也可算出错误输入故障对单个神经元容错性能的影响以及连接故障和错误输入故障对单个神经元容错性能的共同影响下的神经元正常输出的概率，只要根据上面的方法求出，便能求出。

利用切比雪夫不等式法对前向神经网络进行了容错性分析。这种方法不仅揭示了神经网络容错性能的规律，同时从理论上给出了一种较为简便的估算方法，为今后进一步提高神经网络的容错性和可靠性，提供了有效的理论依据。

参考文献 [1]徐传胜. 切比雪夫的概率思想及其数学文化背景. 自然辨证法研究，第21卷第7期，2005. 32-33 [2]潘正刚. 竞赛数学中几类不等式的解法. 西南大学，2007. 11-12 [3]徐庆祥. 切比雪夫不等式的一个推广形式. 上海师范大学，2002. 45 [4]张中奕. 关于马尔可夫不等式和切比雪夫不等式的一类推广. 北京师范大学，2003. 2 [5]沈伟利. 谈切比雪夫不等式的应用. 郑州铁路职业技术学院学报，第17卷第1期，2005 . 24-25 [6]卯诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程. 高等教育出版社，2004. 211-214 [7]甘媛. 生活中的小概率事件. 赤峰学院学报（自然科学版），第24卷第6期，2008. 92-93 [8]赵仪娜. 经济评价中概率风险分析的一种新方法. 预测，第5期，1998. 42-52 [9]赵仪娜. 经济评价中多因素敏感性分析探讨. 当代经济科学，1996. 6 [10]张涛，胡东成.前向神经网络容错性分析的切比雪夫不等式法. 清华大学学报，第40卷第7期，2000. 39-42 致谢 大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他们在我成长过程中给予了我很大的帮助。特别要感谢我的导师XX老师，在我论文写作过程中给予我悉心的指导。在此，谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

最后也感谢学院为我们提供了一个做毕业设计的良好环境，感谢XX大学。