2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷） 数

　学（理工农医类）

　 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷第1至 2页第II卷3至8页共150分考试时间120分钟 第I卷（选择题共60分） 注意事项 1． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式：

　三角函数和差化积公式

　 正棱台、圆台的侧面积公式

　其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长 台体的体积公式

　其中、分别表示上、下底面积，表示高 一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1） 复数则在复平面内的对应点位于

　 （A）第一象限

　 （B）第二象限

　 （C）第三象限

　 （D）第四象限 （2） 设全集集合那么是

　 （A）

　 （B）

　 （C）{a,c}

　 （D）{b,e} （3）双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （A）2

　（B）

　 （C）

　 （D） （4）曲线的参数方程是 （A）

　 （B） （C）

　（D） （5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 （A）

　（B）

　（C）

　（D） （6）直线和直线的位置关系是 （A）垂直

　 （B）平行 （C）相交但不垂直

　 （D）重合 （7）函数 （A）是偶函数，在区间上单调递增 （B）是偶函数，在区间上单调递减 （C）是奇函数，在区间上单调递增 （D）是奇函数，在区间上单调递减 （8）从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有

　（A）120个

　（B）480个

　（C）720个

　 （D）840个 （9）椭圆短轴长是2，长轴长是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是

　（A）

　（B）

　（C）

　 （D） （10）函数的最大值是 （A）

　 （B）

　 （C）

　（D） （11）设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为 ，则 （A）

　（B）

　（C）

　（D）

　（12）设是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是

　（A）

　（B）

　 （C）

　 （D） （13）已知等差数列满足则有 （A） （B） （C） （D）

　（14）已知函数的图象如右图，则 （A）

　（B）

　（C）

　 （D）

　 2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）

　 数

　学（理工农医类）

　第II卷（非选择题共90分） 注意事项：

　1． 第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚 二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

　（15）函数的最小正周期是__________ （16）右图是一体积为72的正四面体，连结两 个面的重心E、F，则线段EF的长是_________ （17）展开式中的常数项是___________ （18）在空间，下列命题正确的是____________（注：把你认为正确的命题

　 的序号都填上） ① 如果两条直线、分别与直线平行，那么∥ ② 如果两条直线与平面内的一条直线平行，那么∥ ③ 如果直线与平面内的一条直线、都有垂直，那么⊥

　 ④ 如果平面内的一条直线垂直平面，那么⊥ 三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 （19）（本小题满分12分）

　在中，角A、B、C对边分别为、、

　证明：

　 （20）（本小题满分12分） 在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=，AD=DC=AB=（如图一）将 沿AC折起，使D到记面为α，面ABC为，面为 （I）若二面角为直二面角（如图二），求二面角的 大小； （II）若二面角为（如图三），求三棱锥的体积

　（21）（本小题满分12分）

　设函数，若，且，证明：

　（22）（本小题满分12分）

　 如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点， 已知OA⊥OB，OM⊥AB求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

　 （23）（本小题满分12分）

　某地区上年度电价为元/kW，年用电量为kW本年度计划将电价降到元/kW至元/kW之间，而用户期望电价为元/kW经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）该地区电力的成本为元/kW （I）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的函数关系式； （II）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））

　（24）（本小题满分14分）

　已知函数

　 其中 （I） 在下面坐标系上画出的图象； （II） 设的反函数为，

　求数列的通项公式，并求； （III）若，求

　 2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷） 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准 说明：

　一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基础运算第（1）—（10）每小题4

　 分，第（11）—（14）题每小题5分，满分60分 （1）D

　 （2）A

　（3）C

　（4）D

　 （5）C

　（6）B

　（7）B

　（8）B

　（9）D

　（10）B

　（11）A

　（12）D

　（13）C

　 （14）A

　二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分 （15）

　（16）

　 （17）210 （18）①，④ 三、解答题 （19）本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能满分12分 证明：由余弦定理

　———3分

　∴

　整理得

　 ———6分

　依正弦定理，有

　 ———9分

　 ∴

　———12分

　 （20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力满分12

　 分

　 解：（I）在直角梯形ABCD中，

　 由已知DAC为等腰直角三角形，

　 ∴

　 过C作CH⊥AB，由AB=2，

　 可推得

　AC=BC=

　 ∴

　 AC⊥BC

　———2分

　 取 AC的中点E，连结，

　 则 ⊥AC 又

　∵ 二面角为直二面角，

　 ∴ ⊥ 又

　∵ 平面

　 ∴ BC⊥

　 ∴ BC⊥，而，

　 ∴ BC⊥

　 ———4分

　 ∴ 为二面角的平面角

　 由于，

　∴二面角为

　———6分

　 （II）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结

　OE

　 ∵ AC⊥，

　 ∴ AC⊥

　 ∴ 为二面角的平面角，

　 ∴

　———9分

　 在中，，

　∴，

　 ———12分

　（21）本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力满分12分

　 证明：由已知

　———2分

　∵ ，，

　∴ 、不能同时在区间 上，又由于，故必有；

　———6分

　若 ，显然有

　 ———8分

　若 ，由，

　有 ，

　故 ，

　∴

　 ———12分

　（22）本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基

　 本方法以及方程化简的基本技能满分12分

　 解：如图，点A，B在抛物线上，

　 设 ，OA、OB的斜率分别为、

　 ∴

　 ———2分

　 由OA⊥AB，得

　①

　 ———4分 依点A在AB上，得直线AB方程

　②

　———6分 由OM⊥AB，得直线OM方程

　 ③

　 ———8分 设点M，则满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式整理得

　 ④

　 ———10分 由③、④两式得

　由①式知，

　∴

　因为A、B是原点以外的两点，所以 所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

　 ——12分

　 （23）本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数

　 学知识、思想和方法解决实际问题的能力满分12分 解：（I）：设下调后的电价为元/，依题意知用电量增至，电力部门的收益为

　 ———5分 （II）依题意有

　 ———9分 整理得

　 解此不等式得

　答：当电价最低定为元/仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%

　（24）本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、

　 运算的能力满分14分

　解（I）：函数图象：

　说明：图象过、、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段 （II）：f2(x)=-2x-2，的反函数为：

　 ———5分 由已知条件得：

　…… ∴

　 即

　，

　 ———8分 ∴

　 ———10分 （III）：由已知， ∴

　， 由 的值域，得 ∴

　 由，整理得

　， 解得

　因为，所以

　 ———14分