2008年普通高等学校招生全国统一考试 数

　学（理工农医类）（福建卷） 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.1

　B.2

　 C.1或2

　D.-1 (2)设集合A={x|},B={x|0＜x＜3,那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件

　B.必要而不充分条件 C.充要条件

　 D.既不充分也不必要条件 (3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为 A.63

　 B.64

　C.127

　D.128 (4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR)，若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3

　B.0

　 C.-1

　D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.

　 B.

　 C.

　 D.

　(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A.

　 B.

　C.

　 D.

　(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14

　 B.24

　C.28

　D.48 (8)若实数x、y满足，则的取值范围是 A.(0,1)

　 B.

　C.(1,+)

　 D.

　 (9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为 A.

　 B.

　 C.－

　D.－

　 (10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为 A.

　B.

　 C.或

　 D. 或 (11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)

　 B.

　C.(3,+)

　D.

　(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

　 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)

　 x=1+cos

　(14)若直线3x+4y+m=0与圆

　 y=-2+sin

　（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是

　.

　（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　. （16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、　∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域。

　有下列命题：

　　　　①整数集是数域；

　②若有理数集，则数集M必为数域； ③数域必为无限集；

　 ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是　　　　.（把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 　　　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角. （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域. （18）（本小题满分12分） 　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

　（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小； （Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分12分）已知函数. 　　

　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； 　　

　 （Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. （20）（本小题满分12分） 　　　某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 　　　目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 　　　书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试 　　　成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 　　（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； 　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E. （21）（本小题满分12分） 　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. 　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； 　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围. （22）（本小题满分14分） 　　　已知函数f(x)=ln(1+x)-x1 　　　　（Ⅰ）求f(x)的单调区间； 　　（Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.

　 （Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围； （Ⅳ）求证：

　数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）B

　（2）A

　（3）C

　（4）B

　（5）B

　（6）D （7）A

　（8）C

　（9）A

　（10）D

　（11）B

　（12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）31

　（14）

　 （15）9 （16）③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 　　　解：（Ⅰ）由题意得 　　　　　 　　　　　由A为锐角得 　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 　　　　　　　所以 　　　　　　　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值. 　　　　　　　当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是. （18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

　　　　解法一：

　　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝， 在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1， 在Rt△PBO中，tan∠PBO＝ 所以异面直线PB与CD所成的角是. （Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为. 　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=， 　　　在Rt△POC中，

　所以PC=CD=DP,

　由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时. 解法二：

　(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),

　 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

　(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为， 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则所以即， 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设由，得解y=-或y=(舍去)， 此时，所以存在点Q满足题意，此时. (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.

　 (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,

　 由点在函数y=f′(x)的图象上,

　 又所以

　 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,

　 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.

　 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.

　 (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立， 则. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为. (Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

　 故 答：该考生参加考试次数的数学期望为. (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

　 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形，

　 所以,

　 即1＝

　 因此，椭圆方程为

　 (Ⅱ)设

　(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

　 (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

　 设直线AB的方程为：

　整理得

　 所以

　 因为恒有，所以AOB恒为钝角.

　 即恒成立.

　 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立. 当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.

　a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<(舍去)，即a>, 综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）. 解法二：

　（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时， x=1代入=1. 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1, 解得a>或a<(舍去)，即a>. （ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）. 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故x1+x2= 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2). 由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立. ①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意； ②当a2- a2 b2+b2=0时，a=; ③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a. 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）. （22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：

　（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f〃(x)=-1=. 由f〃(x)>0得-1<x<0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）； 由f〃(x)<0得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+）. (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) >

　又lim, 因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）. （II）由（i）知 因为[]2 = 所以＜(nN*), 则＜

　N*）

　解法二：

　（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以 　　　则 （i）因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立. 　　则对n∈N*恒成立. 　　设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立. 　　考虑 　　因为＝0， 　　所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小， 又因为＝1. 所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知

　下面用数学归纳法证明不等式

　①当n=1时，左边＝，右边＝，左边<右边.不等式成立.

　②假设当n=k时,不等式成立.即 当n=k+1时，

　 = 即n＝k＋1时，不等式成立 综合①、②得，不等式成立. 所以

　 即.