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中考冲刺:几何综合问题(基础)
2020-07-25 10:07:50 ℃冲刺:几何综合问题(基础) 一、选择题 1.(2016•天水)如图,边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′,它们的边B′C′,BC位于同一条直线l上,开始时,点C′与B重合,△ABC固定不动,然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移,移出△ABC外(点B′与C重合)停止,设△A′B′C′平移的距离为x,两个三角形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是( ) A. B. C. D. 2. 如图,将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置(A、D、C、F四点在同一条直线上).直角边DE交BC于点G.如果BG=4,EF=12,△BEG的面积等于4,那么梯形ABGD的面积是( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 二、填空题 3.(2016•海淀区二模)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图所示,木杆EF的长为2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,则金字塔的高度BO为______ m. 4. 如图,线段AB=8cm,点C是AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形(△AMC和△CNB),则当BC=_____________cm时,两个等腰直角三角形的面积和最小. 三、解答题 5. 有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长12cm.如图①,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合;
将直尺沿AB方向平移(如图②),设平移的长度为xcm( 0≤x≤10 ),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2. (1)当x=0时(如图①),S=________;
(2)当0<x≤4时(如图②),求S关于x的函数关系式;
(3)当4<x<6时,求S关于x的函数关系式;
(4)直接写出S的最大值. 6. 问题情境:如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:△ABD≌△CAE.(不需要证明) 特例探究:如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:△ABD≌△CAE. 归纳证明:如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?如果全等,请证明;
如果不全等,请说明理由. 拓展应用:如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数. 7. 如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm,当圆心O从点A出发,沿着线路AB-BC-CA运动,回到点A时,⊙O随着点O的运动而移动. ⑴若r=cm,求⊙O首次与BC边相切时,AO的长;
⑵在⊙O移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数;
⑶设⊙O在整个移动过程中,在△ABC内部,⊙O未经过的部分面积为S,在S>0时,求关于r的函数解析式,并写出自变量r的取值范围. 8. (2015•德州)(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD•BC=AP•BP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出了,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值. 9. 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12 cm,BC=9 cm,DC=13 cm,点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm,△PCD的面积为y cm2. (1)求AD 的长;
(2)求y与x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值?最大值是多少? (3)在线段AB上是否存在点P,使得△PCD是直角三角形?若存在,求出x的值;
若不存在,请说明理由. 10. 如图,平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,∠A=60°,点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动,当P与C重合时停下运动,过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒,直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式. 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B. 【解析】如图1所示:当0<x≤1时,过点D作DE⊥BC′. ∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形, ∴△DBC′为等边三角形. ∴DE=BC′=x. ∴y=BC′•DE=x2. 当x=1时,y=,且抛物线的开口向上. 如图2所示:1<x≤2时,过点A′作A′E⊥B′C′,垂足为E. ∵y=B′C′•A′E=×1×=. ∴函数图象是一条平行与x轴的线段. 如图3所示:2<x≤3时,过点D作DE⊥B′C,垂足为E. y=B′C•DE=(x﹣3)2, 函数图象为抛物线的一部分,且抛物线开口向上. 故选:B. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】134. 4.【答案】4. 三、解答题 5.【答案与解析】 (1)由题意可知:
当x=0时, ∵△ABC是等腰直角三角形, ∴AE=EF=2, 则阴影部分的面积为:S=×2×2=2;
故答案为:2;
(2)在Rt△ADG中,∠A=45°, ∴DG=AD=x,同理EF=AE=x+2, ∴S梯形DEFG=(x+x+2)×2=2x+2. ∴S=2x+2;
(3)①当4<x<6时(图1), GD=AD=x,EF=EB=12-(x+2)=10-x, 则S△ADG=AD.DG=x2, S△BEF=(10-x)2, 而S△ABC=×12×6=36, S△BEF=(10-x)2, ∴S=36-x2-(10-x)2=-x2+10x-14, S=-x2+10x-14=-(x-5)2+11, ∴当x=5,(4<x<6)时,S最大值=11. (4)S最大值=11. 6.【答案与解析】 特例探究:
证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠DBA=∠EAC=60°, 在△ABD与△CAE中, , ∴△ABD≌△CAE(SAS);
归纳证明:△ABD与△CAE全等.理由如下:
∵在等边△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠BAC=60°, ∴∠DBA=∠EAC=120°. 在△ABD与△CAE中, , ∴△ABD≌△CAE(SAS);
拓展应用:∵点O在AB的垂直平分线上, ∴OA=OB, ∴∠OBA=∠BAC=50°, ∴∠EAC=∠DBC. 在△ABD与△CAE中,, ∴△ABD≌△CAE(SAS), ∴∠BDA=∠AEC=32°, ∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°. 7.【答案与解析】 (1)设⊙O首次与BC相切于点D,则有OD⊥BC. 且OD=r=. 在直角三角形BDO中, ∵∠OBD=60°, ∴OB==2. ∴AO=AB-OB=6-2=4(厘米);
(2)由正三角形的边长为6厘米.可得出它的一边上的高为3厘米. ①当⊙O的半径r=3厘米时,⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次,即切点个数为3;
②当0<r<3时,⊙O在移动中与△ABC的边相切六次,即切点个数为6;
③当r>3时,⊙O与△ABC不能相切,即切点个数为0. (3)如图,易知在S>0时,⊙O在移动中,在△ABC内部为经过的部分为正三角形. 记作△A′B′C′,这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行,且平行线间的距离等于r. 连接AA′,并延长AA′,分别交B′C′,BC于E,F两点. 则AF⊥BC,A′E⊥B′C′,且EF=r. 又过点A′作A′G⊥AB于G,则A′G=r. ∵∠GAA′=30°, ∴AA′=2x. ∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r, B′C′= A′E=2(3-r). ∴△A′B′C′的面积S=B′C′.A′E=3(3-r)2. ∴所求的解析式为S=3(3-r)2(0<r<3). 8.【答案与解析】 解:(1)如图1, ∵∠DPC=∠A=∠B=90°, ∴∠ADP+∠APD=90°, ∠BPC+∠APD=90°, ∴∠ADP=∠BPC, ∴△ADP∽△BPC, ∴=, ∴AD•BC=AP•BP;
(2)结论AD•BC=AP•BP仍然成立. 理由:如图2, ∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP, ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP. ∵∠DPC=∠A=∠B=θ, ∴∠BPC=∠ADP, ∴△ADP∽△BPC, ∴=, ∴AD•BC=AP•BP;
(3)如图3, 过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD=BD=5,AB=6, ∴AE=BE=3. 由勾股定理可得DE=4. ∵以点D为圆心,DC为半径的圆与AB相切, ∴DC=DE=4, ∴BC=5﹣4=1. 又∵AD=BD, ∴∠A=∠B, ∴∠DPC=∠A=∠B. 由(1)、(2)的经验可知AD•BC=AP•BP, ∴5×1=t(6﹣t), 解得:t1=1,t2=5, ∴t的值为1秒或5秒. 9.【答案与解析】 ⊥BC于点E. 据题意知,四边形ABED是矩形,AB=DE,AD=BE. 在Rt△DEC中,∠DEC=90°,DE=12,CD=13, ∴ EC=5. ∴AD=BE=BC-EC=4. (2)若BP为x,则AP=12-x. S△BPC=BP·BC=x. S△APD=AP·AD=24-2x. ∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54. 即 y=-x+54,0≤x≤12. 当x=0时,y取得最大值为54 cm2. (3)若△PCD是直角三角形,∵∠BCP<90°,∴∠PCD≠90° ∴分两种情况讨论,如图2. ①当∠DPC=90°时 ∵∠APD+∠BPC=90°,∠BPC+∠PCB=90°, ∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP. ∴.即.解得x=6. ∠APD=∠BPC=45°的情况不存在,不考虑. ②当∠P1DC=90°时, 在 Rt△P1BC中,P1C2=BP12+BC2=x2+92, 在 Rt△P1AD中,P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42, ∵∠P1DC=90°,CD2+P1D2=P1C2. 即132+(12-x)2+42=x2+92.解得. 综上,当x=6或,△PCD是直角三角形. 10.【答案与解析】 当Q点与D点重合时,AQ=AD=6,此时AP=AQ=3=t 当P与B点重合时,t=10, 当 P点运动到C时,t=16, ∴分三类情况讨论 (1)当0≤t≤3时,如图:
AP=t,PQ=t, ∴S=AP·PQ=t2 (2)当3<t≤10时,示意图:
过D作DH⊥AB于H,AD=t, 则 DH=ADsinA=6·=3,AH=ADcosA=3 ∴DQ=PH=AP-AH=t-3 ∴S=(AP+DQ)·DH =(t+t-3)·3=3t- (3)当10<t≤16时,如图:
AB+BP=t CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t ∴CQ=CP=8- QP=·CQ=8-t ∴S=S□ABCD-S△CPQ =AB·h-·CQ·PQ =10·3-·(8-)·(8-) =30-(64-8t+) = 综上,.
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