2019-2020学年县第一中学高二上学期期中考试数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ ） A. B. C. D. 2.在中，“是直角三角形”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花 加工零件数(个) 10 20 30 40 50 加工时间(分钟) 64 69 75 82 90 费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经 检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于 加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列 判断正确的是 ( ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75) 4.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号 ，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ ） A. B. C. D. 5. 下列命题错误的是 ( ) A．对于命题 ：，使得，则为，均有 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是假命题，则均为假命题 D．命题“若则”是正确的 6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程为 （ ） A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到 的距离是 （ ） A、 B、8 C、3 D、10 8. 如图所示,在平行六面体中, 为 与的交点.若,则下列向量中与 相等的向量是 ( ) A. B. C． D. 9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( ) A. B. C. D. 10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于 两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ ） A. B. C. D. 11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ ） A. B. C. D. 12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于．当与的斜率存在且倾斜角互补时，的值为 （ ） A. B. C. D.无法确定 二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.) 13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出名，将其 成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩 的众数是. 14. 在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1 的概率为 . 15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, 分别在半平面内, ， 且 则的长为 . 16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 . 三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线. (Ⅰ)写出命题的否定形式; (Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围. 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧 棱底面，且各棱长均相等，分别为 棱的中点. (1)证明平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标 评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 质量指标 产品编号 质量指标 (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样本的一等品中，随机抽取件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；

②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率. 20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为， 左、右焦点分别为. 求椭圆的方程；

若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程. 21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形, ,对角线与交于点, 底面. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若四棱锥的体积, 求二面角的平面角的正弦值. 22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形. （1）求抛物线的方程；

（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点， （i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；

（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 参考答案 时量：120分钟 总分：150分 命题人：
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ A ） A. B. C. D. 2.在中， “是直角三角形”是“”的 （ B ） A．充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 加工零件数 (个) 10 20 30 40 50 加工时间 (分钟) 64 69 75 82 90 3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是 ( B ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75) 4. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，抽到的人中，编号落入区间的 人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ C ） A. B. C. D. 5. 下列命题错误的是 ( D ) A．对于命题 ：，使得，则为，均有 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是假命题，则均为假命题 D．命题“若则”是正确的 6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程（ B ） A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到的距离是 （ A ） A、 C、3 B、8 A、10 8. 如图所示,在平行六面体中, 为 与的交点.若,则下列向 量中与相等的向量是 ( A ) A. B. C． D. 9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( C ) A. B. C. D. 10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ D ） A. B. C. D. 11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ C ） A. B. C. D. 12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物 线于．当与的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为 （ B ） A. B. C. D.无法确定 二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.) 13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是. 14.在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 0.6 . 15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, 分别在半平面内, ， 且则的长为 . 16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 . 三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线. (Ⅰ)写出命题的否定形式; (Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围. 【解】(Ⅰ)命题的否定形式: ,都有.………………………………………………………5分 (Ⅱ)由为假,即为真,所以,即; 又命题为真,则有,即或; 所以假、真时,,即求.………………………………………………………10分 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点. (1)证明平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值. 解析：（1）连接,易知且，所以是平行四边形，所以，又在平面外，所以平面；

…………………6分 （2） …………………12分 19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 质量指标 产品编号 质量指标 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

在该样本的一等品中，随机抽取件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；

②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率. 解析：（1） …………………………5分 （2）①该样本中一等品中，随机抽取件产品的所以可能结果为 …………………………8分 ②这批样品中综合指标为有，则事件发生的可能结果为共种， ……………12分 20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为. 求椭圆的方程；

若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程. 解答：（1）根据题意，，………………………………… ……………………1分 又离心率，所以…………………………………………………3分 所以椭圆的方程为 ……………………………………………………5分 （2）设，联立直线与椭圆的方程可得， ………………………………………6分 因此， ………………………………7分 根据垂径定理，可得，………………………8分 由已知，可得…………………………………10分 解得，因此直线的方程为………………………………12分 21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形, ,对角线与交于点, 底面. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值. 【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形中,知, 又,所以,故, 即,又底面,得, 且,所以面,即.………………………………………5分 B C O S A H D x y z (Ⅱ)由, 于是,得. 法一 由两两垂直,故以为原点, 分别以为轴建系如图; 则, , 设平面的法向量为,则由 得,令,得,即 同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为, 则, 又,故.……………………………………………12分 B C O S A H D x y z 法二 过点作于点,连接,则 由知面, 所以(三垂线定理) 所以为二面角的平面角. 由等面积知, 故,, 由余弦定理有, 即,即求. 22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形. （1）求抛物线的方程；

（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点， （i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；

（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 解析：：(1)由题意知当点的横坐标为时，不妨设设，则点的纵坐标为 ……………2分因此， （舍去） 所以抛物线的方程为 …………………4分 (2)①证明：由(1)知． 设 因为，则， 由得，故． 故直线的斜率 …………5分 因为直线和直线平行， 设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 由题意，得 ………………6分 设，则，. 当时，， 可得直线的方程为， ………………7分 由， 整理可得， 直线恒过点F(1，0)． 当时，直线的方程为，过点． 所以直线过定点 ………………8分 ②由①知，直线过焦点， 所以. 设直线的方程为， 因为点)在直线上， 故. ………………9分 设． 直线的方程为，由，得 代入抛物线方程得， 所以， 可求得，. ………………10分 所以点到直线的距离为 则的面积 当且仅当，即时，等号成立． 所以的面积的最小值为. ……………12分