2014-2015高等数学下册期中考试试卷 (考试时间：90分钟) 姓名：

　 班级：

　 成绩单号：

　 一、 解答下列各题（） 1、[5分] 设函数由方程确定,其中为可微函数,且,求 解：视,方程两边对求导,得, 从而 方程两边对求导,得, 从而,故 2、[5分]设是由方程确定的函数,其中为可导函数,且,求 解

　方程两边取微分, 得, 从而 3、[5分]求函数在点的梯度 解

　 4、[5分] 设为椭球面上的一动点,若在点处的切平面与面垂直,求点的轨迹 解 面的法向量可为, 上点处的切平面的法向量为 由两平面垂直,则它们的法向量必垂直,从而 故点的轨迹为,也即为椭圆 二、 解答下列各题（） 5.求二元函数的极值 解 令,得驻点 ,在驻点处 由于,从而函数的极小值为 6.设具有二阶连续的偏导数，且满足等式，确定值,使等式在变换下简化为 解：视为中间变量,则

　 从而 即为 令 得或合要求. 7.已知曲线,求上距离最远的点和最近的点 解：设点在曲线上，则其到平面的距离为 即求在下的最值点：

　令 则由， 解得 即为上距离最近的点和最远的点 三、 解答下列各题（） 8.设函数连续,交换二次积分的积分次序 解

　转化为二重积分时的积分区域为, 作图(略),改写表达方式为,从而 9.设函数连续,若,其中区域为第一象限与的部分,求 解：

　用极坐标表示区域为第一象限与的部分, 即为,,从而 从而 10.计算二重积分,其中由曲线与直线及围成 解

　联立曲线方程求得三条线两两交于,作图(略) 由图可知,区域关于轴称性,从而 ,

　把积分区域表示为

　 11.计算二重积分,其中 解

　该积分用极坐标作并不方便,使用转化公式,先改用直角坐标表达, ,其中

　 (令换元)

　四、 解答下列各题（） 12.求位于两球面和之间的均匀物体的质心坐标 解

　 有对称性,显然,为质心坐标. 用球坐标,位于两球面和之间的区域可以表示为:

　从而 ,从而 13.计算由所确定的立体的体积 解：

　在柱坐标下为 从而有