2019—2020学年市一中上学期期末考试 高一数学试题 说明：
1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟. 2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中. 第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，，则（ ） A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 2.下列函数中，在内是增函数的是（ ） A． B. C. D. 3.已知，那么（ ） A． B． C． D． 4.若函数在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.下列命题中正确的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C．由五个面围成的多面体一定是是四棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 6.四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是 （ ） A．90° B．30° C．45° D．60° 8.矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 9.函数在[1,3]上单调递增，则的取值范围是 （ ） A． B．(0,2) C. D． 10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，则的欧拉线方程为（ ） A． B． C． D． 11.方程有两个不等实根，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12.设集合，则集合A所表示图形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 一个几何体的三视图如右图所示，且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为________． 14.=______． 15.当时，不等式恒成立，则m的取值范围是________． 16.圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是________． 第Ⅱ卷 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知集合，集合，集合. （Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，试确定正实数的取值范围. 18.（本小题满分12分）分别求出适合下列条件的直线方程：
（Ⅰ）经过点且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；

（Ⅱ）经过直线2x+7y－4=0与7x－21y－1=0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离. 19.（本小题满分12分）一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；

（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （III）今后最多还能砍伐多少年？ 20.（本小题满分12分）如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把 折起，使移到点，且在平面上的射影恰在上，即平面． （Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（III）求点到平面的距离． 21．（本小题满分12分）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线分别相切于C、D两点． （Ⅰ）求圆M和圆N的方程；

（Ⅱ）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 22.（本小题满分12分）已知函数, 其反函数为 （Ⅰ） 若的定义域为，求实数的取值范围；

（Ⅱ） 当时，求函数的最小值；

（III） 是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；
若不存在，则说明理由． 参考答案 一、选择题：
1-5 BCBBD 6-10 ABCDA 11-12 DC 二、填空题 13. 14． 15． 16． 三、解答题：
17.解:（Ⅰ）依题意得，或，.……5分 （Ⅱ），由于则，由得所以 ……10 18. （Ⅰ）解：当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1， 将(－3,2)代入所设方程，解得a＝，此时，直线方程为x＋2y－1＝0. 当直线过原点时，斜率k＝－，直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0， 综上可知，所求直线方程为x＋2y－1＝0或2x＋3y＝0. ……6分 （Ⅱ） 解：有解得交点坐标为(1，)， 当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y－=k(x－1)，即7kx－7y+(2－7k)=0， 由A、B两点到直线l的距离相等得， 解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件. 所以直线l的方程是21x－28y－13=0或x=1. ……12分 19.解：（Ⅰ）设每年降低的百分比为． 则，即，解得. ……4分 （Ⅱ）设经过年剩余面积为原来的，则， 即，，解得，故到今年为止，已砍伐了5年． ……8分 （III）设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为, 令≥，即≥，≥，≤，解得≤故今后最多还能砍伐15年． ……12分 20.解：（Ⅰ）∵ 平面，∴ ， 又 ∵ ，， ∴ 平面，∴ ． ……4分 （Ⅱ）∵ ，，， ∴ 平面， 又 ∵ 平面， ∴平面平面． ……8分 （III）设到平面的距离为，则 ∵ ， ∴ ， 又 ∵ ，，∴ ． ……12分 21.解：（Ⅰ）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线． ∵M的坐标为(，1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1， 设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC， 即＝⇒r＝3，则OC＝3， 故⊙N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9. ……6分 （Ⅱ）由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0， 圆心N到该直线的距离d＝，则弦长为2＝. ……12分 22.解 ：（Ⅰ），定义域为R， 恒成立，所以. ……4分 （Ⅱ）令，， 当时，当时， 当时， . ……8分 （III），且在上单调递增. 所以两式相减得，，与矛盾，所以不存在满足条件. ……12分