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数理统计试题及答案
2020-11-05 22:06:28 ℃数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体的容量分别为10,15的两独立样本均值差________;
2、设为取自总体的一个样本,若已知,则=________;
3、设总体,若和均未知,为样本容量,总体均值的置信水平为的置信区间为,则的值为________;
4、设为取自总体的一个样本,对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;
5、设总体,已知,在显著性水平0.05下,检验假设,,拒绝域是________。
1、;
2、0.01;
3、;
4、;
5、。
二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设是取自总体的一个样本,是未知参数,以下函数是统计量的为( )。
(A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体的样本,为样本均值,,则服从自由度为的分布的统计量为( )。
(A) (B) (C) (D) 3、设是来自总体的样本,存在, , 则( )。
(A)是的矩估计 (B)是的极大似然估计 (C)是的无偏估计和相合估计 (D)作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验的拒绝域为( )。
(A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,是来自总体的样本观察值,已知的置信水平为0.95的置信区间为(4.71,5.69),则取显著性水平时,检验假设的结果是( )。
(A)不能确定 (B)接受 (C)拒绝 (D)条件不足无法检验 1、B;
2、D;
3、C;
4、A;
5、B. 三、(本题14分) 设随机变量X的概率密度为:,其中未知 参数,是来自的样本,求(1)的矩估计;
(2)的极大似然估计。
解:(1) , 令,得为参数的矩估计量。
(2)似然函数为:, 而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为。
四、(本题14分)设总体,且是样本观察值,样本方差, (1)求的置信水平为0.95的置信区间;
(2)已知,求的置信水平为0.95的置信区间;
(,)。
解:
(1)的置信水平为0.95的置信区间为,即为(0.9462,6.6667);
(2)=;
由于是的单调减少函数,置信区间为, 即为(0.3000,2.1137)。
五、(本题10分)设总体服从参数为的指数分布,其中未知,为取自总体的样本, 若已知,求:
(1)的置信水平为的单侧置信下限;
(2)某种元件的寿命(单位:h)服从上述指数分布,现从中抽得容量为16的样本,测得样本均值为5010(h),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。。
解:(1) 即的单侧置信下限为;
(2)。
六、(本题14分)某工厂正常生产时,排出的污水中动植物油的浓度,今阶段性抽取10个水样,测得平均浓度为10.8(mg/L),标准差为1.2(mg/L),问该工厂生产是否正常?() 解:
(1)检验假设H0:2=1,H1:2≠1;
取统计量:;
拒绝域为:2≤=2.70或2≥=19.023, 经计算:,由于2, 故接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。
(2)检验假设;
取统计量:~ ;
拒绝域为;
<2.2622 ,所以接受, 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L)。
综上,认为工厂生产正常。
七、(本题10分)设为取自总体的样本,对假设检验问题,(1)在显著性水平0.05下求拒绝域;
(2)若=6,求上述检验所犯的第二类错误的概率。
解:(1) 拒绝域为; (2)由(1)解得接受域为(1.08,8.92),当=6时,接受的概率为 。
八、(本题8分)设随机变量服从自由度为的分布,(1)证明:随机变量服从 自由度为的分布;
(2)若,且,求的值。
证明:因为,由分布的定义可令,其中,与相互独立,所以。
当时,与服从自由度为的分布,故有, 从而 。
数理统计试卷参考答案 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、;
2、0.01;
3、;
4、;
5、。
二、选择题(本题15分,每题3分) 1、B;
2、D;
3、C;
4、A;
5、B. 三、(本题14分)解:(1) , 令,得为参数的矩估计量。
(2)似然函数为:, 而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为。
四、(本题14分)解:
(1)的置信水平为0.95的置信区间为,即为(0.9462,6.6667);
(2)=;
由于是的单调减少函数,置信区间为, 即为(0.3000,2.1137)。
五、(本题10分)解:(1) 即的单侧置信下限为;
(2)。
六、(本题14分)解:
(1)检验假设H0:2=1,H1:2≠1;
取统计量:;
拒绝域为:2≤=2.70或2≥=19.023, 经计算:,由于2, 故接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。
(2)检验假设;
取统计量:~ ;
拒绝域为;
<2.2622 ,所以接受, 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L)。
综上,认为工厂生产正常。
七、(本题10分)解:(1) 拒绝域为; (2)由(1)解得接受域为(1.08,8.92),当=6时,接受的概率为 。
八、(本题8分)证明:因为,由分布的定义可令,其中,与相互独立,所以。
当时,与服从自由度为的分布,故有, 从而 。
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