第十一章

　无穷级数 作业29

　常数项级数的概念和性质 1．按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和：

　（1） ；

　 解：因为 所以

　因此由定义可知该级数收敛 （2）； 解：因为 所以 ，因此由定义可知该级数发散 （3） ； 解：因为 所以 ，因此由定义可知该级数收敛

　（4）； 解：因为 ，依次重复 所以，，不存在 因此由定义可知该级数发散 2．利用基本性质判别下列级数的敛散性：

　（1）； 解：观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的， 由级数的基本性质，该级数发散 （2）； 解：观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数，逐项相加得到的， 由级数的基本性质，该级数收敛 （3）； 解：观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的逐项相加得到的， 由级数的基本性质，该级数发散 （4）． 解：观察发现该级数一般项为，但 由级数收敛的必要条件，该级数发散

　作业30

　正项级数及其收敛性 1．用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性：

　（1）； 解：由于，而是收敛的等比级数 从而由比较判别法，该级数收敛 （2）． 解：由于，而是收敛的等比级数 从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛 2．用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性：

　（1）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 （2）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 （3）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛

　（4）． 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 3．用柯西判别法判定下列级数的敛散性：

　（1）； 解：由于， 从而由柯西判别法，该级数收敛 （2）． 解：由于， 从而由柯西判别法，该级数收敛 4．用判别法判定下列级数的敛散性：

　（1） ； 解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散 （2）． 解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散 5．设为正整数，证明：

　（1） ； 解：对来说， 由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 再由级数收敛的必要条件可知 （2）． 解：对来说， 由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 再由级数收敛的必要条件可知， 从而由无穷大量与无穷小的关系

　作业31

　交错级数与任意项级数的收敛性 1．判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：

　（1） ； 解：该级数为交错级数，其一般项的绝对值为 单调减少， 且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛 再由于，由判别法知发散， 从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛 （2）； 解：由于，由判别法知，绝对收敛 （3） ； 解：由于不存在， 由收敛级数的必要条件，从而该级数发散 （4）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛 （5）．

　 解：当时显然收敛，否则， 当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛， 当时级数变为发散 当时级数变为条件收敛 7．若存在，证明绝对收敛． 证明：由已知 从而绝对收敛． 8．若级数绝对收敛，且，试证：级数和都收敛．级数是否收敛？为什么？ 证明：若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件 由，从而级数和都有意义， 而，从而级数和都收敛。

　级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。

　作业32

　幂级数及其求和 1． 求下列幂级数的收敛半径和收敛域：

　（1）； 解：

　当时即为条件收敛， 从而收敛域为 （2）； 解：

　当时即为，由于从而级数发散， 因此收敛域为 （3） ； 解：当时， 当时幂级数即为，由于从而级数发散 当时幂级数即为，由于且从而级数收敛。因此收敛域当时 当时， 当时即为即为，由于从而级数发散， 从而当时收敛域为 （4）； 解：

　当时即为条件收敛， 从而收敛域为 （5） ； 解：

　因此收敛域为 （6）． 解：对于， 当时即为条件收敛，当时即为发散， 从而原级数的收敛半径为1，收敛域为 2．求下列幂级数的收敛域及其和函数：

　（1） ； 解：

　当时，即为条件收敛，当时即为发散， 从而幂级数的收敛域为 设，则 从而 故 （2）； 解：

　当时，即为发散， 从而幂级数的收敛域为 故， （3）． 解：

　从而幂级数的收敛域为 设，则， ， 由特征方程，得通解 再由得特解 （4），并求数项级数的和． 解：，当时发散， 从而幂级数的收敛域为 设，则，

　作业33

　函数展开成幂级数 1．将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）：

　（1）； 解：

　 （2）； 解：

　 （3）； 解：

　 （4）(提示：利用)； 解：，

　（5）． 解：

　 2．将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）：

　（1）；

　解：

　 （2）． 解：

　 3．求下列函数的幂级数展开式，并确定其成立区间：

　（1）；

　 解：

　 （2）． 解：

　 4．展开为的幂级数，并证明：． 解：

　 从而 作业34

　傅里叶级数 1．下列周期函数的周期为，它在一个周期上的表达式列举如下，试求 的傅里叶级数展开式． （1）； 解：

　（2）； 解：

　（3）； 解：

　（4）． 解：

　 2．将下列函数展开成傅里叶级数：

　（1）； 解：

　 （2）； 解：

　3．将下列各函数分别展开成正弦级数和余弦级数：

　（1） 解：展开成正弦级数，则作奇延拓，

　展开成余弦级数，则作偶延拓，

　， （2） 解：展开成正弦级数，则作奇延拓，

　展开成余弦级数则，作偶延拓，

　 ， 作业35

　一般周期函数的傅里叶级数 1．设是周期为6的周期函数，它在上的表达式为

　试求的傅里叶展开式． 解：

　2．在指定区间上展开下列函数为傅里叶级数：

　 解：取作周期延拖在限定即可，函数为偶函数，故

　 时 时

　 3．将函数

　分别展开成正弦级数和余弦级数． 解：展开成正弦级数，则作奇延拓，

　 展开成余弦级数，则作偶延拓，

　 ， 4．试将函数展开成周期为8的正弦级数． 解：展开成正弦级数，则作奇延拓，

　 ，

　 第十一章《无穷级数》测试题

　 1．选择题：

　（1）对级数，“”是它收敛的

　B

　条件．

　 A．充分；

　 B．必要；

　 C．充要；

　 D．非充分且非必要．

　 （2）“部分和数列有界”是正项级数收敛的

　C

　条件．

　 A．充分；

　 B．必要；

　 C．充要；

　 D．非充分且非必要．

　 （3）若级数绝对收敛，则级数必定

　 A

　 ．

　 A．收敛；

　 B．发散；

　 C．绝对收敛；

　 D．条件收敛．

　 （4）若级数条件收敛，则级数必定

　 B

　 ．

　A．收敛；

　 B．发散；

　 C．绝对收敛；

　 D．条件收敛．

　2．用适当的方法判定下列级数的敛散性：

　（1） ；

　解：因为 从而该正项级数发散 （2）； 解：因为 从而该正项级数收敛 （3）；

　解：因为 从而该正项级数收敛

　（4）； 解：因为 从而该正项级数收敛 （5） ； 解：因为 从而该正项级数发散 （6）； 解：因为 从而该正项级数发散 （7）； 解：因为 从而该正项级数发散 （8）； 解：设，则而，时， 从而

　收敛的必要条件满足。

　设，则同理可以推出

　而的级数收敛，从而原正项级数也收敛 （9），其中均为正数，且； 解：用柯西判别法 当时发散，当时该正项级数收敛 当时不能判定敛散性。

　（10）． 解：由积分中值定理， 从而 有比较判别法收敛 3．判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：

　（1） ； 解：令，则时 从而单碟减少，又 从而以来布尼茨判别法收敛 但是，因此是条件收敛而不能绝对收敛 （2）； 解：

　从而该级数是交错级数，由于单碟减少且 从而以来布尼茨判别法收敛 但是， 因此是条件收敛而不能绝对收敛 （3）； 解：因为 从而该级数绝对收敛 （4）． 解：去掉前面有限项即当足够大时为交错级数， 由于，对足够大的单碟减少且 从而以来布尼茨判别法收敛但不绝对收敛 4．求下列极限：

　（1）； 解：由于单调增加且 从而 因此由夹逼准则 （2）． 解：令，由于 看 从而，因此 5．求下列幂级数的收敛半径和收敛域：

　（1）； 解：看， 而因一般项极限不为零而发散 从而该幂级数的收敛半径也为，收敛域为 （2）． 解：为收敛半径 考虑端点，当时收敛域为；当时收敛域为； 当时收敛域为；

　6．求下列幂级数的收敛域及其和函数：

　（1）； 解：为收敛半径 考虑端点则知收敛域为。

　在收敛域内设，则 在收敛域内再设，则

　（2）． 解：解：为收敛半径 考虑端点则知收敛域为。

　在收敛域内设，则 7．将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）：

　（1）；

　解：由于

　 （2）； 解：由于

　， 从而 （3）． 解：由于

　， 从而

　8．将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）：

　（1）； 解：

　 （2）． 解：，而 从而 9．将下列函数展开成傅里叶级数：

　 解：该函数为奇函数，延拓为周期的周期函数展开，

　 当 10．将函数在区间上分别展开成正弦级数和余弦级数． 解：该函数延拓为奇函数，再延拓为周期的周期函数展开得正弦级数，；

　 该函数延拓为偶函数，再延拓为周期的周期函数展开得余弦级数，；