初三第一学期期末学业水平调研 数学 2019．01 学校___________________

　姓名________________

　准考证号__________________ 注意事项 1. 本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分。

　2. 在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。

　3. 调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

　4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

　5. 调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。

　一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线的顶点坐标为 A．

　B．

　 C．

　D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为

　A．

　 B．

　C．

　 D． 3．方程的根的情况是 A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．只有一个实数根 4．如图，一块含30°角的直角三角板绕点顺时针旋转到△，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为

　A．150°

　 B．120° C．60°

　 D．30°

　 5．如图，在平面直角坐标系中，B是反比例函数的图象上的一点，则矩形OABC的面积为 A．

　B．

　 C．

　D． 6．如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E， 若，则△和△的面积之比等于 A．B．C．D．

　7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘54cm，且与闸机侧立面夹角30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

　图1

　图2 A．cm

　 B．cm

　C．64cm

　D． 54cm

　8．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是 A． B. C． D.

　 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程的根为．

　10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．

　11．已知抛物线的对称轴是，若该抛物线与轴交于，两点，则的值为．

　12．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象有两个交点，则的取值范围是． 13．如图，在平面直角坐标系中，有两点，，以原点为位似中心，把△缩小得到△.若的坐

　标为，则点的坐标为．

　14．已知，是反比例函数图象上两个点的坐标，且，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．

　15．如图，在平面直角坐标系中，点，判断在四点中，满足到点和点的距离都小于2的点是

　．

　 16．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，⊙的半径为1，直线切⊙于点，则线段的最小值为

　 ．

　 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：．

　18．如图，与交于点，，，，，求的长．

　 19．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，求的值．

　 20．近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：

　（单位：度） … 100 250 400 500 … （单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … （1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________； A．

　B． C．

　D． （2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米． 21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.

　求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，

　 ① 作射线OP； ②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ③连接并延长BA与⊙A交于点C； ④作直线PC； 则直线PC即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：

　证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．

　 22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离的长． 参考数据：°，°，°， °，°，°．

　 23．在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的一个交点是． （1）求的值； （2）设点是双曲线上不同于的一点，直线与轴交于点． ①若，求的值； ②若，结合图象，直接写出的值．

　24．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点顺时针旋转，交⊙O于点D，连接BD．若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间距离为cm，两点间的距离为cm．

　小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整：

　（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：

　/cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76

　1.66 0 （2）在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

　（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为cm．

　25．如图，AB是⊙O的弦，半径，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE 与AB交于点F． （1）求证：PC=PF； （2）连接OB，BC，若，，，求FB的长.

　26．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：，． （1）当时， ①求抛物线G与轴的交点坐标； ②若抛物线G与线段只有一个交点，求的取值范围； （2）若存在实数，使得抛物线G与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围． 27．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD． （1）如图1， ①求证：点在以点为圆心，为半径的圆上. ②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________. （2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD； （3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出的值． 图1

　 图2

　图3

　 28．在平面直角坐标系中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形，则称正方形为点，的逆序正方形．例如，当，时，点，的逆序正方形如图1所示．

　 图1

　图2

　（1）图1中点的坐标为； （2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为； （3）已知正方形ABCD为点，的逆序正方形. ①判断：结论“点落在轴上，则点落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；

　②⊙的圆心为，半径为1.若，，且点恰好落在⊙上，直接写出的取值范围.

　备用图

　初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考 2019．01 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A B B C A 第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a︳越大，开口越小，显然a1<a2=a3<a4,，可知a1最小。

　二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．，

　10．

　 11． 2

　 12．

　 13．

　 14．答案不唯一，如：

　 15． 16． 第16题：OQ2=OP2-1,OP最小时，OQ最小，OPmin=2，∴OQmin= 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）

　解：原式= ………………………………………………………………3分

　 =．…………………………………………………………………………5分 18．（本小题满分5分）

　证明：∵，，

　 ∴． …………………………………………………………3分

　 ∴．

　 ∵， ∴．……………………………………………………………………… 5分 19．（本小题满分5分） 解：依题意，得．…………………………………………………… 3分 ∴． ∵， ∴．∴．……………………………………… 5分 20．（本小题满分5分） 解：（1）B．……………………………………………………………………………… 3分 （2）．………………………………………………………………………… 5分 21．（本小题满分5分）

　（1）补全的图形如图所示：

　………………………………………3分 （2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………… 4分

　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………… 5分 22．（本小题满分5分）

　解：在中，

　 ∵，

　 ∴．…………………………………………………………2分

　 在中，

　 ∵，

　 ∴．……………………………………………………….. 4分

　 ∴．

　 ∵，°，°，

　 ∴．………………………………………………………………………5分

　答：此时观光船到大桥段的距离的长为千米． 23．（本小题满分6分）

　解：（1）∵直线经过点，

　∴．……………………………………………………………………… 1分 ∴ 又∵双曲线经过点，

　∴．……………………………………………………………………… 2分

　（2）①当时，点的坐标为．

　∴直线的解析式为．………………..………………………. 3分

　∵直线与轴交于点，

　∴．……………………………………………………...4分

　②或．………………………………………………………………… 6分 24．（本小题满分6分）

　解：本题答案不唯一，如：

　 （1） /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76

　1.66 0 …………………………………………………………………………………………… 1分 （2）

　…………………………………………………………………………………………… 4分 （3）或．……………………………………………………………... 6分 说明：允许（1）的数值误差范围；（3）的数值误差范围 25．（本小题满分6分） （1）证明：如图，连接． ∵，

　∴°．

　∵与⊙相切于点，

　 ∴°．……………… 1分

　∴°．

　 ∵，

　∴．………………………………………………………… 2分

　∴．

　又∵，

　∴．

　∴．……………………………………………………………… 3分 （2）方法一：

　解：如图，过点作于点．

　 ∵，，

　 ∴．

　 ∵，

　 ∴°．

　 ∴°．

　 在中，，

　 可得°，°．…………...… 4分

　 在中，，

　 可得．…………………………………………………….. 5分

　 ∴．

　 ∴．

　 ∴．

　 ∴．…………………………………………6分 方法二：

　解：如图，过点作于点． ∵，，

　 ∴°．

　 ∵，

　 ∴°．

　 在中，，

　 可得°．……………………………………………… 4分

　 ∴．

　 ∵，，

　 ∴．

　 在中，，．

　 ∴，．…………………………………………………… 5分

　 ∴．

　 在中，，．

　设，则，．

　 ∵，

　 ∴．

　 ∵，， ∴∽ ∴．

　 ∴．

　 ∴．…………………………………………………… 6分 方法三：

　解：如图，过点作于点，连接． ∵，，

　 ∴． ∴°．…………………………… 4分 在中，，

　设，则，． 在中，°，， ∴，． ∴．………………………………………………… 5分 ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴，，． ∵， ∴． ∴．…………………………………………………… 6分 方法四：解：如图，延长CO交AP于点M． ∵，，

　 ∴．

　 在中，，，

　 可得．…………………………4分 ∵，，

　 ∴． 在中，，

　可得，．

　………………………………………..5分 ∴． 在中，， 可得，． ∴，． ∴．…………………………………………………… 6分 26．（本小题满分6分）

　解：（1）①当时，．…………………… 1分

　当时，，

　解得，．

　∴抛物线与轴的交点坐标为，． …………………………………………………………………2分

　②当时，抛物线与线段有一个交点．

　当时，抛物线与线段有两个交点．

　结合图象可得．……………………… 4分

　 （2）或．……………………………………………………………… 6分 （2）解析：

　y=4x2-8ax+4a2-4，y=2(x-a)2-4, ∴顶点(a,-4)，x1=a+1，x2=a-1 若抛物线与x轴交于E、F两点，则EF= ∣x1- x2∣=2 AN=∣xA- xN∣=∣n+1∣ AN≥EF时，线段AN与抛物线G有两个交点，即n≤-3或 n≥1。

　图1 27．（本小题满分7分） （1）①证明：连接，如图1．

　∵点与点关于直线对称，

　∴．

　……………………… 1分

　∵，

　∴．

　∴点在以为圆心，为半径的圆上．………………… 2分

　图2

　 ②． ……………………………………………………………………………3分 （2）证法一：

　证明：连接，如图2．

　∵°，

　∴°．

　∵，

　∴°°．

　∵点与点关于直线对称，

　∴．

　∴是等边三角形． …………………………………………………………………………………………… 4分

　∴，°．

　 ∵，°，

　∴是等边三角形．

　∴，°．

　∵，，

　∴．

　∴．

　∴．……………………………………………………………… 5分 图2 l E D C B A 证法二：

　证明：连接，如图2．

　∵点与点关于直线对称，

　∴．

　∴．

　∵，

　∴．

　∵，，

　∴°．

　∴．

　∵°，

　∴是等边三角形．

　∴． ∴≌………………………………………………………4分

　∴．……………………………………………………………… 6分

　（3）．………………………………………………………………………………… 7分 （3）解析：

　方法一：O是AC中点，BO+OF≥BF,设BC=4，BO=√10,OF=√2，即BFmax=√10+√2，

　 此时tan∠FBC=1/3。

　方法二：以AC为直径作圆O，∠AFC=90o, ∴F必在⊙O上，又，圆外一点到圆上最长距

　 离经过圆心，∴B、O、F三点共线时BF最长。计算如上。

　 28．（本小题满分7分）

　解：（1）图1中点的坐标为．…………………………………………… 1分

　（2）改变图1中的点的位置，其余条件不变，则点的纵坐标不变， 它的值为3．………………………………………………………………3分

　（3）①判断：结论“点落在轴上，则点落在第一象限内．”错误．

　反例如图所示：

　 …………………………………………………………………………………………… 5分 ② ．…………………………………………………………… 7

　方法一：

　 可证:C点坐标（b+a,b）A、B、C三点共圆，圆心为AC中点Q点，若C点落在⊙T上，又b>0,则⊙T所在极限位置为⊙T1与⊙T2(⊙T2与直线相切）所在位置。

　T1（3，0） a=4时，C(4+b,b)， △ABB1≌△B1HC1 C1H=B1B=b CH=BH-BC=b ∴C1H= CH 设C点所在直线y=mx+n ∴m=1 过点C(4+b,b) ∴y=x-4 ⊙T2与直线相切 ∴CT2=√2 ∴T2（4+√2，0） ∵b>0 ∴

　方法二：

　方法三：

　方法四：