辅助圆思想 题型一：共顶点等线段 【例1】 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． ⑴ 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

⑵ 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（2012年北京中考节选） 【解析】 ⑴ 图略，． ⑵ 如图，连接， 根据对称性可知，， 以为圆心、长为半径作， 则， ∴． 【例2】 已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点． ⑴ 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是 ___________，此时________；

⑵ 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；

（海淀一模） 【解析】 ⑴ 等边三角形，1；

⑵ 证明：连接、． 由题意，得，，． ∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上． ∴． ∵为中点，∴在中，． 在中，． ∴． ∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上． ∴． 又∵，∴． ∴．∴． 由题意，，又． ∴．∴． 在Rt中，． 题型二：
共斜边的直角三角形 ∵， ∴．∴． 【例3】 已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

【解析】 与的数量关系是相等 ． 常规证法：过点作，，垂足分别为点． ∵，易得，∴， 而，∴． ∵是的平分线，∴， 又∵，∴．∴． 辅助圆证法：∵，∴四点共圆， ∵平分，∴， ∴． 【例4】 如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：． 【解析】 连接 ∵四边形是正方形，∴， ∵是外角平分线，∴，∴， ∵，∴四点共圆， ∴，∴，∴． 【例5】 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF． ⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；

② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长． 备用图 （朝阳一模） 【解析】 ⑴ 在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2， ∴PB= ，． ∵， ∴． ∴． ∴ △ABP∽△DPC． ∴，即． ∴PC=2． ⑵ ① ∠PEF的大小不变． 理由：过点F作FG⊥AD于点G． ∴四边形ABFG是矩形． ∴． ∴GF=AB=2，． ∵， ∴． ∴． ∴ △APE∽△GFP. ∴． ∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=． 即tan∠PEF的值不变． ∴∠PEF的大小不变． ② . 辅助圆证法：
连接， ∵，∴四点共圆， ∴，∴不会发生变化． 题型三：
四点共圆的简单应用 【例6】 如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：． 【解析】 ∵，∴是圆内接四边形， ∵平分，∴， ∴． 【例7】 已知：如图，正方形中，为对角线，，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围． 【解析】 ∵是对角线，∴， ∵，∴四点共圆， ∴， ∴的大小不发生改变． 【例8】 （海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. ⑴ 连结，证明：；

⑵ 如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长; ⑶ 如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线. 【解析】 ⑴ 如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点， ∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A， ∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF ∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点， ∴F =A=E，F =A=D，∠BD =90°，∠CE =90°， ∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴. ⑵ 如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE. ∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3 ∵AC为直径，∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==， ∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°， ∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90° ∴AQ=AC=AG= 同理：∠BAP=90°，AB=AP= ∴CG=,∠GAB=∠QAP ∴，∴PQ=BG ∵∠ACB=90°，∴BC== ∴BG==，∴PQ=. ⑶ 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM. ∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS， 由⑵已证∠CAQ=90°, AC=AQ，∴∠2+∠3=90° ∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3, 同理：∠2=∠4, ∴，∴AM=CS，∴AM=BR， 同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°, ∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90° ∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上， A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上， 且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8, ∠6=∠7, ∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM ∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°， ∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°， ∴PA⊥AB,又AB是半圆直径， ∴PA是半圆的切线. 训练1. 如图，分别切于两点，满足，且，，求的度数． 【解析】 ∵都是的切线，∴ ∵， ∴ ∴，∴三点都在以为圆心，为半径的圆上． 设，则，∴ ∵，∴ 在中，， 即 ∴，∴，即． 训练2. 如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：． 【解析】 连接 ∵是的中点，∴， ∴， ∴， 即，∴四点共圆， ∴，， 很明显，∴， ∴． 训练3. 如图，已知在五边形中，，， 且．求证：． 【解析】 连接， ∵，， ∴，∴， ∴，∴四点共圆． 同理四点共圆， ∴五点共圆， ∵，∴． 题型一 共顶点等线段 【练习1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结． ⑴ 求证：是等边三角形；

⑵ 点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、． ①若，直接写出的度数；

②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；
若不变，求出的度数；

【解析】 ⑴ 证明：如图， ∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3，0），B（0，）． ∵C（3，0）．∴OA＝OC． 又y轴⊥AC，∴AB＝BC． x O A B C 1 P E y 1 在Rt△AOB中， ．∴∠BAC=60°. ∴△ABC是等边三角形. ⑵ ①答：∠AEP=120°． 　　 ②解：如图，作EH⊥CP于点H， ∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形， ∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°． ∴∠BEH=60°． ∵ED垂直平分AP，∴ EA=EP． ∴ EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP， 在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝， ∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°． ∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°． 辅助圆的证法：
∵点在轴上，∴， ∵，∴以为圆心、长为半径作圆，在该圆上， ∴． 题型二 共斜边的直角三角形 【练习2】 如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，求的长． 【解析】 连接， ∵是正方形，∴，， ∵，∴四点共圆， ∴． 在中，， ∴， 设， 则， 解得，∴， ∴． 题型三 四点共圆的简单应用 【练习3】 设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：． 【解析】 连接， 由题意可知四点共圆， ⑴ 若在线段上，则， ∵，∴四点共圆， ∴，∴． ⑵ 若在的延长线上，则， ∵，∴四点共圆， ∴，∴． ⑶ 若在的延长线上，则， ∵，∴四点共圆， ∴，∴， ∴． 综上所述，命题成立．