高等数学统考试卷（2003－2004学年第二学期）

　参改解答 一、1．（漏“一”号扣一分）

　 2．

　 3．

　4．

　 5．y＝

　二、6．D

　7．D

　8．C

　9．B

　10．C

　三、11．解法1．记

　 ，

　解：将原方程两边同时对x、y求导(z=z(x,y))得

　 （1）

　 （2）

　 联立（1）、（2）消去Gu、Gv得

　 12．设三条移长分别为x,y,z，则长方体表面积为

　 求U=2xy+2zx+2yz，其中x+y+z=3a 方法一：由得

　 得x=y=z=a为所求唯一解

　 故当x=y=z=a时 u=6a2为所求条件最大值

　方法二：作

　 解科x=y=z=a（唯一解）

　 （一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）

　 且等号仅当x=y=z=a时或立，故x=y=z=a时u取得条件最大值

　 13．记

　令即代入曲面方程

　 所求点为(2,1,-2) 或

　(-2,-1,2)

　 14．原式=

　15．方法一：（投影法，柱面坐标法）

　 原式=

　 方法二：截面法，用平行于xoy平面的平行平面截所给立体域截面积

　 原式

　 15．方法：（球面坐标法）

　 作锥面将分为1及2两部分

　 原式

　 17．

　 故积分与路径无关

　 选L1：，从点A(5,0)到B(3,4)

　亦可改选L2折线A(5,0), C(3,0), B(3,4)

　18．作辅助

　 原式＝

　 18．

　 19．

　 当|x|<|原级数绝对收敛，当|x|>|原级数发散

　 当x=1

　当＞1时原级数收敛

　 当时原级数发散

　 当x=－1

　当＞1时原级数绝对收敛

　 当0＜时原级数条件收敛

　 当原级数发散

　 20．记

　故R＝

　 当

　幂级数绝对收敛

　 当

　幂级数发散

　 21．

　 解：标准化

　 方法一：先解

　求得

　 改设

　代入方程（*）

　故得：

　方法二：

　方法三：原方程为

　 22．先解

　 由

　得

　 故知

　 再求

　的特解，

　 当，

　 通解为

　 当a=2，

　 通解

　 当a=3

　 通解