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抓住关键特征,破解中考压轴题——一道与正方形有关中考压轴题的多角度求解
2023-01-17 08:00:10 ℃张斌武
(甘肃省天水市育生中学,甘肃天水,741000)
图1
图2
由平行线的性质,易知∠FGC=∠ACE,∠GFE=∠CEF.
由正方形的性质,易知AF=FG.
由旋转的性质,易知AF=CE,所以FG=CE.
从而可知△FGQ≌△ECQ,所以FQ=EQ,即点Q是线段EF的中点.
基于以上分析,笔者从不同角度出发,给出本题的多种解法.
视角1利用特殊化策略求解
根据已知条件,点E是边BC的延长线上的动点,点F是边AB上的动点,且AF=CE.不论点E,F运动到什么位置,点Q恒是线段EF的中点,它是运动不变量.因此,对于一道填空题而言,可考虑利用特殊位置法求解.
图3
解法1如图3,当点F与点A重合时,点E与点C重合,点P与点C重合,即线段EF与正方形ABCD的对角线AC重合,线段DP与正方形ABCD的边DC重合,此时点Q是对角线AC的中点.
图4
解法2如图4,当点F与点B重合时,点Q和点P均与点C重合,线段AQ与正方形ABCD的对角线AC重合,线段DP与正方形ABCD的边DC重合,此时点Q是线段EF的中点.
点评当几何问题中的已知条件和所求量之间的逻辑关系不明显时,可考虑动点或动线段的特殊位置,这是解决几何问题的一种特殊化策略,具有化难为易,化繁为简之效果,可快速得出问题的答案,是解决选此类择题或填空题的一种“秒杀”法.构造特殊图形时,要注意保证运动不变量恒成立.
视角2利用相似三角形的性质求解
利用相似三角形的性质将AQ·DP转化为与线段DQ有关的另两条线段之积,然后通过列方程求解.
图5
解法3如图5,连接DQ,过点F作FG∥BE,交AC于点G.
易知△DEF是等腰直角三角形,所以∠DFE=45°.
由正方形的性质,易知∠DAC=45°,所以∠DFE=∠DAC.
又因为∠AGD=∠QGF,所以∠ADF=∠AQF.
易知△ADF≌△CDE,所以∠ADF=∠CDE.
从而可知∠AQF=∠CDE.
又易知∠AFQ=∠DPE,所以△AFQ∽△EPD.
所以AQ·DP=FQ·DE.
易知△FGQ≌△ECQ,所以FQ=EQ.
①
②
视角3利用“设而不求”解题法求解
图6
解法5如图6,连接DQ,过点F作FG∥BE,交AC于点G.过点Q作QH⊥AB,垂足为H.
设正方形ABCD的边长为m,AF=x,则CE=x.
点评在数学问题中,如果已知量较少,可考虑利用“设而不求”解题法求解.在解决数学问题时,预先设定一些未知数,把它们当成已知数,然后根据数学问题中各量之间的逻辑关系列出方程,求得未知数.或预先设定一些不需要求出未知数,然后根据数学问题中各量之间的逻辑关系,将未知数消去或代换.“设而不求”解题法能够起到化繁为简,化难为易的作用.
视角4利用解析法求解
图7
解法6以直线BC为x轴,以直线AB为y轴,建立平面直角坐标系.
设A(0,m),F(0,n),则C(m,0),E(2m-n,0).
点评解析法是解决与直角三角形、等腰三角形、正方形等几何图形有关的几何计算问题的一种重要方法.利用解析法解决平面几何问题,一是要根据图形特征建立适当的平面直角坐标系,将有关线段的长度转化为某些关键点的坐标;
二是要将几何问题转化为代数问题,通过求某些直线的表达式或某些点的坐标解决问题.通过利用解析法解决平面几何问题,突破了学生解决平面几何问题的思维定势,促使学生重新审视已有的平面几何问题的求解方法与思路,有利用培养学生的创新思维和创新意识,从而提升学生的数学创新素养.
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