管锡敏,张 会,吴昭景

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东 烟台 264005)

随着飞行器行业的快速发展及其应用范围的逐渐扩大, 不同领域均引进了不同类型的旋翼机, 其中应用最广泛的是四旋翼飞行器。四旋翼飞行器具有结构简单、垂直起降、稳定性高等特点, 被广泛地运用到军事侦察、作战以及商业科研等领域[1]。由于四旋翼飞行器具有欠驱动、非线性和强耦合性等动力学特性, 使得四旋翼飞行器比其他飞行器更难控制, 且四旋翼在飞行过程中会受到系统不确定性, 未知干扰等诸多问题的影响, 这启发我们对四旋翼的轨迹跟踪控制策略展开研究。

在实际工程的应用中, 四旋翼飞行器早期的研究大部分集中在线性控制上。例如文献[2-3]设计比例-微分(PD)控制器来镇定四旋翼姿态。文献[4-8]提出了比例-积分-微分(PID)和线性二次调节器(LQR)控制方法, 其中PID控制器运行简单且稳定性较高, LQR控制是一种成熟的最优控制方法, 但是该方法设计的控制器对外界干扰的鲁棒性、跟踪精度等性能较差。随着控制技术的发展, 越来越多的非线性控制方案得到开发与应用。例如XIONG等[9]提出将四旋翼模型分为全驱动子系统和欠驱动子系统, 通过利用平移和旋转动力学的级联特性来镇定四旋翼系统。MADANI等[10]提出了一种反步控制法来镇定四旋翼飞行器。文献[11]讨论了四旋翼非线性控制器的反步控制法, 利用该方法, 导出了一个具有外部运动学位置控制回路和内部力学姿态控制回路的直观结构控制器。

滑模控制是一种特殊的非线性控制, 具有响应速度快和强鲁棒性等优点。文献[12]将系统分为全驱子系统和欠驱子系统, 针对欠驱子系统设计了滑模控制器, 将该控制器与全驱动子系统控制器结合使四旋翼飞行器达到一个期望的位置和偏航角, 同时保持俯仰和滚转角度为零。文献[13-14]提出了一种滑模控制方法来镇定欠驱动系统, 设计的控制器对模型的不确定性有着较强的鲁棒性, 且使闭环系统全局稳定。文献[15]在考虑外界干扰的情况下, 采用滑模控制方法设计姿态子系统控制器, 使得姿态子系统以指数收敛速率快速跟踪到参考输入信号及中间指令信号。BOUABDALLAH等[16]设计了反步滑模控制器来镇定四旋翼飞行器的姿态子系统。

本文针对四旋翼飞行器的轨迹跟踪控制问题, 将整个控制系统划分为姿态子系统和位置子系统, 并进行了分层控制。受到文献[17-18]的启发, 设计以反步滑模法为基础的跟踪控制。本文结构内容如下: 第1节根据经典的6-DOF四旋翼飞行器模型, 建立受干扰的动力学方程, 并提出控制目标。

第2节根据系统的非线性动态方程, 对姿态子系统设计了反步滑模控制策略, 对位置子系统设计了反步控制策略。第3节基于控制器的设计, 对闭环误差系统进行稳定性分析。第4节通过仿真实验来验证本文中提出控制器的有效性。最后, 第5节给出结论。

符号说明:对于向量x∈n,xT表示为向量x的转置;|x|表示x的欧几里得范数;m×n为m×n实矩阵空间;+表示非负实数集合;In×n表示n×n单位矩阵;sign(·)为符号函数;E(·)是数学期望;λmin(·)为矩阵的最小特征值;K∞类函数表示+→+的连续函数, 是严格递增且K(0)=0, K(∞)=∞;Ci表示具有i阶连续导数的函数集。

1.1 问题提出

建立动力学模型(图1)是对四旋翼飞行器进行飞行控制的基础。

由于四旋翼飞行器可能会受到机体形变、气流间相互干扰及弹性振动等因素的影响, 这导致想要建立完整的动力学模型是很困难的, 且对应的控制也难以实现。

所以, 为了便于推导, 本文给出如下假设:

假设1 四旋翼飞行器为均匀对称的刚体;四旋翼飞行器的重力和所受阻力不受飞行速度和高度等因素影响;由四个转子分别产生的升力和扭转力矩与转速的平方成正比。

图1 四旋翼飞行器模型

如图1, 首先建立惯性坐标系(Og-XgYgZg)和机体坐标系(Ob-XbYbZb)。ξ=[x,y,z]T表示惯性坐标系下的四旋翼位置,η=[φ,θ,ψ]T表示四旋翼的姿态欧拉角, 其中φ,θ和ψ代表四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角和偏航角。V=[u,v,w]T表示惯性坐标系下的线速度,Ψ=[p,q,r]T表示机体坐标系下的角速度。Rgb是惯性坐标系到机体坐标系的转换矩阵, 表达式为

(1)

其中,s*和c*分别为sin(*)和cos(*)。T(η)是欧拉角矩阵, 表达式为

(2)

根据牛顿动力学分析[19], 四旋翼飞行器在惯性坐标系下的动力学模型为

(3)

考虑四旋翼飞行器受到随机扰动d=[dξ,dη]T∈6的影响,其中dξ=[dx,dy,dz]T∈3是位置扰动加速度,dη=[dφ,dθ,dψ]T∈3是姿态扰动加速度。结合经典的动力学模型(3), 可以获得受随机扰动的四旋翼动力学模型为

(4)

为了使得随机扰动在物理上更容易实现,将随机扰动加速度dx,dy,dz,dφ,dθ,dψ作为有色噪声。

定义四旋翼飞行器(4)有四个控制输入量, 分别为升力控制量U1、翻滚角控制量U2、俯仰角控制量U3和偏航角控制量U4。根据模型(4), 得到惯性坐标系下带有随机扰动的四旋翼方程为

(5)

由于四旋翼系统是欠驱动系统, 要设计四个控制, 使六个状态跟踪到六个期望的位姿很难实现。为了实现全状态轨迹跟踪, 我们通过将四旋翼系统改写为全驱动系统, 设计全驱控制使全状态位姿跟踪到全状态期望轨迹。

下面, 引入两个虚拟控制输入ux和uy为

(6)

根据式(6)反解出两个期望的翻滚角和俯仰角为

(7)

由式(6), 将受随机扰动的四旋翼飞行器(5)化简为

(8)

其中,U1,U2,U3,U4是四个实际控制,ux和uy是两个虚拟控制,[x,y,z,φ,θ,ψ]是四旋翼的六个位姿。

本文的主要目标是设计控制器[ux,uy,U1,U2,U3,U4],使得四旋翼系统的全状态[x,y,z,φ,θ,ψ]尽可能地跟踪到期望轨迹[x*,y*,z*,φd,θd,ψ*],其中,φd,θd是表达式(7)给出的两个期望的姿态(不是任给的参考轨迹), [x*,y*,z*,ψ*]是四个期望的位姿(可自由选择的参考轨迹), 并且x*,y*满足四阶连续可导,z*,ψ*满足二阶连续可导。

1.2准备知识

本文中四旋翼系统(4)的随机扰动dx,dy,dz,dφ,dθ,dψ是有色噪声, 这里用二阶矩平稳过程来刻画。

为了便于在物理系统上可实现, 要求有色噪声的二阶矩必须具有有界性, 所以, 给出以下假设条件。

假设2 随机过程d(t)∈r是Ft自适应且分段连续的, 存在常数D>0, 满足

(9)

(10)

则系统存在全局唯一解, 且系统是m次矩噪声-状态稳定(NSS-m-M)。

引理2[22-23](Bellman-Gronwall引理) 若函数y(t)在t>t0上是绝对连续并且满足

这里k(t)和h(t)在每个有限区间是几乎处处连续的可积函数, 则对所有的t>t0, 有

引理3[24](Young不等式) 对任意的两个向量x,y∈n, 有

上一节将系统分为姿态子系统(内环系统)和位置子系统(外环系统)。本节分别对不同子系统提出控制策略。对于姿态子系统提出反步滑模控制策略, 确保系统的姿态信号η=[φ,θ,ψ]T跟踪到期望的姿态η*=[φd,θd,ψ*]T。针对位置子系统, 提出反步控制策略, 使得位置信号ξ=[x,y,z]T跟踪到给定的参考位置ξ*=[x*,y*,z*]T。

2.1 姿态子系统的控制器设计

根据模型(4), 得到受扰动的姿态子系统为

(11)

针对式(11), 设计控制器MB=[U2,U3,U4]T, 使姿态角η=[φ,θ,ψ]T跟踪到期望的姿态角η*=[φd,θd,ψ*]T。

首先, 定义姿态角跟踪误差

eη=η*-η,

(12)

其中,eη=[eφ,eθ,eψ]T∈3,η*是η的期望姿态。

对式(12)求导

(13)

选取Lyapunov函数

(14)

对式(14)求导, 然后将式(13)代入, 得到

(15)

其中,A1∈3×3是待设计的正定对角矩阵。

由式(15)选取滑模面

(16)

对式(16)求导

(17)

选取Lyapunov函数

(18)

对式(18)求导

(19)

将式(11),(16),(17)代入式(19), 整理得

(20)

根据Young不等式, 有

(21)

其中,c1>0是待设计的参数。

将式(21)代入式(20)得

(22)

最后, 选取姿态控制扭矩

(23)

其中,ε1>0是待设计参数,K1∈3×3是待设计的正定对角矩阵。

将式(23)代入式(22)中, 因此

-2min{λmin(A1),λmin(K1)+ε1}V2(t)+

(24)

2.2 位置子系统的控制器设计

由式(5)可知, 位置子系统是欠驱动子系统, 只存在一个控制输入和三个状态。所以, 通过引入虚拟控制(6), 将位置子系统转化为全驱动子系统。下面, 将位置子系统转化为高度子系统和水平子系统。首先, 对于高度子系统, 利用反步控制方法设计控制器U1, 使得z跟踪到z*。然后, 针对水平子系统, 设计反步控制器ux,uy, 使得x,y分别跟踪到给定的信号x*,y*。

2.2.1 高度子系统的反步控制器设计 根据方程(8), 得到受扰动的高度子系统

(25)

为了实现高度子系统的轨迹跟踪控制, 下面设计控制器U1, 使状态z跟踪到z*。

首先, 引入高度跟踪误差

ez1=z*-z,

(26)

其中,z*是z的期望高度, 对式(26)求导

(27)

构造Lyapunov函数

(28)

对式(28)求导, 然后将式(27)代入, 得到

(29)

其中,rz1>0是待设计的参数。

由式(29)构造一个新的误差

(30)

对式(30)求导

(31)

选取Lyapunov函数

(32)

对式(32)求导, 然后将式(25),(30),(31)代入, 整理得

(33)

根据Young不等式, 有

(34)

其中,c2>0是待设计的参数。

将式(34)代入式(33)得

(35)

选取高度子系统的控制律

(36)

其中,rz2>0是待设计的参数。

将式(36)代入式(35), 因此

(37)

2.2.2 水平子系统的反步控制器设计 根据方程(8), 得到受扰动的水平子系统

(38)

(39)

为了使得x,y分别跟踪到给定的信号x*,y*, 下面设计虚拟控制ux,uy。

首先, 定义轨迹跟踪误差

ex1=x*-x。

(40)

对式(40)求导

(41)

选取Lyapunov函数

(42)

对式(42)求导, 然后将式(41)代入, 得到

(43)

其中,rx1>0是待设计的参数。

由式(43)引入一个新的误差

(44)

对式(44)求导

(45)

选取Lyapunov函数

(46)

对式(46)求导, 并将式(38),(44),(45)代入, 然后根据Young不等式, 整理得到

(47)

其中,c3>0是待设计的参数。由前面的讨论可知,U1在高度子系统的控制器设计中已经给出具体表达式, 因此选取虚拟控制律

(48)

其中,rx2>0是待设计的参数。

将式(48)代入式(47), 整理得

(49)

同理, 对于y子系统的轨迹跟踪控制, 定义跟踪误差

ey1=y*-y。

(50)

对式(50)求导

(51)

选取Lyapunov函数

(52)

对式(52)求导, 然后将式(51)代入, 整理得

(53)

其中,ry1>0是待设计的参数。

由式(53)引入一个新的误差变量

(54)

对式(54)求导

(55)

选取Lyapunov函数

(56)

对式(56)求导, 然后将式(39),(54),(55)代入, 并根据Young不等式, 整理得

(57)

其中,c4>0是待设计的参数。

由式(57)设计虚拟控制律

(58)

其中,ry2>0是待设计的参数。

将式(58)代入式(57)得

(59)

定理1 考虑受随机干扰的四旋翼系统(8), 误差系统(13),(17),(27),(31),(41),(45),(51),(55)和控制律(23),(36),(48),(58)组成的闭环误差系统, 使得

(1)闭环误差系统是NSS-m-M的。

(2)跟踪误差eη=η*-η,ez1=z*-z,ex1=

x*-x,ey1=y*-y可调节到零的任意小邻域内。

证明针对闭环误差系统, 选取Lyapunov函数

V(t)=V2(t)+V4(t)+V6(t)+V8(t),

(60)

-2min{λmin(A1),λmin(K1)+ε1}V2(t)-

2min{rz1,rz2}V4(t)-2min{rx1,rx2}V6(t)-

(61)

根据引理2, 可得

(62)

结合式(60),(62)和假设2, 跟踪误差满足不等式

(63)

为了验证所设计控制器的有效性, 需要对具有随机扰动的四旋翼系统(4)进行仿真。首先, 给定参考位置和参考偏航角x*=2cos(t)+0.1t+2,y*=2sin(t)+1,z*=0.4t+4,ψ*=sin(0.5t);选取初始位姿[x0,y0,z0,φ0,θ0,ψ0]=[2, 2, 0, 1, 1, 1];系统的参数m=1,g=9.8,J=diag[0.01, 0.08, 0.07];然后对姿态子系统, 选取控制器参数ε1=0.05,c1=10,A1=diag[0.5, 0.4, 0.7],K1=diag[0.3, 0.3, 0.3];对于位置子系统, 选取控制器参数rx1=ry1=3,rx2=ry2=4,rz1=1,rz2=2,c2=0.01,c3=6,c4=10;最后, 随机扰动[25]di(t)满足

(64)

其中pi>0是一个常数,w(t)∈为零均值白噪声, 且其中Bi>0为噪声功率,tc为采样时间。选取Bi=0.1,pi=2(i=1, 2, 3, 4, 5, 6),tc=0.08。

利用Simulink进行仿真, 得到4个仿真图。图2表明了实际轨迹[x,y,z,φ,θ,ψ]可以很好地跟踪到参考轨迹[x*,y*,z*,φd,θd,ψ*]。图3表明系统的轨迹跟踪误差趋于零的任意小邻域内。此外, 控制输入U1,U2,U3,U4的变化如图4所示。为了更直观地了解控制方案的优越性, 三维空间的实际轨迹跟踪如图5所示。综上所述，图2—图5表明了本文所提出控制策略的有效性。

图 2 轨迹跟踪

图3 轨迹跟踪误差

图4 控制输入

图5 三维位置的轨迹跟踪

本文研究了四旋翼飞行器的轨迹跟踪控制问题。

基于动力学模型的相关知识建立带有扰动的四旋翼飞行器方程。

然后将系统分为姿态子系统和位置子系统, 并对不同的子系统分别设计控制器, 保证所有的闭环误差系统都是NSS-m-M。

最后, 通过仿真结果验证了所提出控制策略的有效性。

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