刘 燕

（郑州航空工业管理学院 数学学院，河南 郑州 450015）

概率论作为数学的一个非常重要的分支，与其他学科密切相关.概率方法主要是利用概率论中知识建立概率模型去解决其他数学分支中的问题.恒等式和不等式的证明一直是比较复杂的数学问题，在不断的学习和探索中发现，把概率论的思想渗透到不等式的证明中去,会拓宽我们的解题思路,使复杂的问题简单化，从而提高解题的效率.这一问题已经引起了众多学者的关注[1～4].目前，应用概率论的思想方法来证明一些关系式或者解决数学分析中的问题，已经成为概率论的主要研究方向之一.

例1求证当a,b均为正整数时，有

证明构造概率模型：设盒有a只红球，b只蓝球，有放回地取球，每次取一只，连取n次，求其中恰有k次取到红球的概率.(k=0,1,…,n)

设事件Ak表示恰有k次取到红球，(k=0,1,…,n)

例2证明：当r为正整数时，等式成立.

证明构建数学模型为：设袋中装有2r-1 个蓝球及1 个红球，现每次从中任取一球，看后放回，如取到的球为红球，则再往袋中放入r-1 个蓝球以及1 个红球，一直循环，直到取到的球为蓝色的球为止.

不妨设A={取到蓝球}，Ak={第k次取到蓝球}，其中k=1,2,3,…,那么有

又因为A1,A2,A3,…,Ak是互不相容的，并且根据概率的可列可加性公理可得所以有

从事件A的对立面来考虑问题，则有事件A的对立事件Aˉ={一直未取到蓝球}，不妨令Aˉk={前k次取到的球全部都是红球}，显然我们可以得到，再由概率的连续性定理我们可以得到：

当r-2 时我们有：

证明构造概率模型：设 {Xn}是相互独立且同分布的r.ν，且Xi(i=1,2…n)服从参数λ=1 的possion分布.则期望EXi=1，方差DXi=1，(i=1,2…n)，由列维-中心极限定理得：

例4（Jensen不等式）设X是离散r.ν，涵数f(x)在[a,b]上连续，且E(X)与E(f(X))存在，则有：（1）若f(x)是凸函数，则有E(f(X))≤f(EX) ；
（2）若f(x)是凹函数，则有E(f(X))≥f(EX).

证明建立概率模型：设离散型随机变量，其中0≤p≤1

证明建立概率模型：

由于DX=EX2-(EX)2≥0,故 (EX)2≤EX2，根据数学期望的定义，得

再由期望的性质E[f(X)]≤f[EX],可得E[lnX]≤ln[EX]，进而有

例6证明：当a＞0 时，有

证明构造概率模型：设X,Y是相互独立的随机变量且都服从N(0,1),则有，假设G和S分别为如图1 所示的圆和正方形，显然有∫G∫f(x,y)dxdy≤∫S∫f(x,y)dxdy，

图1 G 和S 分别为圆和正方形

通过上面例题的分析证明可以看出，将概率方法应用在恒等式和不等式证明中是方便有效的.首先我们要熟练掌握概率论中的相关知识，然后针对具体的问题找到合适的概率模型，把数学分析中的恒等式和不等式问题转化为概率的问题来解决.通过建立概率模型可以使一些抽象的数学问题更直观化，具体化，使我们的解题思路更加清晰.

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