孟凤娟, 刘存才, 张昶

(江苏理工学院数理学院, 江苏常州 213001)

Plate方程作为一类重要的物理模型, 其最早来源于工程力学.在连续介质力学中, 板被定义为厚度非常小的平面结构, 通过梁理论可以得出板方程对于平板力学的数学描述.在物理学上, 关于板的理论有很多, 例如: Mindlin-Reissner板、Kirchhoff薄板动力学、Reissner-Stein理论、Von Karman方程.研究板方程的目的主要是计算载荷板材承受的变形和压力, 因此, 研究板方程具有很强的物理意义和实际用途.

Plate方程的数学研究起源于Woinowsky-Krieger在文[1]中所建立的弹性振动方程:

其中E是Young模量, ϱ是杆的密度, A是横截面积, l是杆长, E是初始的轴向张力.这类问题的严格数学分析及解的整体存在性与渐近性的研究始于Ball在文[2]中关于弹性梁方程稳定性的讨论.

关于Plate方程解的渐近行为的研究近年来受到广泛关注.如: 在非线性项满足临界增长与f(u).u ≥ 0时, Khanmamedov在文[3-4]中分别研究了带有弱阻尼αut与内部阻尼a(x)ut的Plate方程在无界区域上全局吸引子的存在性, 吸引子的正则性及分形维数的有限性.2009年, Kolbasin在文[5]中研究了带有位移依赖阻尼σ(u)ut的Plate方程在有界区域上吸引子的存在性.2013年, 马巧珍等在文[6]中得到了带有强阻尼项∆ut的Plate方程指数吸引子的存在性.2014年, KANG在文[7]中研究了带有µ∆ut−∆utt的非自治Plate方程分别在区间H2(Ω)×H1(Ω)与H4(Ω)×H3(Ω)中拉回吸引子存在性.最近, Khanmanedov在文[8]中研究了带有非局部非线性项f(∥∇u∥L2(Rn))|u|p−2∆u的Plate方程在无界域上的渐近性.

本文考虑具有p-Laplacian算子的Plate方程

全局吸引子的性质, 其中Ω ⊂RN是具有光滑边界∂Ω 的有界区域.首先假设

(H1)当N ≥3时, 2 ≤p ≤当N =1,2时, p ≥2;

(H2)φ(s)=|s|m−1s−β|s|γs,其中,当N >4,m=当N ≤4时,m>0,0<γ β0充分大, β0将在引理3.3给出.

具有p-Laplacian算子的Plate方程(1.1)作为弹塑性微观结构模型在物理和力学中具有广泛的应用.例如在空间维数N = 1和N = 2情况下, 分别描述了弹塑性杆的纵向运动和反平面剪切变形[9].

系统(1.1)解的存在性, 解的渐近行为等性质得到广泛研究, 如: 当空间维数N = 1时,方程(1.1)变为utt−uxxt+uxxxx−(|ux|p−2ux)x+φ(u)=0.不考虑耗散作用的影响, 结合低阶非线性项与小的高阶弥散微观结构项之间的相互作用, AN和Peirce[9]在一维情形下研究了如下方程utt+uxxxx=a()x的系列问题.

陈国旺和杨志坚[10]研究了比上式更一般的方程初边值问题utt−σ(ux)x+uxxxx=f, 整体解的存在性以及有限时刻解爆破的充分条件.

高维情形下, 杨志坚等在文[11-12]中研究了如下方程

综上, 关于系统(1.1)全局吸引子的存在性已有很多文献讨论, 但全局吸引子的几何结构的研究诸如吸引子维数的估计和指数吸引子尚鲜见.本文的主要目的是揭示当参数β足够大时系统(1.1)全局吸引子里平衡点的多重性.所运用的工具是临界点理论中的Z2指标.

系统(1.1)具有整体的Lyapunov泛函并且由于φ(u)关于u是奇的, 所以该Lyapunov泛函是偶的(见引理2.4).一般来讲, 如果一个系统具有Lyapunov泛函并且有全局吸引子, 那么全局吸引子一定是平衡点集的不稳定流形的并.特别地, 如果平衡点集是离散的, 则全局吸引子可看成是所有平衡点不稳定流形的并, 另一方面, 系统的吸引子总是所有有界完全轨道的并, 每个有界完全轨道是连接两个不同平衡点, 而且每一个平衡点均由完全有界轨道连接它.所以, 平衡点越多, 吸引子的结构越复杂.因此, 研究平衡点的多重性对揭示全局吸引子的结构有重要的意义.

关于具有Lyapunov泛函的偏微分方程全局吸引子结构的描述最早是Henry在文[13]中给出, 在该文中, 作者以Chaffee-Infante抛物方程为模型, 用分歧理论的方法从平衡点之间轨道连接的角度给出了吸引子结构的详细描述.在文[14-15]中作者考虑了Chaffee-Infante方程

的分歧问题, 其中λ ≥0.并且证明了当n2<λ<(n+1)2时该系统全局吸引子里有2n+1个不动点.通过文[14-15]的分析我们知道当0 ≤λ < 1时原点是稳定的平衡点, 但是, 每当λ2穿过一个特征值, 全局吸引子里将多出一对不稳定的平衡点.因而当λ充分大时, 从原点出发将出现一系列的鞍结分叉从而可得到平衡点的对数也将无穷大.

另一方面, 在文[16]中, 作者利用Z2指标证明了方程−∆u = λf(u)在f是次临界增长并且是奇函数的假设下, 当λ →∞时解的个数趋于无穷大.在文[17]中作者考虑了扰动问题−∆u = f(x,u)+ϵg(x,u)多重解的存在性并且利用Z2指标证明了对任意的自然数j, 都存在ϵj>0使得对任意的0<ϵ ≤ϵj都至少存在j个不同的解.

受文[13-17]的启发, 最近, 钟承奎等在文[18]中结合临界点理论中的下降流思想和Z2指标理论来估算具有Lyapunov泛函的对称动力系统全局吸引子的两个不相交子集的Z2指标, 其中Lyapunov泛函在其中一个子集上是正的, 在另一个子集上是负的, 进而得到全局吸引子里多重平衡点的存在性.作为该理论的应用, 作者考虑了一类反应扩散方程全局吸引子里多重平衡点的存在性.

Plate方程与反应扩散方程有着本质的区别, 关于Plate方程全局吸引子中平衡点个数的估计的问题, 至今还没有人进行研究, 本文我们就运用[18]中的理论给出Plate方程在一定条件下平衡点的多重性以及一族吸引子分形维数随着参数的变化是任意大的.

本节我们给出本文所需要的一些基本概念和结论, 首先给出无穷维动力系统的相关定义和理论.

定义2.1[19−20]假设算子族{S(t)}:X →X,t ≥0, 满足

1) S(0)=Id(恒等变换);

2) S(t)S(s)=S(t+s), ∀t,s ≥0;

3) 当tn→t并且在X中xn→x时, S(tn)xn→S(t)x,则称{S(t)}:X →X,t ≥0是X上的C0半群.

定义2.2[19−20]设X是完备的度量空间, {S(t)}t≥0是X上的连续半群, 称{S(t)}t≥0是渐近紧的, 如果对相空间X中的任何有界点列{xn}以及tn→∞, {S(tn)xn}有收敛子列.

定义2.3[19−20]设X是完备的度量空间, {S(t)}t≥0是X上的连续半群, 称X中的子集A是{S(t)}t≥0的全局吸引子, 如果A满足

1)(紧性) A是X中的一个紧集;

2)(不变性) S(t)A=A, ∀t ≥0;

3)(吸引性) 对于X中的任何有界子集B,都有dist(S(t)B,A)→0(t →∞),其中dist(A,B)表示Hausdorff半距离, 定义为dist(A,B)=supx∈Ainfy∈Bdist(x,y).

引理2.1[19]设{S(t)}t≥0是完备度量空间X上的连续半群, 则{S(t)}t≥0在X中存在全局吸引子当且仅当

1) {S(t)}t≥0在X中有有界吸收集;

2) {S(t)}t≥0在X上是渐近紧的.

定义2.4[15,20]设H为Banach空间, {S(t)}t≥0是定义在H上的半群, X ⊂H是它的一个正不变集, 称Φ:X →R 是{S(t)}t≥0定义在X上的Lyapunov泛函如果

1)对任意给定的u0∈X,函数tΦ(S(t)u0) 关于时间t 是非增的;

2) 存在τ >0,使得Φ(S(τ)u0)=Φ(u0), 那么u0是半群S(t)的一个平衡点(不动点).称动力系统(X,St)为梯度系统, 若系统在整个相空间X上存在一个Lyapunov泛函.

下面, 我们给出系统(1.1)解的存在唯一性以及相应半群全局吸引子的存在性结果, 详见文[11-12])等.

引理2.2设(H1),(H2) 成立, 则对任何T >0及初值(u0,u1)∈(H2(Ω)∩(Ω))×L2(Ω),系统(1.1)的解存在并且唯一, (u,ut)∈C([0,T];(H2(Ω)∩(Ω))×L2(Ω)).

对任给t ∈R 定义映射

由引理2.2, 易得{S(t)}t≥0在能量相空间(H2(Ω)∩(Ω))×L2(Ω)中是C0-半群.

引理2.3设(H1),(H2)成立,则对任何β,系统(1.1)所生成的半群{S(t)}t≥0在空间(H2(Ω)∩(Ω))×L2(Ω)中存在全局吸引子Aβ.

对一个具有Lyapunov泛函的奇连续半群, 在全局吸引子具有对称结构的前提下, 钟承奎等在[18]中借助于“原点是对应的Lyapunov泛函的局部极小点”这一假设, 估计了原点的吸引域边界的Z2指标, 进而对半群{S(t)}t≥0在全局吸引子内平衡点的个数做了估算, 具体结论如下:

引理2.4[18]设X 是一个Banach空间, {S(t)}t≥0是X上的一个C0半群.假设{S(t)}t≥0满足下列条件:

(A1)对任意的t ≥0, S(t)是奇的;

(A2)在X上, {S(t)}t≥0有一个全局吸引子A;

(A3)在X上, {S(t)}t≥0有一个C0Lyapunov偶泛函F;

(A4)存在B(0,ρ)(以0为中心, ρ为半径的球), 对任意的u ∈B(0,ρ),t →∞都有S(t)u →0,并且F|∂B(0,ρ)≥α>F(0)=0, 其中α是一个给定的正常数;

(A5) 存在一个X的n维子空间Xn和一个正常数R(>ρ), 使得F|Xn∩∂B(0,R)≤0.则有下列结论

(i)半群{S(t)}t≥0在A ∩F−1([α,∞))中至少有n对不动点;

(ii)半群{S(t)}t≥0在A ∩F−1((−∞,0))中至少有n对不动点.

引理3.1设(H1),(H2)成立, 对任何给定的β,由系统(1.1)诱导出的解半群是奇的, 定理2.3中得到的全局吸引子Aβ是对称的.

因而对每个给定的初值(u0,u1)∈(H2(Ω)∩Ω))×L2(Ω), 函数t →F(S(t)(u0,u1))是非增的.

如果存在某个τ >0使得F(S(τ)(u,ut))=F(u,ut).从(3.2)可知, 当0 ≤t ≤τ时S(t)(u,ut)= (u,ut).因此F(S(nτ)(u,ut)) = F(S((n −1)τ)S(τ)(u,ut)) = F(S((n −1)τ)(u,ut) = ··· =F(u,ut).重复上面的过程可得对任意的n ∈Z+,当0 ≤t ≤nτ时S(t)(u,ut)=(u,ut).所以对任意的t ≥0,S(t)(u,ut)=(u,ut).因此由(3.1)定义的F(u,ut)是算子半群的{S(t)}t≥0的Lyapunov泛函.结合(3.1)和(H2)易知, F(u,ut)=F(−(u,ut)), 即F是偶的.

引理3.3对任何自然数n, 存在X的一n维子空间Xn和一正常数R, 使得F|Xn∩∂B(0,R)≤0.

证由假设(H2) , 可得

由上述不等式可知当(u,ut)∈B(0,ρ), ρ →0时F(u,ut)→0, 从而存在某个ρ<ρ1使得

由(3.4), 我们还可知存在某个α>0使得

由引理3.2知F是一个Lyapunov泛函, 则F(S(t)(u0,u1))关于时间t是递减的, 结合(3.5),(3.6)可得, 对任给t ≥0,

因此对任给t ≥0,

否则, 存在某个t0及(u0,u1) ∈B(0,ρ)使得S(t0)(u0,u1) ∈XB(0,ρ1).根据S(t)的连续性, 存在t1满足0

下面我们将验证对任何初值(u0,u1) ∈B(0,ρ1), 算子半群只有原点是平衡点.即∀(u0,u1)∈B(0,ρ),

由于算子半群的平衡点对应于系统稳态方程的解, 即

由(H1),(H2)可得

我们断言对某个τ >0

下面将用反证法来验证(3.15).若(3.15)不成立, 则对任给t>0,

根据(3.13), 可得当tnk→∞时

根据F的连续性和(3.18), 可得当tnk→∞时

并且由(3.13)可得当tnk→∞时

结合(3.7)和(3.12), 引理3.4得以证明.

由引理3.1-3.4可知, 由引理2.2生成的算子半群(2.1)满足引理2.4的所有条件, 根据引理2.4可得:

定理3.1假设(H1),(H2)成立, 对每个给定的β, Aβ是(1.1)的全局吸引子, 由(3.1)定义的F是算子半群{S(t)}t≥0在空间(H2(Ω)∩(Ω))×L2(Ω)中的Lyapunov泛函.则对任意自然数n, 存在β充分大使得{S(t)}t≥0在Aβ∩F−1([α,∞))内至少有n对不同的不动点, 并且在Aβ∩F−1((−∞,0))内至少有n对不同的不动点.

在文[9]中,我们知道任何一个分形维数为n的紧集与R2n+1之间都存在一个一一的线性奇的Hder连续映射.类似于文[30]中推论1.1, 由引理3.1-3.4及引理2.4可得如下推论:

推论3.1假设(H1),(H2) 成立, 对任何给定的β, Aβ是系统(1.1)全局吸引子.则我们有下列结论: limβ→∞dimAβ=∞.

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