常俊松

（北京科技大学 土木与资源工程学院，北京 100083）

随着我国矿产能源需求量的增加，浅部资源逐渐枯竭，深部资源开采已成必然趋势［1-2］。然而，深部岩体由于具有典型“三高”赋存环境本真属性及“强扰动”附加属性［3］，相对于浅部开采，深部开采具有诸多不确定性，导致开采风险增大，有必要开展深部地层岩石物理力学参数在深度尺度的变异性研究，本文岩石参数试验变异性研究对深部开采有一定参考意义。

目前，许多学者在赋存深度对岩石性质影响方面已取得大量研究成果。蔡美峰研究表明［4］，深度对岩石强度影响显著，总体上岩石的强度随着深度增加而增加。周宏伟等［5］得出随着赋存深度的增加，玄武岩的密度、强度等参数都有所增加，且呈线性变化趋势。姜晨光等［6］通过花岗岩试验得出岩石的弹性模量、抗压强度、抗拉强度随着赋存深度增大而增大。林斌等［7］通过对煤系地层不同赋存深度泥岩和砂岩试验研究，得出泊松比均随深度的增加而减小。杜锋等［8］通过试验得出同类岩性岩石的物理力学参数总体上随着埋深的增加而增加。满轲［9］对不同赋存深度的玄武岩岩样进行了动态断裂韧性测试，得到了动态断裂韧性随着赋存深度的增大而增大的规律。

在变异性研究方面，张征等［10］从岩土参数空间变异性特点出发，将其视为具有结构性与随机性的区域化变量，用方向综合变异指标来评价岩土参数空间变异性。谭文辉等［11］以变差函数为工具，对现场实测的岩体强度参数进行了分析，拟合出相应的最优化理论变差函数，并求出了岩体性质参数的相关距离，说明了岩体性质的空间变异特征。刘春原等［12］指出目前可用相关函数和半变异函数法来描述岩土参数的随机性，分析了这两种方法间的内在联系。刘宗建等［13］认为岩体材料最重要的特征是具有复杂的变异性，参数值具有显著的不确定性，并建立合理且相对准确的岩体物理参数与力学性质之间的经验关系。武登辉［14］引入随机场理论对岩土参数的自相关特性进行分析，可以较合理地解决计算方差值偏大的问题，并定量计算岩土参数的空间变异性特征，得到了岩土参数相关距离地区代表性值。

上述研究［4-9］大多仅考虑赋存深度对岩石参数的影响，岩石参数的随机性和结构性也较少提及。在变异性研究方面［10-14］，对土的变异性研究工作比较多，而对岩石的变异性研究相对较少。本文首先对不同赋存深度岩石参数进行统计分析，然后基于变异函数拟合岩石参数最优模型，尝试对不同赋存深度岩石参数的空间变异特性进行研究，为深部岩石物理力学参数变化规律研究提供参考。

试验所采用的花岗石岩样取自某金矿，采样深度为19～1 320 m，以30 m为一个采样深度，采用GAW-2000刚性压力试验机进行单轴压缩试验，试样为圆柱体，直径为5 cm，高度10 cm，试样数量44组，每组3个，试验前用天平进行称重，然后在试样轴向、径向贴电阻应变片，以每秒0.6 MPa的加载速度对试样荷载，直到试样破坏为止，记录横向、纵向应变值及最大破坏载荷，计算求得岩石密度、单轴抗压强度、弹性模量、泊松比，如图1、2所示。

图1 GAW-2000刚性压力试验机Fig.1 GAW-2000 rigid pressure tester

图2 单轴压缩试验试样Fig.2 Uniaxial compression test specimen

采用变角剪切试验机进行直剪试验，试样为50 mm×50 mm×50 mm立方体，试样数量44个，以每秒0.6 MPa的速度加载，直到试样剪断为止，记录破坏时荷载，计算岩石抗剪强度，并根据莫尔强度理论求得内摩擦角和黏聚力，如图3、4所示。

图3 变角剪切试验机Fig.3 Variable angle shear tester

图4 剪切试验试样Fig.4 Shear test specimen

根据岩石试验所得花岗岩岩样的单轴抗压强度、弹性模量、泊松比、黏聚力、内摩擦角、天然重度等岩石参数数据进行线性拟合，如图5～10所示。

图5 单轴抗压强度随深度线性拟合Fig.5 Linear fitting of uniaxial compressive strength with depth

图6 弹性模量随深度线性拟合Fig.6 Linear fitting of elastic modulus with depth

图7 泊松比随深度线性拟合Fig.7 Poisson"s ratio linear fitting with depth

图9 内摩擦角随深度线性拟合Fig.9 Linear fitting of internal friction angle with depth

图10 天然重度随深度线性拟合Fig.10 Linear fitting of natural gravity

由图5～10岩石参数线性拟合结果可发现，单轴抗压强度、弹性模量、黏聚力、内摩擦角、天然重度随着深度增加有线性增大趋势，而泊松比随深度增加有线性减小趋势，这和周宏伟得出的结果是一致的。由拟合公式可知，单轴抗压强度、弹性模量、黏聚力、内摩擦角、天然重度的斜率分别是0.016 6、0.015 2、0.001 9、0.003 7、0.000 3，可以看出单轴抗压强度和弹性模量斜率比较大，说明其增加速率快，变化幅度大，反映了其在深度尺度下变化较大；
而黏聚力、内摩擦角、天然重度斜率比较小，反映了其在深度尺度下变化较小。

参数离散性程度常用标准差来判断，然而标准值是有量纲的指标，因此不能作为不同参数离散度比较，而变异系数是无量纲量，可更好地解决不同参数离散型比较问题，更好地评价岩石参数的变异特点。变异系数是标准差和平均值比值，也可反映数据的离散程度。应用经典统计学的方法对取样深度19～1 320 m内的岩石物理力学参数进行统计，其统计结果如表1所示，可发现岩石参数变异系数大小顺序：弹性模量＞单轴抗压强度＞黏聚力＞泊松比＞内摩擦角＞天然重度，这与图5～10线性拟合结果是一致的。

表1 19～1 320 m岩石参数统计Table 1 Statistics of rock parameters from 19 to 1 320 m

地质统计学是以区域化变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现象的一门科学。变异函数也叫变差函数，是地质统计学的计算基础，它能描述区域化变量的随机性和结构性，是地质统计学最基本工具。变异函数理论模型包括有基台值和无基台值两种。有基台值模型包括球形模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金模型，无基台值模型包括幂函数模型、对数模型、线性无基台值模型等。通过GS＋软件，拟合出最优变异函数，为了进行比较，选三种函数模型进行拟合。单轴抗压强度拟合结果如表2所示。

表2 单轴抗压强度模型及拟合参数Table 2 Uniaxial compressive strength model and fitting parameters

块金常数，是在滞后距等于零时变异函数与纵轴的交点的截距，用来描述区域化变量随机特征的体现，主要用来表示随机因素引起的变异，是由于实验误差和小于实际取样尺度引起的变异。基台值，是变异函数随滞后距h变化，逐渐趋于一个稳定的值，基台值大小反映了区域化变量变异的强度。变程a，是指变异函数在有限滞后距h达到基台值时对应的滞后距h，是区域化变量变异尺度，当｜h｜＜a时，具有空间相关状态，｜h｜＞a时，不存在空间相关状态。块金常数和基台值的比值，即块金系数，表示空间的相关程度，也表示随机变异占总变异的比例，比值越大表明随机变异部分对变异影响越大。当块金系数小于25%时，空间的相关性强烈；
在大于25%小于75%时，空间相关性中等；
大于75%时，空间相关性弱［15］。

表2三种模型中，块金值：高斯模型最大，说明变异由随机因素引起的部分比较多。基台值：基台值相差不大，说明三种模型模拟的区域化变化幅度大小差不多。块金值和基台值比：球形模型＝指数模型＜高斯模型，表明三种模型空间相关性中，高斯模型最大；
三种模型的块金值和基台值比都小于25%，表明单轴抗压强度在深度方向具有强烈的空间相关性。变程a：三种模型中，球形模型和指数模型相等，自相关尺度最大，高斯模型自相关尺度小。决定系数：球形模型＝高斯模型＝指数模型，决定系数表示相关程度，越接近1拟合得越精确，参考价值越高。残差ss：拟合值与估测值的差值，越小说明模型误差小，三种模型残差不多。

综上所述，根据决定系数越大越好，残差越小越好的原则，球形模型拟合优于其他模型，故选择球形模型作为单轴抗压强度的理论变异函数模型。同理可以拟合出弹性模量、泊松比、黏聚力、内摩擦角和天然重度的最优变异函数。其中弹性模量和单轴抗压强度拟合变异函数模型是球形，而泊松比、黏聚力、内摩擦角和天然重度都是指数模型，如表3所示。

表3 各参数拟合出的最优模型Table 3 The optimal model fitted by each parameter

由表3可知，根据各参数块金系数数值，得出空间相关性大小顺序：单轴抗压强度＝弹性模量＞黏聚力＞泊松比＞内摩擦角＞天然重度；
天然重度、弹性模量、黏聚力、内摩擦角、单轴抗压强度块金系数都小于25%，表明具有强烈的空间相关性，主要受结构性因素影响；
从块金值分析，6个参数都有块金值，说明都受随机因素影响，其中泊松比块金值最小，内摩擦角块金值最大；
从变程a分析，内摩擦角的变程为99 m，变程最大，其自相关尺度比较大，而黏聚力变程a为18 m，变程最小，反映了黏聚力自相关尺度比较小，其中天然重度变程仅次于黏聚力，跟表1岩石参数统计分析得出天然重度的变异系数结果基本一致，在一定程度上说明了天然重度的变异性比较小；
从决定系数分析，内摩擦角＞泊松比＞弹性模量＞单轴抗压强度＞天然重度＞黏聚力，通过分析得出内摩擦角拟合精度相对较好，而黏聚力的拟合精度相对较差。

由上分析可知，块金值／基台值、变程两个因素对岩石的变异性有很大影响，根据这两个因素的影响程度，对其进行评估，得分最高的说明其变异程度比较低，对岩石参数变异性评价提供参考。评分原则：块金值／基台值按大小顺序，最大的1分，最小的6分；
变程：最小的6分，最大的1分。其得分如表4所示。

表4 岩石参数的得分Table 4 Score of rock parameters

从表4可知6个参数总得分大小顺序：天然重度＞黏聚力＞内摩擦角＝泊松比＞单轴抗压强度＞弹性模量，根据评分原则，天然重度的变异程度最小，跟实际的测得数据相比，其变化幅度很小，比较符合实际；
而单轴抗压强度和弹性模量得分较低，说明变异性较大，这与表1统计分析得出的变异系数是一致的。

此基础上，以普通克里金法对这些模型进一步进行检验，把得出估计值和实际值进行对比，并对其模型精度进行交叉验证。以单轴抗压强度参数为例，选取了14组数据作为已知数据，9组数据作为待估点，见表5和表6。

表5 已知点（单轴抗压强度R）Table 5 Points to be estimated（uniaxial compressive strength R）

表6 待估点（单轴抗压强度R）Table 6 Known point（uniaxial compressive strength R）

由表3可知单轴抗压强度的变异函数最优模型是球形模型，其块金值为0.1，基台值为272.3，变程为42，带入球形模型公式：

以454m深度为例，以普通克里金交叉验证法，并用Matlab计算得到权重系数w，如表7所示。

表7 权重系数Table 7 Weight coefficient

表7中权重总和等于1，其中391 m深度的权重最大，次之的是545 m处深度的权重，因为391 m和545 m处与待估点454 m距离比较近，所以权重会大一点，符合一般结果。其他赋存深度处权重大小顺序：168 m＞990 m＞1 250 m＞1 132 m＞1 194 m，这些值都为正值，但相比来说比较小，除此其他深度值都是负值。在普通克里金法估值中，权重依赖已知点和待估点的距离，同时也依赖已知点间的分布情况。这些点权重比较小的原因是：这些点与待估点的距离比较远，从而与估值点空间相关性比较小，除此这些权重过低来自被过滤，这些点与估值点的连线被与估值点更近的点隔断了，导致这些点权重变小。

获得权重后，根据普通克里金法得到454 m估 值 和 估 计 方 差 分 别 为Z*（45 4 ） ＝ 60.33，（45 4 ） ＝1 551.43。同理得到其他赋存深度单轴抗压强度的待估点估值和估计方差及相对误差，如表8所示。

表8 单轴抗压强度估点估值和实测值Table 8 Uniaxial compressive strength estimation and measured value

表8对不同赋存深度的克里金估值和实测值进行比较，除个别数据外，相对误差为2%～7%，估值比较准确。根据岩样资料，序号3、序号6、序号9处相对误差较大原因：这几处岩心较破碎，裂隙发育，从而造成实测值偏低。而序号1处，主要在于待估点附近已知点实测值偏小，从而估值也比实测值小。其中序号7处相对误差比较小，其估值比较准确，而序号9相对误差比较大，其估值精度低；
从估计方差分析，估计方差在192.49～1 551.43，一般估计方差越小越好，但是序号2和序号9却是恰恰相反，从某种程度反映了数据的离散分布。由普通克里金法交叉验证法可知单轴抗压强度拟合的模型较好，可以在一定程度上反映岩石在空间的变异性。同理用普通克里金方法对弹性模量、泊松比、黏聚力、内摩擦角、天然重度进行了交叉验证，相对误差在1%～7%内，说明了变异函数模型拟合比较好。

本文以某金矿19～1 320 m试验数据为基础对岩石参数进行统计分析和变异函数分析，揭示了岩石参数随赋存深度变化规律及变异性，获得结论如下：

1）岩石参数的变异系数大小：弹性模量＞单轴抗压强度＞黏聚力＞泊松比＞内摩擦角＞天然重度；
单轴抗压强度、弹性模量、黏聚力、内摩擦角、天然重度随着深度增加有线性增大趋势，而泊松比随深度增加有线性减小趋势。

2）从地质统计学角度出发，以变异函数为工具，拟合出岩石参数最优模型，分析了岩石参数随赋存深度的变异特性，天然重度在赋存深度尺度内变异性小，而弹性模量和单轴抗压强度变异性较大，最后对其拟合的函数进行交叉验证，得出拟合函数模型比较准确。

3）影响岩石参数变异影响因素很多，不单只是几个物理力学参数，还有地应力、渗透压、地温因素等，应综合分析考虑，并从微观的尺度对岩体变异性进行深入研究。

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