王 珂, 张玲珍, 周 建

(上海大学 管理学院,上海 200444)

企业的产品质量受到其供应商品质的关键影响，选择合适的供应商与之合作是企业运营管理中的一个重要战略决策。同时，基于选择的合作供应商，在后续运营管理过程中，进行合理的采购订单分配也将影响其实际的供应商管理绩效。这两类决策问题通常相互影响、密不可分。因此，供应商选择与订单分配(Supplier Selection and Order allocation, SSOA)问题常常受到大家的共同关注。

SSOA问题包含了供应商选择[1](SS)与订单分配[2](OA)两类决策，并在决策时序上具有先后的依赖关系。因此，很多学者将其分解为SS和OA两个阶段进行分析。例如，Mafakheri等[3]和Khoshfetrat等[4]首先采用层次分析法(AHP)对供应商进行评价，再将评价结果输入到OA模型中决定最优OA方案。Çebi和Otay[5]则在SS阶段采用了一种模糊多目标优化技术对供应商进行评估和选择。Mohammed等[6]提出了一个整合AHP、TOPSIS及多目标规划的方法求解可持续SSOA问题。这些研究[3～6]的问题求解思路都是：首先采用评价方法进行SS，然后将评价结果作为OA模型的输入数据，再通过模型求解得到具体的OA决策。第一阶段的SS并未充分考虑第二阶段实际OA决策对供应商管理整体绩效的影响。

在SSOA问题中，OA决策依赖于订单需求和运营成本等关键信息，它们进而也会影响SS决策效果。因此，SSOA中的信息条件假设对于该问题的分析求解具有关键影响。与上述研究[3～6]思路不同，周豪等[7]在确定需求下构建了多目标规划模型同时进行SS与OA决策。黄辉等[8]、Suprasongsin等[9]则针对模糊需求，将SS与OA决策集成在一个模糊多目标规划模型中进行优化。类似地，Mafakheri等[3]和Khoshfetrat等[4]也在OA决策阶段采用了模糊多目标规划来处理不确定信息。这些研究[3～9]虽然分别考虑了不同信息条件下的SSOA决策，但信息状态在不同决策阶段中的变化或更新及其对实际决策效果的影响并未在这些模型中得以分析。

实际上，在第一阶段进行供应商选择时，产品的未来需求和实际运营成本通常很难进行精确预测，具有较大的不确定性。但我们需要在掌握这些信息前，事先进行供应商选择并与之确定供货关系。而在后期的实际采购订单分配管理中，我们会对这些信息具有更准确的认识和了解。因此，本文考虑不确定环境下的SSOA问题，且在SS和OA两个决策阶段具有不同的信息状态，第一阶段的SS决策目标依赖于第二阶段实际的OA决策。

由于第一阶段的SS决策是在不确定信息条件下做出的，且通常不会频繁改变(如战略供应商的确定)，具有较长期的影响，因此需要考虑其潜在风险。为此，本文引入在险价值(Value at Risk，VaR)和期望值(Expected Value，EV)准则对SSOA问题进行分析。VaR作为一种被广泛应用[10]的风险度量标准，它采用一定置信水平下可能遭受的最大损失表示风险水平，直观地描述了实施一项决策方案所面临的潜在损失[10]。EV则表征着每一种方案潜在损失的平均水平。基于这两个准则的风险-均值分析，能够帮助决策者根据自身的风险偏好灵活地选择恰当的决策方案。

鉴于上述分析，针对不确定环境下具有不同供应合约的SSOA问题，本文构建了基于风险-均值分析的模糊两阶段多周期集成优化模型，并通过理论分析与证明进一步提出了该模型的求解方法。虽然王珂等[10]和Yang等[11]已探讨了类似具有两阶段决策特点的模糊规划模型求解方法，但模型中的模糊参数限定于具有规则分布的情形且仅考虑了VaR准则。本文提出的求解方法适用于任意类型的模糊变量，并考虑基于VaR和EV两种决策准则的分析求解。提出的方法对VaR进行精确计算，将EV控制在确定的误差范围内，并可以达到足够的精度要求，为不确定环境下考虑SS和OA决策交互影响的SSOA集成优化提供了有效的思路和方法。

1.1 问题描述

一个企业需要选择合适的上游供应商确定合作关系，为其后续的产品生产或服务经营提供产品(原材料)供应。在合作期内，该企业将在多个周期内多次向合作供应商发出采购订单，供应商则根据事先签订的供货合约向其供货。如果供应商供货不能完全满足企业当期的实际客户需求，该企业则需从该产品(原材料)的现货市场进行紧急采购，但价格远高于供应商的供货价格。因生产能力不同，每个供应商提供的产品种类和最大供应量也不相同，并提供不同的价格折扣政策。由于需要进行供应商管理、维护合作关系，每选择并管理一个供应商将产生一定的管理成本。因此，该企业需要在这些供应商中进行合理选择。若选择过多的合作供应商而后期又不向其采购则导致供应商管理成本的浪费；
若选择的供应商过少，其供应能力不足，则可能后期需要大量的紧急采购，导致采购成本增加。

例如，一家经营某些具有很强季节性特征的特色农产品加工食品的餐饮企业，为了防止在产品销售旺季无货可售，同时降低采购成本，考虑在销售季节到来之前与一些农场签订供货合同。然而，此时该企业的供应商选择决策还面临许多不确定性因素，如未来产品需求、采购处理成本、运输成本等。等到销售季节到来，该企业则根据每天的实际需求和相关运营成本在事先确定的供应商中进行实际采购订单的分配，以最小化生产运营成本。

该问题涉及典型的两阶段决策。其中，第一阶段是在不确定信息条件下进行供应商选择并签订供货合同的战略性决策。第二阶段则是在给定第一阶段决策的基础上，根据实际观测到的需求和相关运营成本信息进行具体运营操作层面的采购订单分配。进行SS时要考虑实际的OA决策，而OA又受制于已确定的SS方案。因此，SSOA问题被建模为具有交互关系的SS和OA两阶段模型。考虑到需求信息和相关运营成本的不确定性，为了降低整个决策方案的潜在风险，本文基于VaR和EV两种决策准则对供应商选择方案进行评价。

1.2 参数和变量说明

指标集

i,I：分别为供应商，供应商集合；

j,J：分别为产品，产品集合；

T={t|t=1,2,…,m}：表示订购周期；

L={l|l=1,2,…,n}：表示价格折扣区间。

参数

F：管理每个供应商的固定费用；

(Qijtl,pijtl)：供应商i对产品j在周期t内的增量价格折扣政策，即位于第l个折扣区间(Qijt(l-1),Qijtl]的产品(Qijt0=0)，其单位价格为pijtl,且pijtl≥pijt(l+1)；

rijt：在周期t内供应商i提供产品j的次品率；

模糊参数

Djt：在周期t内企业对产品j的需求；

Oijt：在周期t内向供应商i发起订购产品j的单位采购处理费用；

ξt：周期t的模糊参数向量,ξt=(Djt,Oijt),i∈I,j∈J,t∈T；

ξ：所有周期的模糊参数向量集合，ξ={ξ1,ξ2,…,ξm}。

决策变量

xi：xi=1表示供应商i被选择，否则xi=0；

qijt：在周期t从供应商i订购的产品j的数量；

qijtl：在周期t从供应商i在价格折扣区间l部分订购的产品j的数量；

yijt:yijt=1表示在周期t从供应商i订购产品j,否则yijt= 0；

yijtl：yijtl=1表示在周期t从供应商i订购产品j的总量位于第l个折扣区间，即如果Qijt(l-1)

在上述参数中，为了讨论方便，仅假设产品需求和单位采购处理费用为模糊参数，并相互独立。当其他参数(如紧急采购价格、运输成本、次品损失成本)也不确定时，可以如本文以下提出的模型和求解方法进行类似处理。

1.3 模型构建

需求Djt和采购处理费用Oijt是模糊变量，把它们的实际观测值分别记为Djt(γ)和Oijt(γ)，其中γ∈Γ，Γ是模糊变量Djt和Oijt的所有可能观测值的指标集合，对于第t周期的一组模糊参数的观测值用ξt(γ)=(Djt(γ),Oijt(γ))来表示。在实际的SSOA问题中，决策者必须在观测到未来实际需求和订购费用之前做出SS的战略性决策，即x=(xi),i∈I。在OA决策阶段，对于给定的SS方案x和每个周期观察到的参数向量ξt(γ)，需要确定向各个供应商的实际采购数量以最小化总的采购成本。因此，第二阶段第t周期的OA决策模型如下：

(1)

(11)

该模型的目标是最小化第t周期的订单分配决策的总成本，包括产品货款支付费用、订购成本、运输成本和次品的损失成本。约束(2)要求从每个供应商处购买的每种产品总量小于供应商的供应能力。(3)为流量平衡约束，即不允许缺货、不允许积压。(4～5)表示在增量价格折扣政策下每个折扣区间内的产品订购数量与采购总量之间的关系。(6)保证每个价格折扣区间内订购的产品数量不超过该折扣区间允许的订购量。(7)确保向供应商采购某产品才能使用该产品的价格折扣政策，并且采购总量只能位于一个相应的折扣区间范围内。(4～7)共同构成了增量数量折扣下各折扣区间订购量与采购总量间的平衡约束关系。(8)确保供应商在第一阶段被选择后才能在第二阶段被分配订单。(9)为每类产品最大可选择的供应商数量约束。(10,11)为决策变量的0-1约束和非负约束。

对于一个给定的供应商选择方案x，相应的总成本则包含对这些供应商的管理成本和第二阶段所有周期中由订单分配决策决定的总采购成本，即:

(12)

其中，Ct(x,ξt(γ))和TC(x,ξ(γ))分别为SS方案x在第t周期的采购成本和SSOA的总决策成本。考虑模糊向量ξ的所有观测值ξ(γ),γ∈Γ，对于每个SS方案x，Ct(x,ξ)和TC(x,ξ)变为两个模糊变量。由于每一种SS方案，其决策成本均为一个模糊变量，为了确定合适的决策方案，下面基于VaR和EV两种准则对可能的SS方案进行评价。

采用模糊事件的可信性测度Cr{·}，在给定的置信水平α∈[0,1)下，SS方案x的总成本TC(x,ξ)的VaR可以定义为:

VaRα(TC(x,ξ))=sup{λ│Cr{γ∈Γ│TC(x,ξ(γ))≤λ}≤α}

(13)

且令VaR1(TC(x,ξ))=VaRα↑1(TC(x,ξ))。

同时，由于TC(x,ξ)的所有可能取值均非负，根据模糊变量的期望值定义，供应商选择方案x的期望总成本可以表示为:

(14)

因此，基于VaR和EV两种准则，最小化SS方案x在给定置信水平下的在险价值或期望总成本的SSOA问题第一阶段SS决策模型可以表示为:

minVaRα(TC(x,ξ))

(15)

minE[TC(x,ξ)]

(16)

s.t.xi∈{0,1},∀i∈I

(17)

上式(15～17)是SS问题的一个双目标规划模型。其中VaRα(TC(x,ξ))和E[TC(x,ξ)]分别由(13)和(14)决定，又需要通过求解各个订单分配周期在所有可能情形下的OA模型(1～11)得到。因此，模型(15～17)与(1～14)共同构成了SSOA问题的一个模糊两阶段多周期规划模型。

对于该模型，根据传统的基于模糊模拟的求解方法，在第一阶段SS决策中，为了评估每一种SS方案在不确定信息条件下的VaR和EV，需要计算TC(x,ξ(γ))在所有可能实现值情形γ∈Γ下的结果。当模型中的模糊参数ξ具有连续的支撑集时，则需要求解无穷多次每一周期的OA模型来确定该SS决策的总成本分布，这大大增加了问题的求解难度。下面，本文将提出该模型的有效分析求解方法。

2.1 理论分析

关于SS决策的成本函数TC(x,ξ(γ))及其VaR，有如下结论。

定理1对于任意i∈I,j∈J,t∈T，成本函数TC(x,ξ(γ))是一个分别关于Djt(γ)和Oijt(γ)单调递增的连续函数。

定理1给出了SSOA问题成本函数TC(x,ξ(γ))的一个基本性质。王珂等[10]和Yang等[11]基于Zhou等[12]提出的规则模糊变量运算法则探讨了嵌入具有类似单调性质的数学规划的两阶段模糊规划求解方法，但模型中的模糊参数限定于具有规则分布的情形，并基于逆可信性分布进行计算。针对模型中包含任意类型模糊变量的更一般情形，定理2给出了其成本函数TC(x,ξ)的VaR的计算方法。

定理2给定供应商选择方案x，其成本函数TC(x,ξ)在置信水平α∈[0,1]下的在险价值可以通过求解以下规划模型得到:

(18)

s.t. (2),(4)～(11),∀t∈T

(19)

根据定理2，对于给定的SS决策x，其成本函数TC(x,ξ)的VaR可以通过求解一次数学规划模型得到，不再需要基于模糊模拟技术求解大量的第二阶段OA模型，大大减少了求解VaR的计算量，并可以得到VaR的精确结果。

注意，模型中约束条件(4)和(5)为非线性约束，通过引入辅助决策变量zijtl=qijtyijtl，并将其替换为以下约束条件(其中，M为一个极大的正数)，定理2中的规划模型可以转化为一个0-1混合整数线性规划模型。

∀i∈I,j∈J,l∈L

(20)

qijtn=zijtn-Qijt(l-1)yijtn,∀i∈I,j∈J

(21)

zijtl≤qijt+(1-yijtl)M,∀i∈I,j∈J,l∈L

(22)

zijtl≥qijt-(1-yijtl)M,∀i∈I,j∈J,l∈L

(23)

-yijtlM≤zijtl≤yijtlM,∀i∈I,j∈J,l∈L

(24)

2.2 求解方法

鉴于上述分析，对基于VaR准则的单目标SSOA问题，其最优供应商选择决策x*可以通过求解以下模型(25)得到。且它是一个0-1混合整数线性规划，可以很方便地采用一些成熟的优化工具进行求解，如Cplex。

(25)

利用模型(25)，可以求解不同置信水平下基于VaR准则的最优供应商选择方案。置信水平的设置一定程度反应了决策者的风险偏好态度。由于合理的置信水平设置通常没有严格或精确的判断标准，而不同的置信水平可能得到不同的最优决策方案，因此我们可以在一定置信水平范围内分析可能的最优决策方案，并进一步引入期望值准则帮助我们进行判断和选择。基于VaR和EV准则的风险-均值分析，能够帮助决策者根据自身的风险偏好更灵活地选择恰当的决策方案。

根据式(13)和(14)，成本函数TC(x,ξ)的期望值可以表示为:

(26)

其中，一个给定的SS方案其成本函数TC(x,ξ)在不同置信水平下的VaR可以根据定理2很方便地计算得到。因此，可以采用以下方法对TC(x,ξ)的期望值进行近似，并根据所给的误差范围来调整抽样数量，以达到足够的精度要求。

VaRi/N)(TC(x,ξ)))

(27)

其中，N表示抽样区间数量。

定理3采用(27)式对成本函数TC(x,ξ)的期望值进行近似，其相对误差范围不超过:

(28)

综上，基于VaR与EV准则的SSOA问题风险-均值分析求解方法如下：

步骤1针对问题的模糊参数Djt,Oijt,i∈I,j∈J,t∈T，计算给定置信水平下相应的VaR，即VaRα(Oijt)和VaRα(Djt);

步骤2将基于VaR目标的SSOA模糊两阶段规划模型转化为确定的0-1混合整数线性规划模型(25)；

步骤3利用数学规划求解软件，如Cplex和Matlab，求解模型(25)，得到给定置信水平下的最优解x*；

步骤4若在给定的置信水平区间内，存在多组最优解，则采用(27)式对每组解的EV进行评价；

步骤5根据步骤3和4的计算结果，基于VaR和EV准则，确定帕累托最优解，并根据决策者的风险偏好确定最终的供应商选择方案。

假设某企业需要在三个周期内，向上游供应商采购三种产品。这些产品可由四个不同的供应商(S1、S2、S3和S4)提供，每个可供应其中的2～3种产品，并提供增量价格折扣。为了保证企业的正常运营，该企业考虑选择合适的供应商并确定合作关系，为其提供可靠的产品供应。管理一个合作供应商需固定费用1000。

首先，分析在不同置信水平下基于VaR准则的最优SS方案。根据所提出的求解方法，该问题可以通过0-1混合整数线性规划模型(25)进行求解。调用Cplex求解，其结果如表1所示。可以看出，在不同的置信水平下得到了不同的最优SS方案。例如，当α=0.1,0.5,0.9时，分别选择一个供应商S3，两个供应商(S2,S3)，三个供应商(S2,S3,S4)。即决策者面对不确定性时，其风险态度越保守，越倾向于事先选择更多的供应商与之建立合作关系，以一定的固定费用保证较低价格的产品供应。当α=0或1时，则分别代表了最乐观或悲观的情形，以各种选择方案的潜在最小或最大成本为准则进行判断。

表1 不同置信水平下的最优供应商选择方案及相应的VaR

图1 不同供应商选择方案的总成本分布

当置信水平在[0,1]范围内变化，共得到了四种最优SS方案。对于这四种选择方案，根据定理2，可以进一步计算其在不同置信水平下的VaR值，得到总成本的可信性分布如图1所示。可以看出，这四种选择方案在一定置信水平范围内都可能优于其他三种选择方案。例如，只选择一个供应商S3，在比较乐观的情形下是一种最优选择，但也可能导致远远高于其他三种方案的总成本。

为了更好地帮助决策者根据自己的风险偏好进行灵活地决策，我们进一步分析这四种选择方案的成本均值。基于前述提出的求解方法，利用(27,28)式对每种SS方案的EV进行评价，并给出其误差范围如表2所示。可以看出，方案(S2,S4)的期望总成本最小，为59028.94元；
方案S3的期望总成本最大，为65787.06元。

表2 不同供应商选择方案的EV及误差

根据上述分析，这四种方案都可能在不同的置信水平下成为VaR和EV准则下的帕累托最优解。例如，当决策者倾向于悲观保守时(α≥0.9)，选择三个供应商(S2,S3,S4)具有更低的VaR，但期望成本较选择两个供应商(S2,S4)更高。进一步分析可知，方案(S2,S3,S4)与(S2,S4)相比，极端情形下的最高成本降低了2.36%，但平均成本仅增加了0.36%。决策者可以根据这些信息来确定最终的决策方案。

另外，根据本文提出的求解方法，每种方案的VaR被精确计算得到，EV的误差也显示在表2中。表2最后一行表示每种方案的总成本相对于最可能值的上下波动范围，即[-σ1/m,σ2/m]。可以看出，在总成本较大的波动范围(±27%以上)下，计算EV的抽样区间数为N=200即可将误差控制在±0.25%以下。其计算在Intel i5 2.4GHZ的普通笔记本电脑上利用Python 3.7.4调用Cplex可在30秒内求解完成。我们还可以通过增加抽样区间的数量进一步提高EV的精度。

本文针对不确定环境下的SSOA问题，引入VaR和EV两种决策准则构建了基于风险-均值分析的模糊两阶段多周期集成优化模型，将SS和OA两个阶段的决策问题集成到一个模型中进行优化，有效刻画了SS与OA两阶段决策的交互影响。所提出的风险-均值分析方法，相较于单一决策准则方法，提供了更具弹性的决策支持，有助于决策者根据自身的风险偏好灵活地选择恰当的决策方案。理论分析及数值实验显示了模型求解方法的有效性。另外，本文所提出的风险-均值分析方法对于模型中所涉及的模糊变量类型并没有限制，并可以应用于类似不确定环境下的多阶段决策问题求解。

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