杨文奇, 卢建华, 姜 旭, 王元鑫

(1. 海军航空大学航空基础学院, 山东 烟台 264000; 2. 海军航空大学青岛校区, 山东 青岛 266000)

四旋翼无人机是由4个旋翼组成能够实现垂直起降的无人飞行器[1]。因其结构简单、易于控制、成本低的特点,成为多智能体编队控制算法验证的常用平台,也为后续实现固定翼无人机编队飞行奠定实验基础[2]。为保持多无人机编队队形的稳定,需要每一架单机都尽可能抵御外界干扰(噪声、风扰、紊流等)的影响。四旋翼中常用的控制方法有比例-积分-微分(proportion-integral-differential, PID)控制、反步控制、滑模控制、线性二次型调节器、反馈线性化等[3]。为提高系统的抗干扰能力,考虑到四旋翼本身的非线性耦合结构,本文选择采用自抗扰控制(active distur-bance rejection control, ADRC)[4]。ADRC无需对象精确的数学模型,具有天然的解耦性和滤波特性,进而可以有效改善系统的抗干扰性和鲁棒性[5]。

所谓ADRC,就是要在扰动明显影响系统的最终输出前,自发地从控制对象的输入/输出信号中估计扰动信息,然后尽快用控制信号将其消除,从而大大减小扰动对被控量的影响[6]。面向不同的功能需求,ADRC也存在不同的改进思路[7],分别为自身算法改进和融合算法改进。其中,ADRC自身算法改进主要包括其组成模块的改进和fal函数改进两个方面[8]。在ADRC融合算法改进思路方面,文献[9]首先基于ADRC设计了四旋翼飞行器的位姿控制算法,该方法能够无静态误差地实现四旋翼的悬停以及轨迹跟踪功能,并引入模糊逻辑规则来实现其ADRC参数的实时整定。文献[10]通过建立基于反步滑模自抗扰的控制方法来实现四旋翼的姿态控制,提高了系统自适应性和抗干扰性。文献[11]设计了一种模型预测控制和ADRC的串级控制系统,其中内环姿态回路采用ADRC稳定角运动,外环位置回路的预测控制器通过引入扩张状态观测器(extended state observer, ESO)来实现风扰下的轨迹跟踪,提高了四旋翼无人机的跟踪精度和抗干扰性。文献[12]提出了一种基于线性/非线性自抗扰切换控制的四旋翼飞行器控制方法,并验证了该控制器可有效避免线性自抗扰因为初始状态误差引起的“峰值”问题,进一步改善了抗干扰性能。在fal函数改进方面,文献[13]将通过插值拟合所得到的新型非线性nfal函数作用于ESO和非线性状态误差反馈律(nonlinear state error feedback law, NLSEF)中,从而得到改进型ADRC,并验证了较传统ADRC具有更好的快速性、抗干扰性以及鲁棒性,但函数过于复杂。文献[14]对四旋翼姿态ESO中的非线性fal函数进行改进,得到改进型faln函数并验证了改进型faln函数提高了系统抗干扰能力,但并未解决原点附近的高频抖振问题。

此外,前人研究时少有考虑传感器噪声污染的情况。本文采用ADRC进行四旋翼的姿态控制时发现,当反馈量被传感器高斯噪声污染时,基于fal函数的传统ESO因其观测能力不足导致跟踪效果恶化[15]。为降低噪声对系统的影响,一般方法是通过加设滤波器来改善量测信号品质。考虑到ADRC的天然滤波属性,可将噪声视作系统的外部干扰[16-17]。通过对fal函数的分析,构建了一种galn函数并验证了其相较于fal函数的优越性。以俯仰通道为例,验证了基于galn函数设计的ESO性能以及改进后ADRC跟踪能力和抗干扰能力。

四旋翼无人机是一个欠驱动、强耦合的非线性系统,仅依靠4个输入量就能实现6个自由度的运动[18]。考虑到四旋翼无人机的非线性特性,难以精确地建立模型,为了简便,在对其建模时,做出以下假设[19-21]:① 四旋翼无人机是刚体,机体结构对称,质量分布均匀,机体重心与几何中心重合;② 旋翼产生的升力和反扭力矩均与转速的平方成正比;③ 忽略地面效应和地球自转;④ 四旋翼无人机的质量、转动惯量以及重力加速度均为常量。本文建模采用“×”字型四旋翼。

(1)

式中:JT是旋翼转动惯量;m是四旋翼无人机质量;g是重力加速度;MGx、MGy分别为x轴、y轴上对应的陀螺力矩。其中的伪控制量U1、U2、U3、U4所组成的控制效率模型如下所示:

(2)

(3)

本文采用四旋翼模型的参数如表1所示。

表1 四旋翼无人机仿真参数数值表

2.1 ADRC器基本结构

ADRC器通常主要由3个部分组成,分别为跟踪微分器(tracking differentiator,TD)、ESO以及NLSEF,其基本结构如图1所示。

图1 ADRC器基本结构

(1) TD(微分信号生成与安排过渡过程)

期望信号经过TD会输出一个变化相对较慢且时刻跟踪期望值的过渡信号,克服了系统超调与快速性的矛盾;另一方面TD还能同时得到输入的微分信号。二阶TD的离散型表达方程如下所示:

(4)

式中:r0、h0为可调参数;h为控制器的执行周期;fhan(x1,x2,r0,h0)为一种最速综合非线性函数,表达式如下所示:

(5)

(2) NLSEF(扰动的消减与控制信号的产生)

工业上广泛采用的PID控制算法通常只是对控制系统误差的PID进行基本的线性加权组合,取到的控制效果仍有很大的改善空间[22-23]。而ADRC采用NLSEF,根据“小误差、大增益,大误差、小增益”的原则,通过适当选取参数和线性区间进行分段,在不同区间采用不同的反馈增益,可以起到快速调节的效果,显著提高控制效率和控制精度,实现了动态补偿。为了减小控制器待整定参数的个数,本文选取了文献[24]中的Ⅲ型非线性函数,进而得到非线性状态误差反馈结构如下所示:

(6)

(3) ESO(扰动的扩张状态与整体的辨识)

ESO通过观测系统的各部分扰动(内部干扰与外部干扰)的总和,并在NLSEF产生的控制量中引入一个总和扰动补偿量,最后运用简单的误差反馈控制策略就能实现对系统良好的控制效果。以如下所示的非线性系统为例:

(7)

(8)

则对式(8)建立的三阶ESO为

(9)

其中,

(10)

2.2 四旋翼俯仰通道ADRC设计

(11)

2.3 galn函数的构建

ESO中的非线性函数的特性直接影响其观测性能,进而影响控制系统的性能。根据文献[25-27],非线性函数选取的原则为:函数关于原点对称且处处可导,其曲线有良好的连续性、收敛性、平滑性,待整定参数尽可能少,且需要遵循“小误差、大增益,大误差、小增益”的原则。尽管fal函数在定义域内连续,但该函数并没有良好的连续性和平滑性,在原点邻域范围内易产生高频抖振现象,待整定参数较多,且易出现因增益过大导致的观测效果不佳的问题[28]。当ESO采用fal函数时,提高其误差反馈增益虽能提高ESO的收敛速度和观测能力,但高增益同时也会显著放大系统所受噪声的影响[29]。实际工程中,传感器测量的实际信号往往被各种噪声所污染,如果不加以处理,轻则会引起系统输出抖振,控制效果恶化,损耗执行机构的使用寿命。严重情况下,这种高增益下的噪声放大效应会降低系统稳定性,甚至引起系统发散[30]。以四旋翼无人机俯仰角控制回路为例,不考虑传感器量测噪声时,基于传统ESO的ADRC可以较好地跟踪俯仰角指令信号,如图2所示。而引入传感器高斯噪声时,跟踪效果急剧恶化,如图3所示。

图2 无噪声干扰时的响应曲线

图3 噪声干扰时的响应曲线

要克服这种现象,首先就必须要对fal函数进行改进。鉴于正态分布函数在工程上的广泛应用,考虑到非线性函数的选取原则,通过对均值为零、方差未知的正态分布函数加以改进,最终构建了一种galn函数,形式如下所示:

(12)

由于galn中的参数σ与fal中的参数α对各自函数的影响类似,为便于比较,仿真时始终保持σ=α。通过Matlab仿真软件,可绘制fal函数与galn函数在σ=0.5,α=0.5,δ=0.01时的函数曲线对比图,如图4所示。fal函数与galn函数的原点曲线放大图如图5所示。fal函数与galn函数误差反馈增益对比图如图6所示。

图4 函数曲线仿真对比图

图5 函数曲线原点放大图

图6 函数曲线误差增益图

由图4和图5可知,当误差大于1时,galn函数输出值被固定为一个较低的常量,明显小于fal函数输出值。同时,galn函数在原点附近更光滑且收敛性更好,有效克服了传统fal函数在原点附近存在拐点而导致斜率较大的问题。由图6可知,当输入误差值趋向于0时,fal函数输出增益趋于无穷,易引起系统震荡;输入误差较小时,galn函数输出增益高于fal函数;而输入误差较大时,galn函数输出增益明显低于fal函数。

综上分析表明,与fal函数相比,galn函数不仅更能体现“小误差、大增益,大误差、小增益”原则,而且避免了因fal函数自身缺陷导致零点附近增益量过大引发的系统高频抖振问题,在原点附近具有更好的平滑性、连续性、收敛性。同时,galn函数待调参数仅有一个,易于整定,并通过在galn函数两端采用固定常量输出,进一步降低了参数σ的整定难度。因此,设计ESO时若采用该种非线性光滑galn函数,不但能简化整个控制系统,还将提高观测器的观测能力,进而提高控制系统的抗干扰能力。

2.4 基于galn函数的ESO收敛性条件

用galn函数代替式(9)中的fal函数,从而可以得到新型ESO模型如下所示:

(13)

重新计算误差方程,如下所示:

(14)

其中,

(15)

引理 1[31]若存在矩阵

(16)

且矩阵D的主对角线上的数值均为正,使得矩阵DA(e)为正定对称阵,则式(14)的零解是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。

根据引理1,故只需构造出满足条件的矩阵D使得DA(e)正定对称,即可证式(14)是渐进稳定的。现在则需寻找满足条件的D矩阵。

计算矩阵DA(e)可得

(17)

其中,

(18)

显然,G为一个有界值,其含义为原点到函数上任意点之间连线的斜率,该斜率的极大值为函数在零点处的导数,故有00时,可以找到满足引理1要求的矩阵D,使得矩阵DA(e)对称正定,进而得到系统的零解是李雅普诺夫意义下渐进稳定的结论,故此时基于galn函数设计的改进型ESO是收敛的。

为验证本文所提出的采用galn函数改进ESO方案的有效性,在四旋翼俯仰姿态控制系统中分别对观测器跟随误差能力、控制器跟踪期望指令信号能力、控制器抗干扰能力进行仿真对比验证。根据文献[32]的参数整定原则进行调试,仿真步长h固定为0.004 s,最终所得ADRC参数如表2所示。

表2 ADRC参数

3.1 ESO误差跟随能力仿真验证

为验证基于galn函数的改进ESO观测性能,考虑在系统1.5 s时引入大小为10°,周期为2 s,脉冲宽度为0.5 s的矩形波干扰。本次仿真将x2状态观测值和x2实际值做差,得到x2的跟随误差量,仿真对比结果如图7所示。将x3状态观测值和x3实际值做差,得到x3的跟随误差量,仿真对比结果如图8所示。

图7 x2状态的跟随误差值

图8 x3状态的跟随误差值

由图7可知,改进型ESO状态x2的跟随误差峰值小于传统ESO。由图8可知,初始时改进型ESO状态x3变化平缓,而传统ESO状态x3有抖振现象,且随着误差增大,改进型ESO状态x3跟随误差值始终小于传统ESO。因此,改进型ESO的误差跟随能力更强。

3.2 控制器跟踪性能仿真验证

为验证采用改进型ESO的姿态ADRC在有传感器高斯噪声下的指令跟踪能力,考虑在1 s时引入大小为30°的俯仰角阶跃指令信号。图9所示为无噪声条件下的响应曲线,图10所示为有噪声条件下的响应曲线。

图9 无噪声干扰时的指令跟踪曲线

图10 噪声干扰时的指令跟踪曲线

由图9可知,无传感器高斯噪声时,改进后的ADRC超调量略高于传统ADRC,但均处于5%的可接受范围内。由图10可知,有传感器高斯噪声时,传统ADRC跟踪误差较大且有发散趋势,而改进后则能够稳定的跟踪期望俯仰角指令,且误差量始终保持在一个较低的范围内,因此采用改进型ESO的姿态ADRC跟踪能力更强。

3.3 控制系统抗干扰性仿真验证

四旋翼无人机在飞行过程中常遭遇外界风扰,使其实际俯仰角产生较大的偏差。为验证采用改进型ESO的姿态ADRC的抗干扰能力,此处用矩形波模拟在一段时间内保持风速恒定,随后又突然消失的阵风。在3 s时向俯仰角反馈回路加入大小为10°,脉冲宽度为0.5 s的矩形波。图11所示为无噪声下的响应曲线,图12所示为有噪声下的响应曲线。

图11 无噪声干扰下的风扰响应曲线

图12 噪声干扰下的风扰响应曲线

由图11可知,无传感器高斯噪声干扰时,改进型ADRC面对外界风扰可以更快地将输出收敛至稳态值,对扰动的抑制能力更强。由图12可知,有传感器高斯噪声干扰时,改进型ADRC在保证稳定跟踪的基础上,更快的消除了外界风扰的影响。因此,采用改进型ESO的姿态ADRC有更好的抗干扰能力。

本文要解决的关键问题在于如何使四旋翼无人机在姿态角反馈信号含传感器噪声污染时仍能保持较好的稳态性能。基于“大误差小增益”的工程思想,构建了新型非线性光滑galn函数来改进姿态ADRC中的ESO。通过Matlab仿真软件绘图来对比分析galn函数特性,验证了其相较于fal函数理论上的优越性;采用galn函数设计ESO,仿真结果验证了这种改进型ESO具有更好的误差跟随性能和更好的观测性能,即使在传感器高斯噪声污染下,控制系统也能保持对期望信号良好的跟踪效果。最后,通过仿真实验验证了当四旋翼遇到外界风扰时,改进后的自抗扰控制系统在有无噪声条件下都具有更强的抗干扰能力。因此,基于galn函数所设计的ESO为含噪声污染、外界干扰的自抗扰控制系统提供了一种新的改进方案。

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