乔心州， 陈永婧， 刘 鹏， 方秀荣

（西安科技大学 机械工程学院，西安 710054）

工程结构往往存在大量不确定因素，可靠性方法是处理上述不确定性因素的有效手段之一.传统的概率可靠性方法已得到广泛应用，然而由于条件限制，许多情况下难以获得用于确定概率分布的足够样本信息.近年来，能够处理有限样本信息的非概率可靠性方法受到广泛关注.

Ben-Haim[1]首次提出了非概率可靠性的概念.Elishakoff 等[2]针对此概念提出了一种基于非概率安全系数的可靠性度量，该度量不是一特定数值而是一区间值.与概率可靠性指标类似，郭书祥等[3]提出了一种基于区间模型的非概率可靠性指标，并阐述了该指标的物理和几何意义.Jiang 等[4]发展了针对该可靠性指标的半解析法.曹鸿钧和段宝岩[5]提出了一种基于椭球模型的非概率可靠性指标，该指标采用标准空间中原点到失效面的最短欧式距离度量可靠性.Jiang 等[6]针对上述可靠性指标提出中心点法和设计点法两种求解方法.Meng 等[7]提出了一种基于p范数的超参数凸模型可靠性指标.Meng 等[8]进一步提出了一种基于指数凸模型的可靠性指标.借鉴概率可靠度的概念，Wang 等[9]、Jiang 等[10]进一步提出了区间模型和椭球模型的非概率可靠度概念，得到了不确定变量域落入可靠域的体积与整个不确定变量域的体积的比值度量可靠性.Jiang 等[10]根据此概念进一步提出了椭球模型非概率可靠度的一阶近似法和二阶近似法.

上述可靠性分析方法均是针对显式结构功能函数，在复杂工程结构中通常面临的是隐式结构功能函数，对其进行可靠性分析通常需要采用计算成本较高、样本需求量大的有限元分析或Monte-Carlo 模拟.鉴于此，采用计算量小、样本需求少的代理模型来代替原分析模型对结构进行可靠性分析成为了一种有效手段.在基于代理模型非概率可靠性分析方面，陈江义等[11]利用响应面法对椭球模型与区间模型进行非概率可靠性分析.Bai 等[12]提出了一种基于不含交叉项二次响应面法的非概率可靠性分析方法.马超等[13]用支持向量机法拟合结构功能函数，并将该方法应用于实际的飞机机翼可靠性分析中.潘林锋等[14]用Kriging 模型拟合回归极限状态方程，并用HL-RF 修正法计算了非概率可靠性指标.郑严[15]利用支持向量机和三种改进粒子群算法进行了结构可靠性分析及优化设计，主要解决了隐式结构概率及非概率可靠性分析问题.但Kriging 模型的搜索方式对初始值具有依赖性，初始值的设置误差会导致后续模型建立时预测结果陷入局部最优的情况，且Kriging 模型采用模式搜索法进行单点搜索，搜索路径单一.

针对Kriging 模型的上述不足，本文提出了一种粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)与Kriging 模型相结合的非概率可靠性分析方法.本文的结构安排如下：第1 节对基于椭球模型的非概率可靠性指标进行概述；
第2 节给出了本文所提方法及其实施流程；
第3 节通过三个算例验证了本文方法的有效性；
第4 节对本文进行总结.

考虑某工程结构功能函数：

为方便对结构可靠性进行定义，需首先将不确定参数X线性变换为其标准化形式δ，相应的结构功能函数和不确定域分别变换为G(δ)和 一个中心在原点的单位超球δTδ≤1.图1 给出了二维空间的线性变换.通过上述处理，可有效避免由于工程实际问题中不确定参数的数量级不同导致病态矩阵的产生，同时变量的无量纲化也便于结构可靠性的定义与比较.

图1 线性变换与可靠性指标Fig. 1 The linear transform and the reliability index

此时，结构的非概率可靠性指标 η可定义为标准化空间内原点到失效面G(δ)=0的最短距离，可通过如下优化问题求解：

上述可靠性指标与传统的概率可靠性指标几何意义相同，可采用HL-RF 法进行求解.

考虑到许多工程实际问题中结构功能函数均为隐式的，以下发展一种将上述非概率可靠性指标与PSOKriging 方法相结合的非概率可靠性分析方法.该方法主要由以下三个部分组成：① 构建Kriging 模型；
② 运用PSO 方法对模型相关参数进行寻优；
③ 基于代理模型求解可靠性指标.

对于代理模型的建立，首先需要选取合理分布的样本点.样本点的选取对后续建模的精度有一定影响，因此对于样本采样的最佳策略应在符合采样精度的前提下，采样时间最短、采样点应均匀分布在整个待测区域.Sobol 序列抽样方法[17]无论样本点N为多少，均可在面域内取得均匀分布的点，且不会出现局部团簇现象，故本文采用Sobol 序列抽样方法进行抽样.

2.1 Kriging 模型的构建

Kriging 模型将需代理求解的未知函数看作是一个随机过程，其表达的隐函数为

上述最优相关参数的确定为构建最优Kriging 模型奠定了基础，进而可求解相应的可靠性指标.

2.2 PSO 方法求解模型相关参数

PSO 方法采用多点并行搜索，利用群体中的各个粒子对信息进行共享，每个粒子根据个体极值和群体极值的变化方向判断自身的搜索方向，从而使得整个群体的运动在求解空间中产生从无序到有序的演变过程，无论初始值的位置如何，都可大概率寻找到最优解.本文采用PSO 对相关参数θ 进行寻优.

在寻优过程中，以式(9)作为适应度函数，以Kriging 模型的n个样本点作为粒子，其中第i个粒子位置为xi，根据适应度函数，将第i个粒子的个体极值pbest记 为pi， 群体最优位置极值gi为 所有pbest的最优解.每个粒子的移动速度记为vi，则粒子根据每次位置判断下次更新的速度和位置为

式中，k为当前迭代数， r and 为 ( 0,1)之 间的随机数， ω为 惯性权重因子，更新的学习因子分别为c1，c2.当粒子群搜索满足式(9)时，最优 θ值即为该粒子的全局最优位置gbest.此时构建的Kriging 模型为最优模型，可据此模型拟合出功能函数，利用式(4)计算设计点和可靠性指标η.

由于代理模型是近似拟合，因此需要多次拟合结构功能函数并求解可靠性指标，直至满足收敛条件|ηi−ηi−1|≤ε， ε为给定的允许值.

2.3 所提方法实施过程及流程

本文所提方法流程如图2 所示.

图2 算法流程图Fig. 2 The flowchart for the proposed method

步骤1 利用Sobol 序列抽样选取n个样本点，根据隐式函数确定对应的函数值.

步骤2 PSO 搜索最优θ 值的过程：

1) 设置初始参数.设置PSO 初始种群个数为N，设定最大迭代次数为Iger， 并将惯性权重设为 ω，学习因子为c1，c2，初始种群的位置以及粒子的位置参数及速度限制范围.

2) 通过式(9)计算每个粒子的个体适应度值，比较当前粒子的适应度与历史最佳适应度pbest，如果当前位置的适应值更高，更新粒子群的粒子的个体最优适应度pbest.

3) 将粒子当前位置的适应值与其全局最佳位置gbest对应的适应值进行比对，如果当前位置的适应值更高，则用当前位置更新全局最佳位置gbest.

4) 更新每个粒子的速度与位置.

5) 判断是否满足式(9)，若满足，则得出最优的θ；
若不满足，则继续迭代.

步骤3 得出最优的θ 值，构建相应的Kriging 模型.

步骤4 由预测出的Kriging 模型求解非概率可靠性指标及设计点坐标.

步骤5 若可靠性指标满足收敛条件| ηi−ηi−1|≤ε，则停止；
若不满足，则在当前设计点附近重新确定样本范围，返回步骤1.

式中，X1∈[0.0,1.0]，X2∈[0.0,1.0]. 在本算例中，样本M=50， 参数c1，c2均 设置为0.3，惯性权重 ω均设为0.75，最大迭代次数为10 次，速度限制为V∈[−1,1]；

迭代收敛标准为| ηi−ηi−1|≤0.001.

表1 给出了相关系数为0.2 时本文方法的迭代过程；
表2 列出了不同相关系数下，本文方法、Kriging 方法和HL-RF 法(参考值)的对比结果；
图3 给出了不同相关系数下两种方法的相对误差.

图3 相对误差对比图（算例1）Fig. 3 Comparison of relative errors (example 1)

表1 相关系数为0.2 的迭代过程Table 1 The iterative process for a correlation coefficient of 0.2

表2 不同相关系数的可靠性指标（算例1）Table 2 Reliability indexes for different correlation coefficients (example 1)

算例2 考虑图4 所示的刮板输送机GB/T 12718 链轮，在其链窝处受到一个120 kN 的切向力.在本算例中，齿弧半径R1， 齿根圆弧半径R2， 链窝部的平面圆弧半径R3， 短齿根部的圆弧半径R4以及平环中面至链轮中心距离H均为未知但有界的不确定变量，其区间分别为：RI1=[30,40] mm，RI2=[8,10] mm，RI3=[24,36] mm，RI4=[7,11] mm和HI=[125,151] mm， 齿顶位移最大许用值为dmax.

图4 链轮Fig. 4 A chain wheel

链轮的功能函数为

本算例中样本M=30， 参数c1，c2均 设置为0.2，惯性权重 ω均设为0.75，最大迭代次数为10 次，速度限制为V∈[−1,1]， 迭代收敛标准为| ηi−ηi−1|≤0.001.

表3 给出了相关系数为0.9 时本文方法的迭代过程；
表4 列出了不同相关系数下，本文方法、Kriging 方法和参考值(MCS 法)的对比结果；
表5 给出了MCS 求解的95%置信区间，表明参考值是有效的；
图5 给出了不同相关系数下两种方法的相对误差.

图5 相对误差对比图（算例2）Fig. 5 Comparison of relative errors (example 2)

表3 相关系数为0.9 的迭代过程Table 3 The iterative process for a correlation coefficient of 0.9

表4 不同相关系数的可靠性指标（算例2）Table 4 Reliability indexes for different correlation coefficients (example 2)

表5 MCS 求解的95%置信区间（算例2）Table 5 The 95% confidence intervals of MCS solutions (example 2)

算例3 如图6 所示的25 杆桁架结构[10]，桁架弹性模量E=199 949.2 MPa ， Poisson 比 µ=0.3，横向、纵向杆件的长度为L，杆件① ～ ④、⑯ ～ 25 、⑪ ～ ⑮、⑤ ～ ⑩的截面积分别表示为A1，A2，A3和A4.作用在节点7、9 和11 的竖直载荷分别为F3=1 779.2 kN，F2=2 224 kN和F1=1 779.2 kN， 节点1 的水平载荷F4=1 334.4 kN，节点6 水平位移的最大许用值为dmax. 由于制造与测量过程中出现的误差，杆件的截面积Ai(i=1,2,3,4)以及杆件的长度L为不确定变量，其不确定区间如表6 所示.

表6 不确定变量的分布参数Table 6 The distribution parameters of uncertain variables

图6 25 杆桁架Fig. 6 A 25-bar truss structure

该桁架极限状态函数为

本算例中样本M=30， 参数c1，c2均 设置为0.2，惯性权重 ω均设为0.75，最大迭代次数为10 次，速度限制为V∈[−1,1]， 迭代收敛标准为| ηi−ηi−1|≤0.01.

表7 给出了相关系数为0 时本文方法的迭代过程；
表8 列出了不同相关系数下，本文方法、Kriging 方法和参考值(MCS 法)的对比结果；
表9 给出了MCS 求解的95%置信区间，表明参考值是有效的；
图7 给出了不同相关系数下两种方法的相对误差.

图7 相对误差对比图（算例3）Fig. 7 Comparison of relative errors (example 3)

表7 相关系数为0 的迭代过程Table 7 The iterative process for a correlation coefficient of 0

表8 不同相关系数的可靠性指标（算例3）Table 8 Reliability indexes for different correlation coefficients (example 3)

表9 MCS 求解的95%置信区间（算例3）Table 9 The 95% confidence intervals of MCS solutions (example 3)

由表1、3、7 可以看出，本文所提的PSO-Kriging 方法均能逐渐收敛于参考值附近，且与参考值误差较小.

由表2、4、8 可知，不同相关系数下，相比Kriging 方法，PSO-Kriging 方法的计算时间较短，且给出的可靠性指标更接近参考解，表明本文方法具备更高的计算效率与精度.

由图3、5、7 可以看出，PSO-Kriging 方法的相对误差对相关系数的变化不敏感，具有较强的鲁棒性，而Kriging 方法则对相对系数的变化较敏感.

本文提出了一种PSO 与Kriging 模型相结合的非概率可靠性分析方法，该方法采用PSO 方法得到最优相关参数，避免了Kriging 模型的单向搜索及对初始值敏感的缺点.三个算例分析结果表明，本文方法有效可行，且精度和效率均高于Kriging 模型非概率可靠性分析方法.

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