臧爱彬

(宜春学院 应用数学研究中心，江西 宜春 336000)

粘性消失极限问题是流体力学方程中一类重要而富有挑战性的问题。

主要是研究下列不可压缩流体力学运动的Navier-Stokes方程：

(1.1)

(1.2)

粗略地说，粘性消失极限问题的中心课题是研究Navier-Stokes方程组的解在何种空间，何种意义下收敛到Euler方程组的解。

许多数学家研究过粘性消失极限问题。例如在没有边界区域，即Ω是整个欧氏空间Rn,Swan[1]研究了Navier-Stokes方程组(1.1)的解收敛到Euler方程组(1.2)的解，Masmoudi[2]进一步完善收敛结果即Navier-Stokes方程组的Hs解收敛到Euler方程组Hs解，当初始速度具有Hs的正则性。当Ω为有界区域时，方程组(1.1)在边界上∂Ω上满足完全滑动边界条件或Navier边界条件时，即

而Euler方程组(1.2)满足不可渗透边界条件即可，

(1.3)

但是如果Navier-Stokes方程组(1.1)在边界上∂Ω上满足以下无滑动边界条件(Dirichlet条件)

uν=0

(1.4)

则Navier-Stokes方程组(1.1)、(1.4)的解收敛到Euler方程组(1.2)(1.3)是非常困难的，困难在于方程组(1.1)在Dirichlet条件(1.4)下，缺少有用的旋度或者压力项的边界条件，从而很难得到一致于ν的高阶估计，以及不同边界条件产生的边界层。在特殊区域中研究(1.1)(1.4)得到了粘性消失极限的结果。Mazzucato与其合作者[7,8]在管状对称的区域，也得到了较好的粘性消失极限结果。在给定二维空间下适当光滑的初值或周期初值问题(见Constantin and Wu[9,10])中，uν也收敛到相应Euler方程的解uE。

值得一提的是Bona和吴家宏[11]在圆盘上当fν=fE=0时，研究了方程组(1.1)具有边界条件(1.4)并且满足径向对称解的粘性消失极限问题。主要结论如下：

作者发现定理A中的初始条件可以减弱，可将定理A推广到如下本文的主要结果：

定理1.1 设其旋度有径向对称性，即

w0(x)=w0(|x|)

则有

及

其中wv和wE分别是速度uv和uE相应的旋度。

引理2.1[12]设ε>0，Ω是Rn中区域，Ωε≡{x∈Ω|dist(x,∂Ω)>ε}.

(2)若u∈Lp(Ω)(1p<+)，则且

引理2.2[12]设Ω⊂Rn是有界区域，∂Ω∈Cm，则存在线性算子

E:W1,p(U)→W1,p(Rn)

满足

Eu(x)=u(x)，a.e.x∈Ω,

其中，C=C(m,p,Ω).称E为延拓算子，Eu为u的一个延拓。

设w0(r)∈L2(D)，在一个单位圆盘D上满足

令ΔФ=w，则

u=(-∂x2Ф,∂x1Ф)

(3.1)

将(3.1)代入ΔФ=w可得

(3.2)

由(3.1)得

(3.3)

将(3.2)等号两边同时乘以r得

上式两边积分得

将上式代入(3.3)得

(3.4)

由边界条件u(x,t)=0,当|x|=1时，得

(3.5)

且u·wv=0

则方程(1.1)两边求旋度可化为

(3.6)

因此欧拉方程的旋度形式与时间t无关，即

所以方程(1.1)转化为条件为(3.5)的旋度初值问题：

假设此问题有如下形式的解：

w(r,t)=Q(r)P(t)

(3.7)

代入(3.6)得

必存在一个常数λ使得

或写成

P′(t)+λ2P(t)=0

(3.8)

(3.9)

方程(3.8)的在r=0的有界区域的解可用贝塞尔函数表示，即

C是常数，J0是0阶贝塞尔函数。

设方程(3.9)的解是

P(t)=P(0)e-λ2t

因此等式(3.6)的解在分解写成(3.7)的形式下为

其中A=CP(0)是常数。为了满足边界条件(3.5)，则

(3.10)

利用贝塞尔函数的性质

得到以下公式

因此

(3.11)

(3.12)

其中Ak是常数。

令

则已证明(参考[12]的附录)

(3.13)

h(r)在L2(0，1；
rdr)中收敛。

在(3.13)中令h(r)=wv(r,t)，联合边界条件(3.5)以及初值条件wv(r,0)=w0(r)，r∈[0,1)，利用以下正交关系：

可得(3.12)式，其中

(3.14)

综上可知，(1.1)满足(1.4)的解可表示为

(3.15)

因为D是有界的，∂D光滑，由引理1.2[8]知，存在一个线性算子

E：L2(Ω)→L2(R2)

将w0∈L2(D)延拓到L2(R2)空间得

(3.16)

其中

取截断函数

不难由(3.15)可得

D是以原点O为圆心，1为半径的单位圆盘，则

由(3.15)，因对任意t∈[0,T]

又因为对∀v>0，jk>0，有e-vjkt1成立，因此

由上可得

又由(3.16)得任意ν>0一致有

(3.17)

由(3.4)得

由Holder不等式知

(3.18)

由(3.16)及(3.18)式得

(3.19)

(3.20)

由定理A的结论，对每个固定的ε，有

(3.21)

对于I1，由(3.19)得

(3.22)

对于I3，由(3.18)及(3.19)得

(3.23)

把(3.21)(3.22)(3.23)代入(3.20),先取ε足够小，再让v趋于零，则有

(3.24)

由定理A、(3.17)及(3.24)的证明知

定理1.1证毕。

本文研究了Navier-Stokes方程组的解的零粘性极限收敛性问题。将有界域设定在一个单位圆盘上，在初始旋度属于L2(Ω)的情况下求解Navier-Stokes方程组的径向解。然后讨论了该方程组解的收敛性，给出了相关结论，把Bona和吴家宏[11]的结论中收敛条件从连续函数空间，完善到了更弱的正则性的L2空间。

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