周建星 张荣华 曾群锋 崔权维

（1. 新疆大学 机械工程学院，新疆 乌鲁木齐 830047；
2. 西安交通大学 现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室，陕西 西安 710049）

智能制造是我国应对新一轮工业革命的战略部署，工业机器人是智能制造系统中最具代表性的重要高端生产装备［1-3］。RV（Rotary Vector，旋转矢量）减速器因其抗冲击能力强、传动误差小、传动效率高而广泛应用于工业机器人关节、航天等精密传动中。齿廓磨损作为典型的早期故障［4］，会显著降低传动平稳性及传动精度，缩短工作寿命等［5］，因此，对RV 减速器精密传动中的核心功能部件——摆线针齿轮的传动齿廓的动态磨损特性进行研究，具有重要的工程意义。

国内外已对RV 减速器在传输误差、齿廓修形设计几何参数［6-10］、接触特性［11-15］等方面做了大量研究，但对齿廓磨损［16-17］的研究极为有限，而齿廓磨损又是影响RV 减速器几何参数、传动误差、接触特性的主要因素之一，关于摆线针齿轮的齿廓磨损亟待深入研究。

目前，在齿轮磨损计算中，应用最广泛的是Archard 粘着磨损计算通式［18］。针对摆线针齿轮副磨损，黄彬等［16］结合理化检测分析和有限元应力分析发现，摆线轮和行星轮的齿面失效形式分别为胶合与过度磨损，但他们未能对磨损进行量化。苏建新等［17］基于Archard磨损模型和Hertz接触理论建立了摆线轮磨损的计算模型，但该模型将核心参数磨损系数取为定值，而摆线针齿轮副在完整周期内多齿数对接触复杂，啮合位置磨损系数存在较大差异；
此外，该模型也未考虑动态磨损造成的脱齿和啮合力变化的反馈影响。

针对目前对磨损系数、磨损反馈考虑不足的情况，文中以工业机器人用BX-40E 减速器为分析对象，考虑磨损误差反馈，采用广义Archard 公式，通过等效试验得到磨损系数，建立了基于齿轮系统参数的、可准确计算的齿面动态磨损数值仿真模型。通过引入磨损参数，建立了RV 传动系统的多自由度平移-扭转动力学模型来求解动态啮合力，根据Langkali-Nikraves 接触力模型和变形协调理论进行离散化的齿面接触分析［19］，探究了不同磨损次数下的RV 传动齿面接触压力分布和动态磨损规律。

文中以BX-40E 减速器为研究对象，其三维图和结构简图如图1所示，系统的基本参数见表1。

表1 系统基本参数Table 1 Basic parameters of the system

图1 RV减速器系统模型Fig.1 Model of RV reducer system

1.1 摆线针齿轮的几何传动分析

图2 所示为摆线针齿轮的运动学模型。xpoyp和xcocyc分别为针齿轮和摆线轮的静态坐标，o、oc分别为针齿轮和摆线轮的中心，p为摆线针齿轮传动的瞬时速度中心，ooc为曲柄偏心距。将磨损深度记作齿廓修形量，根据摆线针齿轮的啮合原理，采用轮系分析法推导摆线轮齿廓磨损后的齿廓方程为

图2 摆线针齿的几何模型Fig.2 Geometric model of cycloid needle tooth

式中：Rp和Rrp分别为销半径和销中心圆半径；
αi为接触压力角；
θ为啮合旋转角；
ΔRp和ΔRrp分别为在沿啮合法线方向的摆线轮和针齿轮的齿面磨损深度；
S为中间变量，且S= 1 +K- 2Kcosθ；
K为短幅系数，且K=aZp/(Rp+ ΔRp)，Zp为摆线轮齿数；
a为偏心距。

由图2中三角形的几何关系可得

式中，βi为法向角，γi为销位置矢量的方位角，φi为摆线轮接触点的方位角，ϕi为曲柄初始转角。

齿廓曲线的变化直接影响齿轮的传动性能。依据摆线几何原理，摆线轮的齿廓当量曲率半径为

将针齿轮、摆线轮的单个齿等转角依次编号为1，2，…，100，如图2 所示，完整周期内，针齿轮、摆线轮的单齿面均经历1~100的全状态而回到原始状态，对应于摆线轮啮合齿根到齿顶。1 个完整周期内摆线轮齿廓曲率及齿面压力角沿啮合转角的分布曲线如图3所示（在此，规定纵轴值正负表示齿廓凹凸），可以看出：在啮合转角54°附近，摆线轮齿廓曲线存在一个凹凸过渡，且与摆线轮节圆相交，齿面压力角出现最大值；
在齿顶到凹凸过渡区间，曲率出现最小值。这有助于对齿面压力、磨损的分析，以及对齿廓凹凸过渡特性的讨论。

图3 摆线轮齿廓曲率半径、压力角随啮合转角的分布Fig.3 Distribution of curvature radius and pressure angle of cycloid gear profile with meshing angle

1.2 摆线针齿轮接触分析

摆线针齿轮的接触可等效为两圆柱体的线接触，其相对间隙大，法向载荷小，能量耗散相对较小［20］，故采用Langkali-Nikraves 接触力模型表示为

式中，FN为接触力，ce为两个接触体之间的恢复系数（在撞击方向上的相对离开速度与相对接近速度之比），k为接触刚度，δ为渗透变形量，δ·为相对渗透速度，δ·(-)为相对逼近速度（等于初始压痕速度），详细推导参见文献［19］。

对摆线轮所加力矩为Tc，摆线轮转过一个ϑ角，考虑磨损误差后，其时变综合变形为

式中：ri为其第i个接触点或待啮合点力作用线到针齿轮分布圆圆心位置的距离，即ri=rcsin (βi- Δβ)，其中rc为摆线轮基圆半径，Δβ为法向角变量且Δβ= tan-1(ecpi/li)，li为第i个接触点到摆线轮瞬心的距离，即li=rccosβi+rcsinβi/tanαi；
ecpi为在啮合处的磨损误差，ecpi(t) = Δrpi- Δrrpi。

如果δi(t) ≥0，则第i针齿与摆线轮啮合；
反之则不啮合。因同时参与啮合的轮齿间相互关联，故将其作为整体处理，依据变形协调原理，考虑齿面磨损，可得接触点处的接触力为

接触压力为

式中，Fmax为同一时刻下接触齿对中的最大压载，δmax为对应Fmax的接触变形，Zc为摆线轮针齿数，PNi为啮合位置的平均压力，Ec为当量弹性模量，σH为啮合位置的最大接触应力，FNi为针齿与摆线轮啮合位置的法向力，b为摆线轮的宽度，R为综合曲率半径。

1.3 动力学模型

建立BX-40E 减速器的动力学系统分析模型，如图4 所示，针齿分布圆圆心为全局坐标系xoy的原点，其圆心与曲柄轴的连线为x轴。系统包含输入齿轮轴、输出轴和曲柄的3个旋转自由度。系统动力学方程的建立已经被广泛讨论，但未讨论摆线针齿轮副的磨损，考虑到篇幅，此处仅讨论摆线针齿轮微分方程。

图4 BX-40E传动系统的动力学分析模型Fig.4 Dynamic analysis model of BX-40E transmission system

磨损对摆线轮质心产生的位移为

综合考虑磨损造成的齿廓误差和偏心距离误差，根据牛顿力学原理建立摆线轮的力学微分方程如下：

式中，mcyc为摆线轮质量，Ffsi为曲轴处接触力，Jcyc摆线轮转动惯量。

最后将整个系统微分方程统一成矩阵形式，采用Newmark-β方法，编写Matlab 程序进行数值求解。

RV 减速器磨损机理复杂。考虑到减速器的工作转速低，文中不考虑油脂润滑的影响，在干摩擦情况下以微动磨损模型对齿廓磨损进行仿真及预测。

2.1 摆线轮的动态磨损模型

摆线针齿轮约一半的齿数对同时参与啮合，最大接触应力远小于材料的许用应力，故滚动磨损、疲劳磨损可忽略。可采用黏着磨损理论中的Ar⁃chard磨损公式计算磨损量：

式中，S为磨损滑移距离，V为磨损体积，κ为磨损系数，H为接触材料硬度，W为法向载荷。

定义1 个完整周期内的磨损为1 次磨损，有效单次磨损深度为其阶段的平均磨损深度。因曲柄轴短且刚性大而不易发生偏载，沿齿宽方向的磨损几乎均匀分布。以接触法向的磨损深度表征面磨损量，经积分变换后推导出啮合处第n次动态磨损后的磨损深度为

式中，hn为第n次磨损后的磨损深度，sn为第n次磨损后的相对滑动距离，pn为第n次磨损后的接触压力，κ为无量纲磨损系数（根据材料和压载情况取值为2×10-16，且其值在合理范围内恒定）。

2.2 磨损系数

摆线针齿轮副转速低、单齿负载小，因而齿间载荷远未达到材料屈服载荷，齿间形成的闪温也较小，故可合理假设接触材料的硬度和形貌不变。基于以直代曲思想，将齿间滑动等效处理为盘与柱销磨损，其等效磨损试件的参数如表2所示，试验环境如图5所示。推导出如下的磨损系数计算公式：

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图5 等效磨损试验Fig.5 Equivalent wear test

表2 磨损试件参数Table 2 Parameters of wear test piece

式中，FN为接触载荷。磨损系数也可表达为

式中，Q(t)为磨损质量，ρ为材料密度，n1、r1分别为试件1的转速与半径，n2、r2分别为为试件2的转速与半径。

选取转速30 r/min、压载80 N 试验组中试件同心环上固定位置的微小曲块（可近似为矩形）并标记，每间隔15 min 记录1 次试件质量。图6 所示为4 个等时间段内试件的表面形貌变化，大致可分为两阶段：开始阶段，表面凹凸不平，滑动诱导摩擦进而导致振动的产生，主要发生粗糙峰剪切，由于切屑的产生而发生磨粒磨损，典型现象为梨沟；
后阶段，接触表面平缓但尖锐峰谷处应力集中，接触强度变差或产生接触疲劳裂纹，主要发生粘着磨损，偶有磨粒磨损。

图6 表面形貌演化Fig.6 Evolution of surface morphology

不同压载下磨损系数随时间的变化如图7 所示，可见磨损系数随压载增加而增大。此外，随着磨损时间的延长，磨损系数呈减小趋势，初始阶段减速较快，而后趋于平缓。这正好对应于快速磨损与正常磨损阶段，与表面形貌变化相印证。

图7 不同压载下磨损系数随时间的变化Fig.7 Variation of wear coefficient with time under different loads

因是取减速器额定条件下的压载、速度等接触条件变化范围内关键段的实际值来分别设计等效实验，故可保证关键点的一致性，进而保证变化规律的正确性。其他中间变化值可由数值插值得出。同时，考虑到减速器齿廓的实际摩擦情况受润滑等诸多复杂因素的影响而难以直接证明，实验结论的有效性可根据齿廓磨损仿真结果的有效性来间接证明。

2.3 摆线轮的动态相对滑动距离

在理想状态，摆线针齿轮副啮合点的相对线速度相等，但会因振动、磨损和接触变形而产生相对滑动。系统的运动学分析模型如图8 所示，其中p点为速度瞬心。考虑磨损，得到如下的相对滑动距离：

图8 运动学分析模型Fig.8 Kinematic analysis model

式中，si为相对滑动距离，aH为赫兹接触半宽，w为角速度。

计算条件为：输出转矩，400 N·m；
转速，300 r/min。在磨损计算中，取正常磨损时的磨损系数，相邻压载范围内取磨损系数的中位数。

3.1 齿面啮合力

所选取的稳定工作时间段内的总啮合力如图9所示。可以看出：动态啮合力呈周期性，总啮合力出现波动，波动幅值约在其值的1.8%范围内，这与实际分析情况相符合。此外，1个周期分为了两个部分：区域Ⅰ为啮合力震荡衰减区，区域Ⅱ为啮入啮出冲击区。啮入时波动相对较大，对应为齿顶位置。

图9 动态啮合力随时间的分布Fig.9 Distribution of dynamic meshing force with time

磨损次数对啮合力的影响如图10 所示。可以看出：齿间啮合力曲线呈入字形分布，随磨损量增加，齿间啮合力增量先减小后变大，参与啮合的齿数对减少但减速变缓，齿根方向率先发生脱齿且脱齿对数多。该结果与文献［12］结果有很好的一致性，可佐证文中方法的准确性。此外，齿间啮合力与其对应位置的压力角分布一致。图11 显示了啮合力与其对应位置压力角的关系，可发现两者存在一次函数映射关系。

图10 不同啮合转角下磨损次数对啮合力的影响Fig.10 Effect of wear times on meshing force at different meshing angles

图11 啮合力与其对应位置压力角的散点图Fig.11 Scatter diagram of meshing force and pressure angle at its corresponding position

3.2 齿面压力分布

将啮合区等啮合转角100 等分并编号，得到图12 所示的磨损对齿间接触压力的影响。可以看出：接触压力分布曲线基本与啮合力分布趋势对应，但在转角54°位置（齿廓凹凸过渡处）出现波谷，其原因在于摆线轮廓的凹凸过渡会导致等效接触半径减小。

图12 不同啮合转角下磨损次数对接触压力的影响Fig.12 Effect of wear times on contact pressure under differ⁃ent meshing angles

对比不同压力曲线还可发现：随着磨损的累积，接触压力增大，且增量先减小后增大。当磨损4 980 次后，接触压力最大增量达0.20 MPa。这是因为磨损后同时参与啮合的齿对数减少，剩余啮合齿分配的压载增加，导致材料表面硬化，磨损率变小，造成接触压力的增加随着磨损的累积先变缓而后加剧。

3.3 相对滑动距离沿啮合位置的分布

单对啮合齿的相对滑动距离沿齿廓的分布如图13所示。可以发现，摆线齿、针齿轮的相对滑动距离沿齿廓皆呈非对称的“m”形分布，凹凸过渡位置几乎不产生相对滑动。分析其原因，主要是摆线轮齿廓处于凹凸过渡处，等效曲率半径相对变化剧烈，可近似看作半平面，故相对滑动距离极小。

图13 磨损次数对相对滑动距离的影响Fig.13 Effect of wear times on relative slip distance

对比不同磨损次数下的相对滑动距离曲线还可发现，随着磨损累积，相对滑动距离非均匀增加。进一步讨论磨损对相对滑动距离的影响，以磨损次数间隔内的相对距离变化为量化指标，得到图14所示的摆线轮、针齿轮的相对滑动受磨损深度的影响程度（敏感程度）。可以发现：凹凸过渡位置前后出现明显的敏感区，各占据接触区域的2/3 左右，整个敏感区也约占整个齿面的2/3；
随着磨损增加，敏感带缩短。

图14 相对滑动对磨损深度的敏感程度Fig.14 Sensitivity of relative sliding to wear depth

3.4 齿面磨损分布

图15所示为不同磨损次数下摆线轮与针齿轮沿齿廓的磨损深度曲线。可以看出，磨损深度曲线呈非对称、不规则的倒“W”形，在摆线齿廓凹凸过渡位置磨损很小，在过渡区域前后出现两磨损峰（磨损敏感区域），靠近齿根、齿顶处出现微突峰。分析过渡位置磨损产生的原因，主要是磨损和受载形变导致了接触误差，进而产生相对滑动，且接触压力曲线出现凹谷，两者共同作用而产生极小的磨损。出现微突峰的原因是：靠近齿根、齿顶的区域率先发生脱齿，又重新啮合，从而造成冲击。

与文献［17］中磨损系数取定值的单条磨损曲线（虚线）相比，图15 所示曲线在分布规律上存在较大差异，特别是在靠近齿根、齿顶处出现了微突峰；
在数值上，双峰区域磨损深度明显增大，靠近齿根、齿顶处则显著减小，整体差异随磨损次数增加而加剧。由此可知磨损系数接触位置条件差异对齿面磨损准确仿真的影响不可忽视，考虑磨损系数演化是必要的。考虑磨损系数演化后所得的齿面磨损特性相关结论与受力和相对速度的理论分析结果保持了较好的一致性，间接证明了文中结果的正确性。

图15 不同磨损次数下沿齿廓的磨损深度Fig.15 Wear depth along tooth profile under different wear times

从图15 还可看出，随着磨损次数的增加，磨损深度非均匀增大，磨损增量（可表示磨损速率）也随之增大。结合图16 可知：随着磨损次数增加，磨损敏感带缩短；
磨损增量非均匀增大，但增加速度减缓。分析其原因，主要是因为磨损后压力增加导致接触面材料发生部分塑性变形，造成实际接触面积增大和表面硬化，此外正常磨损阶段的磨损也改善了接触环境，这两方面的共同作用使得磨损有所减缓。

图16 不同磨损次数间隔下的齿廓磨损深度增量Fig.16 Increment of profile wear depth at different wear num⁃ber intervals

文中以BX-40E 减速器为实例，通过等效实验计算出磨损系数，考虑齿廓磨损的反馈，准确量化了RV 减速器的齿面磨损，探究了不同磨损次数下的磨损特性，得到以下结论。

（1）摆线轮、针齿齿廓啮合位置的齿间啮合力与压力角存在一次函数映射关系；
齿廓凹凸过渡位置的啮合力与压力角最大，齿间接触压力则出现小幅骤降，磨损深度达到最小值。

（2）摆线轮、针齿齿廓上的啮合力曲线呈入字形分布；
相对滑动距离在凹凸过渡区域出现明显的磨损敏感区；
随磨损次数增加，同时啮合的齿对数减小，齿间啮合力、接触压力增大。

（3）对比磨损系数取定值时的齿廓磨损曲线，得出考虑接触位置条件差异的磨损系数演化对齿面磨损仿真的准确性与必要性；
摆线轮、针齿轮的磨损深度曲线呈非对称、不规则的倒“W”形，靠近齿根、齿顶处因磨损率先脱齿再啮合而造成冲击，进而出现微突峰；
摆线齿廓凹凸过渡位置几乎不磨损，在过渡区域前后出现两磨损峰（磨损敏感区域），约占整个齿面的2/3；
随磨损次数增加，磨损敏感带缩短，磨损速率非均匀增大，但增速减缓。

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