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辨别、巧设同构式,复杂真题迎刃解*
2023-05-03 19:25:18 ℃郭艺杰
⦿福建省漳州第一外国学校
近几年来,函数同构问题经常在高考试题中出现,利用同构式解决函数问题往往能起到事半功倍的效果,但也需要学生具备较强的直观想象、逻辑推理等数学素养.如何分辨一个问题是否为同构问题,以及如何构造同构式是这类问题的难点.本文中以历年高考中的同构问题为例,探索解决此类问题的应对策略,供读者参考.
(1)同构式指的是函数解析式相同,只有变量不同的式子.
(2)同构中经常用到的函数及其极值点:
y=lnx-x,极大值点为1;
y=ex-x,极小值点为0;
(3)同构问题常用到的恒等变换:
(4)同构中常用放缩法:
指数放缩:ex≥x+1(x=0时等号成立);
ex≥ex(x=1时等号成立).
例1(2020全国1卷理科·12)若2a+log2a=4b+2log4b则( ).
A.a>2bB.a<2b
C.a>b2D.a 解析:考虑到等式左边2a+log2a不容易化简,因此对等式右边4b+2log4b=22b+log2b进行转化,发现左右两边形式上相近,但又不完全相同,因此右式作拼凑右式=22b+log2b+1-1=22b+log2(2b)-1=左式,发现22b+log2(2b)>2a+log2a,考虑到不等式左右两边同构.令f(x)=2x+log2x有其在定义域上单调增,且由同构有f(2b)>f(a),所以2b>a.故选择:B. 点评:当一个等式里面含有两个未知量,且形式上相近,可以考虑利用恒等变换转化成同构式,并利用函数的增减性进行判断、证明. 同类型推广:若a+lna=2b+lnb,求a的范围. 分析:2b+ln 2b>2b+lnb=a+lna>b+lnb,所以有2b>a>b. 例2(2020新高考Ⅰ卷·21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)略; 分析:恒等变换f(x)=aex-1-lnx+lna=ex-1+ln a-lnx+lna≥1,考虑把ex-1+ln a的指数当成整体变量,所以拼凑出ex-1+ln a+(x-1+lna)≥x+lnx=eln x+lnx,可以看出左右同构.令g(x)=ex+x,知其单调递增且有g(x-1+lna)≥g(lnx),可以得到x-1+lna≥lnx,所以lna≥-(x-1-lnx),又因为右式的最大值为0,所以得到a≥1. 点评:构造同构式的时候经常利用指数与对数的恒等变换,把“谁”看成整体变量关乎同构式能否构造成功. 点评:在构造同构式的时候,通常要先把某个变量或是参数分离到等式或不等式的一边,而且同一个题目可能有多个同构方式,选择合适的同构式,可以使解题更加便捷. 例3(2022新高考Ⅰ卷·22)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值. (Ⅰ)求a; (Ⅱ)证明:存在y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左往右三个交点的横坐标成等差数列. 解析:(Ⅰ)易求得a=1. (Ⅱ)同构式法. 由(Ⅰ)可知f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,所以由f′(x)=ex-1,知在(-∞,0)上f(x)单调递减,在(0,+∞)时f(x)单调递增.又有x→-∞时,f(x)→+∞; 所以存在y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,设交点横坐标为x1<0 f(x1)=ex1-x1=f(x2)=ex2-x2=b, b=g(x2)=x2-lnx2=g(x3)=x3-lnx3. 由恒等变换可得x2-lnx2=eln x2-lnx2,x3-lnx3=eln x3-lnx3. 所以g(x2)=f(lnx2),g(x3)=f(lnx3).所以有f(x1)=f(x2)=f(lnx2)=f(lnx3). 又因为x1<0 f(x1)=x2-x1,f(x2)=x3-x2. 所以x2-x1=x3-x2. 点评:第(Ⅱ)问的证明,利用同构式来解决,大大简化了标准答案的分析讨论过程,简单明了、事半功倍,也更容易让学生接受. 在利用同构式解决函数问题时,首先应该考虑哪些情况下可同构.常见的有f(a)=f(b),f(a)>f(b),f(a) 同构问题作为这几年高考的常考题型,经常用于考查不等式的证明或求解,经常以关于ex与lnx的函数问题为背景.在构造同构式的时候,由于技巧性较强,需要学生具备较强的推理能力和分析能力.而利用同构式解决小题时,常常又能起到意想不到的效果;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
所以f(x)min=f(0)=1.
而且对于大题的证明和求解,同构法可以使过程更加简洁,更便于学生理解.因此在平常的教学中对于此类问题,多加练习、研究、巩固形成模式还是相当必要的.
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